广东省五校18届高三数学第一次联考(1月)试题理

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广东省五校 2018 届高三数学第一次联考(1 月)试题 理
本试卷共 5 页,23 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务
必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上,并用 2B 铅笔在 答题卡的相应位置填涂考生号。 2.作答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答 案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。写在本试卷 上无效。 3.第Ⅱ卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答 案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U=N*,集合 A={1,2,3,5},B={2,4,6},则图中的阴影 部分表示的集合为( ) A.{2} B.{4,6} C.{1,3,5} D.{2,4,6}
2.已知 i 是虚数单位,复数 z 满足(i﹣1)z=i,则 z 的虚部是( )
A. B. C. D.

3. 已知 M 是抛物线 C:y2=2px(p>0)上一点,F 是抛物线 C 的焦点,若|MF|=p,K 是抛物 线 C 的准线与 x 轴的交点,则∠MKF=( ) A.45° B.30° C.15° D.60°

4.在区间 A. B.

上任选两个数 x 和 y,则 y<sinx 的概率为( ) C. D.

5.已知 的值可以是( )
A. B. C. D.

,函数 y=f(x+φ )的图象关于直线 x=0 对称,则 φ

1

6.一块硬质材料的三视图如图所示,正视图和俯视图都是边长为 10cm 的正方形,将该木料 切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径最接近( ) A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 7.执行如图所示的程序框图,若输入 x=20,则输出的 y 的值为()

A.2 B.﹣1 C.﹣ D.﹣

8.若平面 α 截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥与平面 α 平行的棱有( )

A.0 条

B.1 条 C.2 条 D.1 条或 2 条

9.已知实数 x,y 满足

,则 z=2|x﹣2|+|y|的最小值是( )

A.6 B.5 C.4 D.3

10.已知双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0),过其左焦点 F 作 x 轴的垂线,交双曲线于 A,B

两点,若双曲线的右顶点在以 AB 为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1, ) B.(1,2) C.( ,+∞) D.(2,+∞)

11.关于曲线 C: x 2 ? y 4 ? 1 给出下列四个命题:

(1)曲线 C 有两条对称轴,一个对称中心 (2)曲线 C 上的点到原点距离的最小值为 1

(3)曲线 C 的长度 l 满足 l ? 4 2

(4)曲线 C 所围成图形的面积 S 满足? ? S ? 4

上述命题正确的个数是

A.1

B. 2

C. 3

D. 4

12.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)= f(x),当 x∈[0,2]时,f(x)=



函数 g(x)=x3+3x2+m.若对任意 s∈[﹣4,﹣2),存在 t∈[﹣4,﹣2),不等式 f(s)﹣g (t)≥0 成立,则实数 m 的取值范围是( )
A.(﹣∞, 12] B.(﹣∞,-14] C.(﹣∞,8] D.(﹣∞, ]
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

2

13. 在二项式 (x ? 1 )n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大,则展开式中含 x2 项的系 x
数是 .

14.已知 =( , ),| |=1,| +2 |=2,则 在 方向上的投影为 .

15.两所学校分别有 2 名,3 名学生获奖,这 5 名学生要排成一排合影,则存在同校学生排

在一起的概率为 .

16.已知数列?an ?满足: a1

为正整数, an?1

?

? ?

a

n

?2

, an为偶数

,如果 a1 =1,则

??3an ? 1,an为奇数

a1 ? a2 ? a3 ? .... ? a2018 = .

三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第 17~21 题为必考 题,每个试题考生都必须做答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求做答.

(一)必考题:共 60 分.
17.在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 2asinA=( 2b-c)sin B+( 2c -b)sin C.
(1)求角 A 的大小;
(2)若 a= 10,cosB=2 5 5,D 为 AC 的中点,求 BD 的长.

18.如图,在四棱锥 E﹣ABCD 中,△ABD 是正三角形,△BCD 是等腰三角形,∠BCD=120°, EC⊥BD. (1)求证:BE=DE; (2)若 AB=2 ,AE=3 ,平面 EBD⊥平面 ABCD,直线 AE 与平面 ABD 所成的角为 45°,求二面角 B﹣AE﹣D 的余弦值.

19.据某市地产数据研究院的数据显示,2016 年该市新建住宅销售均价走势如图所示,为 抑制房价过快上涨,政府从 8 月份 采取宏观调控措施,10 月份开始 房价得到很好的抑制. (1)地产数据研究院研究发现,3 月至 7 月的各月均价 y(万元/平 方米)与月份 x 之间具有较强的线 性相关关系,试建立 y 关于 x 的回 归方程(系数精确到 0.01),政府 若不调控,依次相关关系预测第 12 月份该市新建住宅销售均价; (2)地产数据研究院在 2016 年的 12 个月份中,随机抽取三个月份的数据作样本分析,若
3

关注所抽三个月份的所属季度,记不同季度的个数为 X,求 X 的分布列和数学期望.

参考数据:

=25,

=5.36,

=0.64(说明:以上数据 xi , yi

为 3 月至 7 月的数据) 回归方程 = x+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

=

, =﹣ .

20.已知椭圆 E: + =1(a>b>0)的左焦点 F1 与抛物线 y2=﹣4x 的焦点重合,椭圆 E
的离心率为 ,过点 M (m,0)(m> )作斜率不为 0 的直线 l,交椭圆 E 于 A,B 两点, 点 P( ,0),且 ? 为定值. (1)求椭圆 E 的方程; (2)求△OAB 面积的最大值.

21.已知函数 f(x)=ax+lnx,其中 a 为常数,设 e 为自然对数的底数. (1)当 a=﹣1 时,求 f(x)的最大值; (2)若 f(x)在区间(0,e]上的最大值为﹣3,求 a 的值;

(3)设 g(x)=xf(x),若 a>0,对于任意的两个正实数 x1,x2(x1≠x2),证明:2g(



<g(x1)+g(x2).

(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第 一题计分.

22.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数),在以原点 O 为极

点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆 C 的方程为 ρ =6sinθ . (1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程;

(2)设点 P(3,4),直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,求

+

的值.

23.已知函数 f(x)=|x﹣2|+|2x+1|. (1)解不等式 f(x)>5;
4

(2)若关于 x 的方程

=a 的解集为空集,求实数 a 的取值范围.

广东省五校协作体 2018 届高三第一次联考 理科数学参考答案及评分细则

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

答案 B

D

A

C

D

A

D

C

C

B

D

C

二、填空题:每题 5 分,满分 20 分.

13. ? 56

14. ? 1 4

三、解答题:满分 70 分.

15. 9 10

16. 4709

17.(1)因为 2asin A=( 2b-c)sin B+( 2c-b)·sin C,

由正弦定理得 2a2=( 2b-c)b+( 2c-b)c,

………(1 分)

整理得 2a2= 2b2+ 2c2-2bc,

……………(2 分)

由余弦定理得 cos A=b2+2cb2c-a2= 22bbcc= 22,

……………(4 分)

因为 A∈(0,π ),所以 A=π4 .

……………(5 分)

(2)由 cos

B=2

5

5 ,得

sin

B=

1-cos2B=

45 1-5= 5 ,

……………(6 分)

所以

cos

C=cos[π

-(A+B)]=-cos(A+B)=-???

2 25 2× 5 -

2 2×

55???=-

1100,……8



由正弦定理得

b=assiinn

B A=

10×

5 5

=2,

2

2

………(9 分)

所以 CD=12AC=1,

………………………(10 分)

在△BCD 中,由余弦定理得 BD2=( 10)2+12-2×1× 10×???- 1100???=13,…(11 分)

所以 BD= 13.

………(12 分)

18.证明:(Ⅰ)取 BD 中点 O,连结 CO,EO,

∵△BCD 是等腰三角形,∠BCD=120°,∴CB=CD,∴CO⊥BD,………………………(2 分)

5

又∵EC⊥BD,EC∩CO=C,∴BD⊥平面 EOC,∴EO⊥BD,

………………………(4 分)

在△BDE 中,∵O 为 BD 的中点,∴BE=DE.

………(5 分)

(Ⅱ)∵平面 EBD⊥平面 ABCD,平面 EBD∩平面 ABCD=BD,

EO⊥BD,∴EO⊥平面 ABCD,

……… (6 分)

又∵CO⊥BD,AO⊥BD,

∴A,O,C 三点共线,AC⊥BD,

以 O 为原点,OA 为 x 轴,OB 为 y 轴,OE 为 z 轴,建立空间直角坐标系,

在正△ABCD 中,AB=2 ,∴AO=3,BO=DO= ,

………(7 分)

∵直线 AE 与平面 ABD 所成角为 45°,∴EO=AO=3,

………(8 分)

A(3,0,0),B(0, ,0),D(0,﹣ ,0),E(0,0,3),

=(﹣3, ,0), =(﹣3,﹣ ,0), =(﹣3,0,3), ………(9 分)

设平面 ABE 的法向量 =(a,b,c),



,取 a=1,得 =(1, ,1),

………(10 分)

设平面 ADE 的法向量 =(x,y,z),



,取 x=1,得 =(1,﹣ ,1),

………(11 分)

设二面角 B﹣AE﹣D 为θ ,

则 cosθ =

=

=.

∴二面角 B﹣AE﹣D 的余弦值为 .

………(12 分)

19.解:(Ⅰ)由题意

月份 x

3

均价 y

0.95

=5,

=1.072,

4 0.98 ………(1 分)

5 1.11

=10, ………(2 分)

6 1.12

7 1.20

6

∴=

=0.064, ………(3 分)

= ﹣ =0.752,………(4 分)

∴从 3 月到 6 月,y 关于 x 的回归方程为 y=0.06x+0.75,………(5 分)

x=12 时,y=1.47.即可预测第 12 月份该市新建住宅销售均价为 1.47 万元/平方米;(6 分)

(Ⅱ)X 的取值为 1,2,3,

………(7 分)

P ( X=1 ) = = , P ( X=3 ) =

= , P ( X=2 ) =1 ﹣ P ( X=1 ) ﹣ P ( X=3 )

=,

………(10 分)

X 的分布列为

X

1

2

3

P

………(11 分) E(X)=1× +2× +3× = .………(12 分)

20.解:(Ⅰ)设 F1(﹣c,0), ∵抛物线 y2=﹣4x 的焦点坐标为(﹣1,0),且椭圆 E 的左焦点 F 与抛物线 y2=﹣4x 的焦点重

合,∴c=1,

………(1 分)

又椭圆 E 的离心率为 ,得 a= , ………(2 分)

于是有 b2=a2﹣c2=1.

故椭圆Γ 的标准方程为:

. ………(3 分)

(Ⅱ)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为:x=ty+m,



整理得(t2+2)y2+2tmy+m2﹣2=0 ………(4 分)



………(5 分)

7

, = =(t2+1)y1y2+(tm﹣ t)(y1+y2)+m2﹣

=



………(7 分)

要使 ? 为定值,则

,解得 m=1 或 m= (舍)………(8 分)

当 m=1 时,|AB|=

|y1﹣y2|=

, ………(9 分)

点 O 到直线 AB 的距离 d=

, ………(10 分)

△OAB 面积 s=

=

.………(11 分)

∴当 t=0,△OAB 面积的最大值为 ,………(12 分)

21.解:(1)易知 f(x)定义域为(0,+∞),

当 a=﹣1 时,f(x)=﹣x+lnx,

,………(1 分)

令 f′(x)=0,得 x=1. 当 0<x<1 时,f′(x)>0;当 x>1 时,f′(x)<0, ∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数.………(2 分) f(x)max=f(1)=﹣1. ∴函数 f(x)在(0,+∞)上的最大值为﹣1,………(3 分)

(2)∵

.………(4 分)

①若

,则 f′(x)≥0,从而 f(x)在(0,e]上是增函数,

∴f(x)max=f(e)=ae+1≥0,不合题意,………(5 分)

②若

,则由

,即

8



,即



从而 f(x)在(0,﹣ )上增函数,在(﹣ ,e]为减函数………(6 分)





,则



∴a=﹣e2,

………(7 分)

(3)证明:∵g(x)=xf(x)=ax2+xlnx,x>0



,………(8 分)

∴g′(x)为增函数,不妨令 x2>x1



,………(9 分)











………(10 分)

而 h(x1)=0,知 x>x1 时,h(x)>0 故 h(x2)>0,



………(12 分)

[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲]

22.解:(Ⅰ)由直线 l 的参数方程为

(t 为参数),得直线 l 的普通方程为 x+y

﹣7=0.(2 分) 又由ρ =6sinθ 得圆 C 的直角坐标方程为 x2+(y﹣3)2=9;……… (5 分)

(Ⅱ)把直线 l 的参数方程

(t 为参数),代入圆 C 的直角坐标方程,

得 t2 ? 2 2t ?1 ? 0 ,设 t1、t2 是上述方程的两实数根,……… (7 分)
所以 t1+t2=2 ,t1t2=1,……… (8 分)

9

∴t1>0,t2>0,所以

+

= 2 2 . ……… (10 分)

[选修 4-5:不等式选讲]

23.解:(Ⅰ)解不等式|x﹣2|+|2x+1|>5,………(1 分)

x≥2 时,x﹣2+2x+1>5,解得:x>2;………(2 分)

﹣ <x<2 时,2﹣x+2x+1>5,无解,………(3 分)

x≤﹣ 时,2﹣x﹣2x﹣1>5,解得:x<﹣ ,………(4 分)

故不等式的解集是(﹣∞,﹣ )∪(2,+∞);………(5 分)

(Ⅱ)f(x)=|x﹣2|+|2x+1|=

,………(7 分)

故 f(x)的最小值是 ,所以函数 f(x)的值域为[ ,+∞),………(8 分)

从而 f(x)﹣4 的取值范围是[﹣ ,+∞),

进而

的取值范围是(﹣∞,﹣ ]∪(0,+∞).………(9 分)

根据已知关于 x 的方程

=a 的解集为空集,

所以实数 a 的取值范围是(﹣ ,0].

………(10 分)

10


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