文山市第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

文山市第一中学校 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题
1. 若如图程序执行的结果是 10,则输入的 x 的值是( )

A.0 B.10 C.﹣10 D.10 或﹣10 2. 若复数 z= (其中 a∈R,i 是虚数单位)的实部与虚部相等,则 a=( ) A.3 B.6 C.9 D.12

3. ? x∈R,x2﹣2x+3>0 的否定是(



A.不存在 x∈R,使? x2﹣2x+3≥0 B.? x∈R,x2﹣2x+3≤0

C.? x∈R,x2﹣2x+3≤0 D.? x∈R,x2﹣2x+3>0

4. 执行右面的程序框图,如果输入的 t ?[?1,1] ,则输出的 S 属于( )

A.[0,e ? 2]

B. (- ? , e 2]

C.[0,5] D.[e ? 3,5]

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【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识,意在考查运算能力和转化思想的运用. 5. 如图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形, 则该几何体体积为( )
A. B.4 C. D.2
6. 如图甲所示, 三棱锥 P ? ABC 的高 PO ? 8, AC ? BC ? 3, ?ACB ? 30 , M , N 分别在 BC
和 PO 上,且 CM ? x, PN ? 2x? x ?(0,3? ,图乙的四个图象大致描绘了三棱锥 N ? AMC 的体积 y 与
的变化关系,其中正确的是( )
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A.

B.

C.

D.1111]

7. 函数 f(x)=3x+x﹣3 的零点所在的区间是(



A.(0,1) B.(1,2) C.(2.3) D.(3,4)

8. 已知函数 f(x)=x(1+a|x|).设关于 x 的不等式 f(x+a)<f(x)的解集为 A,若

,则

实数 a 的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

9. “ a ? b ? 3”是“圆 x2 ? y2 ? 2x ? 6 y ? 5a ? 0 关于直线 y ? x ? 2b 成轴对称图形”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识,有一定的综合性,突出化归能力的考

查,属于中等难度.

10.已知 x,y 满足约束条件

,使 z=ax+y 取得最小值的最优解有无数个,则 a 的值为( )

A.﹣3 B.3 C.﹣1 D.1

11.在等比数列{an}中,已知 a1=3,公比 q=2,则 a2 和 a8 的等比中项为(



A.48 B.±48 C.96 D.±96

12.如图,AB 是半圆 O 的直径,AB=2,点 P 从 A 点沿半圆弧运动至 B 点,设∠AOP=x,将动点 P 到 A,B

两点的距离之和表示为 x 的函数 f(x),则 y=f(x)的图象大致为( )

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二、填空题

13.阅读下图所示的程序框图,运行相应的

14.已知一组数据 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 的 开始

ax5 ( a ? 0 )

n ?1

的标准差是 2 2 ,则 a ?



15.运行如图所示的程序框图后,输出的结果S ?是5,T ?1

S ? T? 是 S ?S?4

程序,输出的 n 的值等于_________. 方差是 2,另一组数据 ax1 ,ax2 ,ax3 ,ax4 ,
否 输出 n

T ? 2T

结束

n ? n?1
16.函数 y ? f ?x? 图象上不同两点 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 处的切线的斜率分别是 kA,kB ,规定 ? ? A, B? ? kA ? kB ( AB 为线段 AB 的长度)叫做曲线 y ? f ? x? 在点 A 与点 B 之间的“弯曲度”,给
AB
出以下命题:
①函数 y ? x3 ? x2 ?1图象上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1 和 2,则? ? A, B? ? 3 ;
②存在这样的函数,图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数;
③设点 A,B 是抛物线 y ? x2 ?1上不同的两点,则? ? A, B? ? 2 ; ④设曲线 y ? ex (e 是自然对数的底数)上不同两点 A? x1, y1?, B? x2, y2 ?,且x1 ? x2 ?1,若 t ?? ? A, B? ? 1 恒成立,则实数 t 的取值范围是 ???,1?.
其中真命题的序号为________.(将所有真命题的序号都填上)

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17.已知 =1﹣bi,其中 a,b 是实数,i 是虚数单位,则|a﹣bi|=



18.下列说法中,正确的是 .(填序号) ①若集合 A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素,则 k=1; ②在同一平面直角坐标系中,y=2x 与 y=2﹣x 的图象关于 y 轴对称; ③y=( )﹣x 是增函数; ④定义在 R 上的奇函数 f(x)有 f(x)?f(﹣x)≤0.

三、解答题

19.已知函数

(Ⅰ)求

的解析式;

(Ⅱ)若对于任意

(Ⅲ)证明:函数

,且



,都有

,求 的最小值;

的图象在直线

的下方.

20.(本小题满分 12 分)111]
在如图所示的几何体中, D 是 AC 的中点, EF // DB . (1)已知 AB ? BC , AF ? CF ,求证: AC ? 平面 BEF; (2)已知 G、H 分别是 EC 和 FB的中点,求证: GH // 平面 ABC.

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21.(本小题满分 12 分)
如图(1),在三角形 PCD 中, AB 为其中位线,且 2BD ? PC ,若沿 AB 将三角形 PAB 折起,使 ?PAD ?? ,构成四棱锥 P ? ABCD ,且 PC ? CD ? 2 .
PF CE (1)求证:平面 BEF ? 平面 PAB ; (2)当 异面直线 BF 与 PA 所成的角为 ? 时,求折起的角度.
3

22.已知正项数列{an}的前 n 项的和为 Sn,满足 4Sn=(an+1)2. (Ⅰ)求数列{an}通项公式;

(Ⅱ)设数列{bn}满足 bn=

(n∈N*),求证:b1+b2+…+bn< .

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23.已知 f(α )=



(1)化简 f(α ); (2)若 f(α )=﹣2,求 sinα cosα +cos2α 的值.

24.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AC=AA1=BC1=2,∠AA1C1=60°,平面 ABC1⊥平面 AA1C1C,AC1 与 A1C 相交于点 D. (1)求证:BD⊥平面 AA1C1C; (2)求二面角 C1﹣AB﹣C 的余弦值.

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文山市第一中学校 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D

【解析】解:模拟执行程序,可得程序的功能是计算并输出 y=

的值,

当 x<0,时﹣x=10,解得:x=﹣10 当 x≥0,时 x=10,解得:x=10 故选:D.

2. 【答案】A 【解析】解:复数 z= =

=



由条件复数 z= (其中 a∈R,i 是虚数单位)的实部与虚部相等,得,18﹣a=3a+6,
解得 a=3. 故选:A. 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,考查计算能力.

3. 【答案】C 【解析】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,?x∈R,x2﹣2x+3>0 的否定是:?x∈R,x2﹣2x+3≤ 0. 故选:C.

4. 【答案】B

5. 【答案】C 【解析】解:由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得 这个几何体是一个四棱锥 由图可知,底面两条对角线的长分别为 2 ,2,底面边长为 2

故底面棱形的面积为

=2

侧棱为 2 ,则棱锥的高 h=

=3

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故 V=

=2

故选 C

6. 【答案】A 【解析】

考 点:几何体的体积与函数的图象. 【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的体积与函数的图象之间的关系,其中解答中涉及到三棱锥的体积公 式、一元二次函数的图象与性质等知识点的考查,本题解答的关键是通过三棱锥的体积公式得出二次函数的解 析式,利用二次函数的图象与性质得到函数的图象,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,是一道好题, 题目新颖,属于中档试题.

7. 【答案】A 【解析】解:∵f(0)=﹣2<0,f(1)=1>0, ∴由零点存在性定理可知函数 f(x)=3x+x﹣3 的零点所在的区间是(0,1). 故选 A 【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理,这种问题只要代入所给的区间的端点的值进行检验即可,属 于基础题.

8. 【答案】 A 【解析】解:取 a=﹣ 时,f(x)=﹣ x|x|+x, ∵f(x+a)<f(x), ∴(x﹣ )|x﹣ |+1>x|x|,

(1)x<0 时,解得﹣ <x<0;

(2)0≤x≤ 时,解得 0



(3)x> 时,解得



综上知,a=﹣ 时,A=(﹣ , ),符合题意,排除 B、D; 取 a=1 时,f(x)=x|x|+x,

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∵f(x+a)<f(x),∴(x+1)|x+1|+1<x|x|, (1)x<﹣1 时,解得 x>0,矛盾; (2)﹣1≤x≤0,解得 x<0,矛盾; (3)x>0 时,解得 x<﹣1,矛盾; 综上,a=1,A=?,不合题意,排除 C, 故选 A. 【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识,考查数形结合思想、分类讨论思想,考查 学生分析解决问题的能力,注意排除法在解决选择题中的应用.
9. 【答案】 A









10.【答案】D 【解析】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分). 由 z=ax+y,得 y=﹣ax+z, 若 a=0,此时 y=z,此时函数 y=z 只在 B 处取得最小值,不满足条件. 若 a>0,则目标函数的斜率 k=﹣a<0. 平移直线 y=﹣ax+z, 由图象可知当直线 y=﹣ax+z 和直线 x+y=1 平行时,此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个, 此时﹣a=﹣1,即 a=1. 若 a<0,则目标函数的斜率 k=﹣a>0. 平移直线 y=﹣ax+z, 由图象可知当直线 y=﹣ax+z,此时目标函数只在 C 处取得最小值,不满足条件. 综上 a=1. 故选:D.
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【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决此类问题的基本方法,利用 z 的几何意义是解决 本题的关键.注意要对 a 进行分类讨论.

11.【答案】B

【解析】解:∵在等比数列{an}中,a1=3,公比 q=2, ∴a2=3×2=6,

=384,

∴a2 和 a8 的等比中项为 故选:B.

=±48.

12.【答案】 【解析】选 B.取 AP 的中点 M, 则 PA=2AM=2OAsin∠AOM =2sin 2x, PB=2OM=2OA·cos∠AOM=2cos2x, ∴y=f(x)=PA+PB=2sin2x+2cos2x=2 2sin(2x+π4),x∈[0,π],根据解析式可知,只有 B 选项符合要求, 故选 B.
二、填空题 13.【答案】 6 【解析】解析:本题考查程序框图中的循环结构.第 1 次运行后, S ? 9,T ? 2, n ? 2, S ? T ;第 2 次运行后, S ? 13,T ? 4, n ? 3, S ? T ; 第 3 次 运 行 后 , S ? 17,T ? 8, n ? 4, S ? T ; 第 4 次 运 行 后 , S ? 21,T ? 16, n ? 5, S ? T ;第 5 次运行后,S ? 25,T ? 32, n ? 6, S ? T ,此时跳出循环,输出结果 n ? 6 程

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序结束. 14.【答案】2 【解析】
试 题 分 析 : 第 一 组 数 据 平 均 数 为 x,?(x1 ? x)2 ? (x2 ? x)2 ? (x3 ? x)2 ? (x4 ? x)2 ? (x5 ? x)2 ? 2 , (ax1 ? ax)2 ? (ax2 ? ax)2 ? (ax3 ? ax)2 ? (ax4 ? ax)2 ? (ax5 ? ax)2 ? 8,?a2 ? 4,?a ? 2 .
考点:方差;标准差. 15.【答案】 0

【解析】解:模拟执行程序框图,可得程序框图的功能是计算并输出 S=sin +sin +…+sin

的值,

由于 sin 周期为 8,

所以 S=sin +sin +…+sin =0.
故答案为:0. 【点评】本题主要考查了程序框图和算法,考查了正弦函数的周期性和特殊角的三角函数值的应用,属于基本 知识的考查.

16.【答案】②③

【解析】

试题分析:①错: A(1,1), B(2,5),| AB| ? 17,| kA ? kB| ?7, ??( A, B) ?

7? 17

3;

②对:如 y ? 1;③对;?(A, B) ?

| 2xA ? 2xB |

?

2

?2;

(xA ? xB )2 ? (xA2 ? xB2 )2 1 ? ( xA ? xB)2

④错;?( A, B) ?

| ex1 ? ex2 |

? | ex1 ? ex2 | ,

(x1 ? x2 )2 ? (ex1 ? ex2 )2

1? (ex1 ? ex2 )2

1? ?( A, B)

1 ? (ex1 ? ex2 )2 | ex1 ? ex2 | ?

(e x1

1 ? ex2

)2

?1

? 1,

因为 t

?

1 ?( A, B)

恒成立,故 t

? 1.故答案为②③.111]

考点:1、利用导数求曲线的切线斜率;2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距

离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想,属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题,

综合性较强,同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”,解答这类问题首先不能慌乱更不

能因贪快而审题不清,其次先从最有把握的命题入手,最后集中力量攻坚最不好理解的命题.

17.【答案】



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【解析】解:∵ =1﹣bi,∴a=(1+i)(1﹣bi)=1+b+(1﹣b)i,



,解得 b=1,a=2.

∴|a﹣bi|=|2﹣i|= . 故答案为: . 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了计算能力,属于基础题.

18.【答案】 ②④

【解析】解:①若集合 A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素,则 k=1 或 k=0,故错误; ②在同一平面直角坐标系中,y=2x 与 y=2﹣x 的图象关于 y 轴对称,故正确; ③y=( )﹣x 是减函数,故错误; ④定义在 R 上的奇函数 f(x)有 f(x)?f(﹣x)≤0,故正确. 故答案为:②④ 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了集合,指数函数的,奇函数的图象和性质,难度中档.

三、解答题

19.【答案】 【解析】【知识点】导数的综合运用利用导数研究函数的单调性

【试题解析】(Ⅰ)对 求导,得



所以

,解得



所以



(Ⅱ)由

,得



因为



所以对于任意

,都有





,则



,解得

当 x 变化时, 与

. .
的变化情况如下表:

第 13 页,共 18 页

所以当 时,



因为对于任意

所以



所以 的最小值为

,都有 .

成立,

(Ⅲ)证明:“函数

的图象在直线

的下方”

等价于“ 即要证

”, ,

所以只要证



由(Ⅱ),得

,即

(当且仅当 时等号成立).

所以只要证明当

时,

即可.





所以 令 由

, ,解得 . ,得 ,所以 在

上为增函数.

所以

,即



所以



故函数

的图象在直线

的下方.

20.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.

【解析】

试题分析:(1)根据 EF // DB ,所以平面 BEF就是平面 BDEF,连接 DF,AC 是等腰三角形 ABC 和 ACF 的公

共底边,点 D 是 AC 的中点,所以 AC ? BD , AC ? DF ,即证得 AC ? 平面 BEF的条件;(2)要证明线面

平行,可先证明面面平行,取 FC 的中点为,连接 GI , HI ,根据中位线证明平面 HGI // 平面 ABC,即可证

明结论.

试题解析:证明:(1)∵ EF // DB ,∴ EF 与 DB 确定平面 BDEF.

如图①,连结 DF . ∵ AF ? CF , D 是 AC 的中点,∴ DF ? AC .同理可得 BD ? AC .

又 BD? DF ? D , BD、DF ?平面 BDEF,∴ AC ?平面 BDEF,即 AC ? 平面 BEF.

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考点:1.线线,线面垂直关系;2.线线,线面,面面平行关系. 【方法点睛】本题考查了立体几何中的平行和垂直关系,属于中档题型,重点说说证明平行的方法,当涉及证 明线面平行时,一种方法是证明平面外的线与平面内的线平行,一般是构造平行四边形或是构造三角形的中位 线,二种方法是证明面面平行,则线面平行,因为直线与直线外一点确定一个平面,所以所以一般是在某条直 线上再找一点,一般是中点,连接构成三角形,证明另两条边与平面平行.
21.【答案】(1)证明见解析;(2)? ? 2? . 3
【解析】
试题分析:(1)可先证 BA ? PA ,BA ? AD 从而得到 BA ?平面 PAD ,再证 CD ? FE , CD ? BE 可得 CD ? 平面 BEF ,由 CD // AB ,可证明平面 BEF ? 平面 PAB ;(2)由 ?PAD ? ? ,取 BD 的中点 G ,连接 FG, AG , 可得 ?PAG 即为异面直线 BF 与 PA 所成的角或其补角,即为所折起的角度.在三角形中求角即可. 1
试题解析:
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(2)因为 ?PAD ? ? ,取 BD 的中点 G ,连接 FG, AG ,所以 FG // CD , FG ? 1 CD ,又 AB // CD , 2
AB ? 1 CD ,所以 FG // AB , FG ? AB ,从而四边形 ABFG 为平行四边形,所以 BF // AG ,得;同时, 2
因为 PA ? AD , ?PAD ? ? ,所以 ?PAD ? ? ,故折起的角度? ? 2? . 3

考点:点、线、面之间的位置关系的判定与性质.

22.【答案】 【解析】(Ⅰ)解:由 4Sn=(an+1)2,

令 n=1,得 又 4Sn+1=(an+1+1)2,

,即 a1=1,

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,整理得:(an+1+an)(an+1﹣an﹣2)=0.

∵an>0,∴an+1﹣an=2,则{an}是等差数列,

∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1;

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知,bn=

=



则 b1+b2+…+bn=

=

=



23.【答案】 【解析】解:(1)f(α )

=

= =﹣tanα ;…5(分) (2)∵f(α )=﹣2, ∴tanα =2,…6(分) ∴sinα cosα +cos2α =
=
=
= .…10(分)
24.【答案】 【解析】解:(1)∵四边形 AA1C1C 为平行四边形,∴AC=A1C1, ∵AC=AA1,∴AA1=A1C1, ∵∠AA1C1=60°,∴△AA1C1 为等边三角形, 同理△ABC1 是等边三角形, ∵D 为 AC1 的中点,∴BD⊥AC1,

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∵平面 ABC1⊥平面 AA1C1C,

平面 ABC1∩平面 AA1C1C=AC1,BD?平面 ABC1, ∴BD⊥平面 AA1C1C.

(2)以点 D 为坐标原点,DA、DC、DB 分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,

平面 ABC1 的一个法向量为

,设平面 ABC 的法向量为



由题意可得



,则



所以平面 ABC 的一个法向量为 =( ,1,1),

∴cosθ=



即二面角 C1﹣AB﹣C 的余弦值等于 .

【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直,并求二面角的平面角大小.着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱 的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识,属于中档题.

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