2015-2016学年云南省师范大学五华区实验中学高一(下)期中数学答案

2015-2016 学年云南省师范大学五华区实验中学高一 (下)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(单项选择,每小题 3 分,共 36 分) 1. (3 分) (2016 秋?淄川区校级期中) 若 a>b>c, 则下列不等式中正确的是 ( A.ac>bc B.a﹣b>b﹣c C.a﹣c>b﹣c D.a+c>b 【分析】举例说明 A,B,D 错误,由不等式的性质可得 C 正确. 【解答】解:∵a>b,∴当 c≤0 时,A 错误; 取 a=5,b=4,c=1,满足 a>b>c,此时 a﹣b<b﹣c,∴B 错误; 由 a>b,得 a﹣c>b﹣c,∴C 正确; 取 a=2,b=1,c=﹣1,满足 a>b>c,此时 a+c=b,∴D 错误. 故选:C. 【点评】本题考查不等式的大小比较,考查不等式的性质,是基础题. )

2. (3 分) (2016 春?五华区校级期中)不等式 x2﹣2x≤0 的解集是( A.{x|0<x≤2} B.{x|0≤x<2} C.{x|0≤x≤2} D.{x|x≤0 或 x≥2} 【分析】求出不等式所对应的二次方程的两个根后直接的答案. 【解答】解:由 x2﹣2x≤0,得 x(x﹣2)≤0. 解得 0≤x≤2. 所以原不等式的解集为{x|0≤x≤2}. 故选:C. 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法,是基础的会考题型.



3. (3 分) (2016 春?五华区校级期中)若△ABC 中,a=4,A=45°,B=60°,则边 b 的值为( A. +1 ) B.2 +1 C.2 D.2+2

【分析】由 A 与 B 的度数求出 sinA 与 sinB 的值,再由 a 的值,利用正弦定理即 可求出 b 的值.
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【解答】解:由正弦定理可知:



b=

=

=2



故答案选:C. 【点评】本小题主要考查定积分、定积分的应用等基础知识,考查数形结合思 想.属于基础题.

4. (3 分) (2016 秋?珠晖区校级期中)在等差数列{an}中,a1=1,公差 d=2,则 a8 等于( )

A.13 B.14 C.15 D.16 【分析】利用等差数列的通项公式即可得出. 【解答】解:由题意可得:a8=1+2×(8﹣1)=15. 故选;C. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于基 础题.

5. (3 分) (2008?广东)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1= ,S4=20,则 S6= ( )

A.16 B.24 C.36 D.48 【分析】结合已知条件,利用等差数列的前 n 项和公式列出关于 d 的方程,解出 d,代入公式,即可求得 s6. 【解答】解:∵ ∴S4=2+6d=20, ∴d=3, ∴S6=3+15d=48. 故选 D. 【点评】本题考查了等差数列的前 n 项和公式,熟记公式是解题的关键,同时注 意方程思想的应用.
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,S4=20,

6. (3 分) (2014 秋?广东校级期末)在等比数列{an}中,a4=4,则 a2?a6=( A.32 B.16 C.8 D.4



【分析】直接由等比数列的性质结合已知得答案. 【解答】解:在等比数列{an}中,由 a4=4, 得 a2?a6= 故选:B. 【点评】本题考查了等比数列的性质,是基础的计算题. .

7. (3 分) (2004?陕西) 等比数列{an}中, a2=9, a5=243, {an}的前 4 项和为 ( A.81 B.120 C.168 D.192 【分析】 根据等比数列的性质可知 等于 q3, 列出方程即可求出 q 的值, 利用



即可求出 a1 的值,然后利用等比数列的首项和公比,根据等比数列的前 n 项和 的公式即可求出{an}的前 4 项和. 【解答】解:因为 = =q3=27,解得 q=3

又 a 1= 故选 B

= =3,则等比数列{an}的前 4 项和 S4=

=120

【点评】 此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的前 n 项和的公式化 简求值,是一道中档题.

8. (3 分) (2013?临淄区校级模拟)数列 公式是( A. ) B. C. D.

,的一个通项

【分析】利用不完全归纳法来求,先把数列中的每一项变成相同形式,再找规律 即可.
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【解答】解;∵数列

,的第三项可写成

,这样,每一

项都是含根号的数,且每一个被开方数比前一项的被开方数多 3,∴ 故选 B 【点评】本题考查了不完全归纳法求数列通项公式,做题时要认真观察,及时发 现规律.

9. (3 分) (2013 春?洱源县期末)在 2 与 16 之间插入两个数 a、b,使得 2、a、 b、16 成等比数列,则 ab=( A.4 B.8 C.16 D.32 )

【分析】由题意结合等比数列的性质可得 ab=2×16,计算可得. 【解答】解:由题意可得 2、a、b、16 成等比数列 由等比数列的性质可得 ab=2×16=32 故选 D 【点评】本题考查等比数列的性质,属基础题.

10. (3 分) (2016 春?五华区校级期中)等比数列前 n 项和为 54,前 2n 项和为 60,则前 3n 项和为( )

A.54 B.64 C.66 D.60 【分析】等比数列前 n 项和为 54,前 2n 项和为 60,可求出第二个 n 项的和, 再由等比数列的性质,求出第三个 n 项的和,相加求前 3n 项和 【解答】解:∵等比数列前 n 项和为 54,前 2n 项和为 60, ∴第二个 n 项的和是 6, ∴第三个 n 项的和是 故前 3n 项和为 60 故选 D 【点评】 本题考查等比数列的性质,解题的关键是理解并能熟练运算等比数列前 n 项和的性质解题. =

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11. (3 分) (2016 春?黄冈校级期中)如图所示,为测一树的高度,在地面上选 取 A、B 两点,从 A、B 两点分别测得树尖的仰角为 30°,45°,且 A、B 两点间的 距离为 60m,则树的高度为( )

A.

B.

C.

D.

【分析】要求树的高度,需求 PB 长度,要求 PB 的长度,在△PAB 由正弦定理可 得. 【解答】解:在△PAB,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60, sin15°=sin(45°﹣30°)=sin45°cos30°﹣cos45°sin30 °= × ﹣ × =

由正弦定理得:

,∴PB=

=30(

+

) ,

∴树的高度为 PBsin45°=30( 答:树的高度为(30+30 故选 A

+

)×

=(30+30

)m,

)m.

【点评】 此题是实际应用题用到正弦定理和特殊角的三角函数值,正弦定理在解 三角形时,用于下面两种情况:一是知两边一对角,二是知两角和一边.

12 . ( 3 分) ( 2016 春 ? 五华区校级期中)已知不等式 ax2+bx+c > 0 的解集为 ,则不等式 cx2+bx+a<0 的解集为( A. D. 【分析】根据已知不等式的解集确定出 a,b,c 的值,代入所求不等式求出解集
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) .

B.

C

即可. 【解答】 解: 由不等式 ax2+bx+c>0 的解集为﹣ <x<2, 得到 a<0, 且 ax2+bx+c= ﹣(3x+1) (x﹣2)=﹣3x2+5x+2, ∴a=﹣3,b=5,c=2, 代入所求不等式得:2x2+5x﹣3<0,即(2x﹣1) (x+3)<0, 解得:﹣3<x< , 则不等式 cx2+bx+a<0 的解集为{x|﹣3<x< }, 故选:A. 【点评】此题考查了一元二次不等式的解法,利用了转化的思想,确定出 a,b, c 的值是解本题的关键.

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) . 13. (4 分) (2016 春?五华区校级期中)在△ABC 中,a=2,b= 角为 30 度. ,c=1,则最小

【分析】由题意可得 C 为最小角,由余弦定理可得 cosC,由三角形内角的范围 可得. 【解答】解:∵在△ABC 中 a=2,b= ∴c 为最小边,C 为最小角, 由余弦定理可得 cosC= = , ,c=1,

由三角形内角范围可得最小角 C=30° 故答案为:30 【点评】本题考查余弦定理求三角形的内角,属基础题.

14. (4 分) (2016 春?宁德校级期末) 在△ABC 中, 已知 a=3 则 b= 2 .

, cosC= , S△ABC=4



【分析】由 cosC 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinC 的值,利用三 矩形面积公式列出关系式,把 a,sinC 以及已知面积代入求出 b 的值即可.
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【解答】解:∵△ABC 中,cosC= , ∴sinC= ∵a=3 = ,S△ABC=4 , b× =4 , ,

∴ absinC=4 解得:b=2 故答案为:2

,即 ×3 ,

【点评】此题考查了余弦定理,三角形面积公式,以及同角三角函数间的基本关 系,熟练掌握公式是解本题的关键.

15. (4 分) (2016 春?五华区校级期中)已知数列{an},an= 么 是这个数列的第 10 项.

,那

【分析】直接由 an=120 求解关于 n 的方程得答案. 【解答】解:由 ,得 n2+2n=120,

即 n2+2n﹣120=0,解得:n=﹣12(舍)或 n=10. ∴ 是这个数列的第 10 项.

故答案为:10. 【点评】本题考查数列递推式,考查了由数列中的项求项数,是基础题.

16. (4 分) (2014?湖南校级模拟)已知数列{an}满足 a1=﹣2,an+1=2+ a 4= ﹣ .

,则

【分析】在已知递推式中分别取 n=1,2,3 即可求得 a4 的值. 【解答】解:由 a1=﹣2,an+1=2+ ,得



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=6,

. 故答案为:﹣ . 【点评】本题考查了数列递推式,考查了学生的计算能力,是基础题.

三、解答题(共 48 分) 17. (8 分) (2016 春?五华区校级期中)等差数列{an}中,a1=2 且 a 数列{an}的前 10 项的和 Sn. 【分析】 设等差数列{an}的公差为 d, 由于 a1=2 且 a
2 =2a4, 可得 (2+d) =2 (2+3d) ,

=2a4,求

化简解出 d,再利用等差数列的前 n 项和公式即可得出. 【解答】 解: 设等差数列{an}的公差为 d, ∵a1=2 且 a 化为:d2=2d, 解得 d=0,d=2. ∴d=0 时,数列{an}的前 10 项的和 S10=2×10=20. d=2 时,数列{an}的前 10 项的和 S10=2×10+ =110.
2 =2a4, ∴ (2+d) =2 (2+3d) ,

【点评】 本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式, 考查了推理能力与 计算能力,属于中档题.

18. (10 分) (2016 秋?鄂尔多斯期末)已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分 别为 a,b,c,且 a=2,cosB= (Ⅰ)若 b=4,求 sinA 的值; (Ⅱ) 若△ABC 的面积 S△ABC=4 求 b,c 的值. 【分析】 (Ⅰ)先求出 sinB= ,再利用正弦定理求 sinA 的值; (Ⅱ)由△ABC 的面积 S△ABC=4 求 c 的值,利用余弦定理求 b 的值.
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【解答】解: (Ⅰ)∵cosB= ∴sinB= , ∵a=2,b=4, ∴sinA= = = ;

(Ⅱ)S△ABC=4= ×2c× ,∴c=5, ∴b= = .

【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题.

19. (10 分) (2007?全国卷Ⅰ)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=2bsinA (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 ,c=5,求 b.

【分析】 (1)根据正弦定理将边的关系化为角的关系,然后即可求出角 B 的正弦 值,再由△ABC 为锐角三角形可得答案. (2)根据(1)中所求角 B 的值,和余弦定理直接可求 b 的值. 【解答】解: (Ⅰ)由 a=2bsinA, 根据正弦定理得 sinA=2sinBsinA,所以 由△ABC 为锐角三角形得 . ,

(Ⅱ)根据余弦定理,得 b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7. 所以, .

【点评】 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用.在解三角形中正余弦定理应 用的很广泛,一定要熟练掌握公式.

20. (10 分) (2014?瓯海区校级模拟)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=﹣n2+24n(n ∈N+)
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(1)求{an}的通项公式; (2)当 n 为何值时,Sn 达到最大?最大值是多少? 【分析】 (1)数列{an}的前 n 项和 Sn=﹣n2+24n,令 n=1 求出首项 a1,利用公式 an=Sn﹣Sn﹣1 求出通项公式; (2)由(1)可知通项公式,an 是递减的,首项为正,注意 an 什么时候小于 0 的 n 值,利用此信息求出 Sn 的最大值; 【解答】解: (1)n=1 时,a1=S1=23 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=﹣2n+25 经验证,a1=23 符合 an=﹣2n+25 ∴an=﹣2n+25(n∈N+) (2)∵an=﹣2n+25 ∴an=﹣2n+25>0,有 n< ∴a12>0,a13<0,故 S12 最大,最大值为 144; 【点评】此题主要考查等差数列通项公式及其前 n 项和公式,求 sn 的最大值, 如果存在肯定是首项为正,然后通项递减,此题是一道基础题;

21. (10 分) (2010?北京)已知{an}为等差数列,且 a3=﹣6,a6=0. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)若等比数列{bn}满足 b1=﹣8,b2=a1+a2+a3,求数列{bn}的前 n 项和公式. 【分析】 (Ⅰ)设出等差数列的公差为 d,然后根据第三项为﹣6,第六项为 0 利 用等差数列的通项公式列出方程解出 a1 和 d 即可得到数列的通项公式; (Ⅱ)根据 b2=a1+a2+a3 和 an 的通项公式求出 b2,因为{bn}为等比数列,可用 求出公比,然后利用首项和公比写出等比数列的前 n 项和的公式. 【解答】解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差 d. 因为 a3=﹣6,a6=0 所以 解得 a1=﹣10,d=2

所以 an=﹣10+(n﹣1)?2=2n﹣12
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(Ⅱ)设等比数列{bn}的公比为 q 因为 b2=a1+a2+a3=﹣24,b1=﹣8, 所以﹣8q=﹣24,即 q=3, 所以{bn}的前 n 项和公式为 【点评】 考查学生会根据条件求出等差数列的通项公式和等比数列的前 n 项和的 公式,此题是一道基础题.

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