山西省忻州一中2019届高三第一次月考数学(理)试题

忻州一中 2019 届高三第一次月考

数学(理)试题

注意事项:

1.满分 150 分,考试时间 120 分钟。
2.交卷时只交试卷和机读卡,不交试题,答案写在试题上的无效。
一.选择题(5×12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项用 2B
铅笔涂黑机读卡上对应题目的答案标号)

1.已知全集U ? R ,集合 A ? {x | x2 ? 2x ? 0} , B ? {x | y ? lg(x ?1)} ,则 (CU A) B 等于

(A).{x | x ? 2或x ? 0}

(B).{x |1 ? x ? 2}

(C).{x |1 ? x ? 2}

(D).{x |1 ? x ? 2}

2.下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2∈(-∞,0),当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)”的函数是

(A).f(x)=-x+1

(B) f(x)=2x (C). f(x)=x2-1

(D).f(x)=ln(-x)

3.下列命题中为真命题的是 (A).命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题 (B).命题“x>1,则 x2>1”的否命题 (C).命题 “若 x=1,则 x2+x-2=0”的否命题 (D).命题“若 x2>x,则 x>1”的逆否命题 4.命题“所有能被 2 整除的整数是偶数”的否定是 (A).所有不能被 2 整除的整数都是偶数 (B).所有能被 2 整除的整数都不是偶数

(C).存在一个不能被 2 整除的整数都是偶数

(D).存在一个能被 2 整除的整数不是偶数

5.若 a ? 0,b ? 0, a ? b ? 2 ,则下列不等式对一切满足条件的 a, b 恒成立的是

① ab ?1; ② a ? b ? 2 ;

所有正确命题是

(A). ①②③

(B). ①②④

③ a2 ? b2 ? 2 ; (C). ①③⑤

④ a3 ? b3 ? 3 ; ⑤ 1 ? 1 ? 2
ab (D). ③④⑤

6.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)=f?ln2xx?的定义域是

(A).(0,1)

(B).[0,1)

(C).[0,1)∪(1,4]

(D).[0,1]

7.函数 y ? ax ? 1 (a ? 0, a ? 1) 的图象可能是 a

8.对于函数 f(x)=a sinx+bx+c(其中 a,b R,c Z),选取 a,b,c 的一组值计算 f(1)和 f(-1)所得出的正确结果一定不.

可.能.是 (A).4 和 6

(B).1 和 2

(C).2 和 4

(D). 3 和 1

9.命题 p : ?x ? R, 使得 3x ? x ;命题 q :若函数 y ? f (x ?1) 为奇函数,则函数 y ? f (x)

的图像关于点 (1,0) 成中心对称.

(A). p ? q 真

(B). p ? q 真

(C). ?p 真

(D). ?q 假

10.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对 x ,都有 f(x-2)=f(x+2),且当 x

时,

f(x)=

,若在区间(-2,6]内关于 x 的方程 f(x)- (x+2)=0(a>1)恰有 3 个不同的实根,则 a 的取值范

围是

(A).(1, 2)

(B).( , 2)

(C).(1, )

(D).(2,+

11.函数 f(x)是定义在 ?0,??? 上的非负可导函数,且满足 xf / ?x? ? f ?x? ? 0 ,对任意正数 a、b,若 a< b,则

必有
(A). af ?b? ? bf ?a? (B). bf ?a? ? af ?b? (C). af ?a? ? f ?b? (D). bf ?b? ? f ?a?

高三数学(理科)第一次月考试题 第 2 页(共 4 页)

12.已知 R 上可导函数 f (x) 的图象如图所示,则不等式 (x2 ? 2x ? 3) f ?(x) ? 0 的解集为

(A). (??,?2) ? (1,??)

(B). (??,?2) ? (1,2)

(C) (??,?1) ? (?1,0) ? (2,??)

(D). (??,?1) ? (?1,1) ? (3,??)

二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13.若正实数 x,y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是________.

14.与直线 2x-y-4=0 平行且与曲线 y ? 5 x 相切的直线方程是



15.已知函数

f

(x

?

2)

?

?1 ? x2

? ?

2?x ,

,

x ? 2, 则 f (1) = x ? 2,



16.函数 f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1]则 b-a 的最小值为________.

三.解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写在答卷纸的

相应位置上)

? ? 17.(本题满分 12 分) A ? {x 1 ? 2?x ? 4} , B ? x x2 ? 3mx ? 2m2 ? m ?1 ? 0 . 32

(1)当 时,求 A 的非空真子集的个数;

(2)若 A ? B ,求实数 m 的取值范围.

18.(本题满分

12

分)已知函数

f

(x)

?

log 1
2

ax ? 2 x ?1

(a

为常数).

(1)若常数 a ? 2 且 a ? 0 ,求 f (x) 的定义域;

(2)若 f (x) 在区间(2,4)上是减函数,求 a 的取值范围
19.(本题满分 12 分)二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图像恒.在 y=2x+m 的图像上方,试确定实数 m 的范围.

高三数学(理科)第一次月考试题 第 3 页(共 4 页)

20.(本题满分 12 分)

已知函数

,

; 函数 g(x)=

的最小值为 h(a).

(1)求 h(a); (2)是否存在实数 m、n 同时满足下列条件:
①m>n>3;

②当 h(a)的定义域为[m,n]时,值域为 , ]?若存在,求出 m、n 的值;若不存在,说明理由。
21.(本题满分 12 分)
已知 f (x) ? ax ? ln x, x ?(0, e], g(x) ? ln x ,其中 e 是自然常数, a ? R . x
(1)讨论 a ?1时, f (x) 的单调性、极值;

(2)求证:在(1)的条件下, f (x) ? g(x) ? 1 ; 2
(3)是否存在实数 a ,使 f (x) 的最小值是 3 ,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,

则按所做的第一题得分。

22.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? ?

x

在直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 ?

?y

? ?

?1 ? ?1 ?

3t 5 4t

t 为参数).若以坐标原点 O 为极点, x

轴正半轴为极

?

5

轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 sin(? ? ? ) . 4
(1)求曲线 C 的直角坐标方程;

(2)求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长.

高三数学(理科)第一次月考试题 第 4 页(共 4 页)

忻州一中 2019??2019 学年第一次月考 高三数学 参考答案

三.解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分)
? ? 17.解:化简集合 A= x ? 2 ? x ? 5 ,集合 B ??x (x ? m ?1)(x ? 2m ?1) ? 0? .

………….3 分

( 1 ) ? x ? N,? A ? ?0,1,2,3,4,5? , 即 A 中 含 有 6 个 元 素 , ? A 的 非 空 真 子 集 数 为 26 ? 2 ? 62

个.

.6 分

(2)(2m+1)-(m-1)=m+2

①m= -2 时, B ? ? ? A;…………7 分

② 当 m< - 2 时 , (2m+1)<(m - 1) , 所 以 B= ?2m ?1, m ?1? , 因 此 , 要 B ? A , 则 只 要

?2m

? ?

m

?1? ?1?

?2 5

?

?

3 2

?

m

?

6

,所以

m

的值不存在;…………8



③当 m>-2 时, (2m+1)>(m-1),所以 B=(m-1,2m+1),因此,要 B ? A ,则只要

高三数学(理科)第一次月考答案 第 1 页(共 5 页)

?m ?1 ? ?2 ??2m ?1 ? 5

?

?1

?

m

?

2

.…………10



综上所述,m 的取值范围是:m=-2 或 ?1 ? m ? 2.

…………12 分

18.解:(1)由 ax ? 2 ? 0 , x ?1
当 0 ? a ? 2 时,解得 x ?1或 x ? 2 ,………2 分 a
当 a ? 0 时,解得 2 ? x ? 1 .………4 分 a
故当 0 ? a ? 2 时, f (x) 的定义域为{ x | x ?1或 x ? 2 } a
当 a ? 0 时, f (x) 的定义域为{x | 2 ? x ? 1 }.……6 分 a

(2)令 u

?

ax ? 2 x ?1

,因为

f

(x)

?

log 1
2

u

为减函数,故要使

f

(x)

在(2,4)上是减函数,

u ? ax ? 2 ? a ? a ? 2 在(2,4)上为增函数且为正值. ……8 分

x ?1

x ?1

?a ? 2 ? 0

故有

? ?

??umin

?

u(2)

?

2a ? 2 2 ?1

?

0

?1?

a

?

2 .………10



故 a ?[1, 2) .………12 分
19. 解(1)设 f(x)=ax2+bx+c,由 f(0)=1 得 c=1,故 f(x)=ax2+bx+1. ∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,………2 分 即 2ax+a+b=2x,

∴???2a=2, ??a+b=0,

………4

分???a=1, ??b=-1,

……5 分∴f(x)=x2-x+1. ………6 分

(2)由题意得 x2-x+1>2x+m 在[-1,1]上恒成立.即 x2-3x+1-m>0 在[-1,1]上恒成立.……8 分

设 g(x)=x2-3x+1-m,其图像的对称轴为直线 x=32,

∴g(x)在[-1,1]上递减.即只需 g(1)>0,………10 分即 12-3×1+1-m>0,解得 m<-1. 所以 m 的取值范围为 m∈(-∞,-1).………12 分

20. 解:⑴

,





+3

2分



;……3 分



时,

当 时,

∴h(a)=

; 4分
;……5 分
………6 分

⑵ 假设满足条件的 m、n 存在,

,

,在(3,+ 是减函数………8 分

h(a)的定义域为[m,n]时,值域为 , ]



10 分

,



,

很显然矛盾。

∴满足题意的 m、n 不存在。………12 分
21.解:(1) f (x) ? x ? ln x, f '(x) ? 1? 1 ? x ?1 , 1 分 xx
∴当 0 ? x ?1时, f ' (x) ? 0 , 当1? x ? e 时, f ' (x) ? 0 , 3 分

f (x) 在(0,1)单调递减;在(1,e)单调递增.∴ f (x) 的极小值为 f (1) ? 1; 4 分

(2) f (x) 的极小值为 1,即 f (x) 在 (0, e] 上的最小值为1、∴ f (x) ? 0, f (x)min ? 1,



h(x)

?

g(x)

?

1 2

?

ln x x

?

1 2



h' ( x)

?

1? ln x2

x

,当

0

?

x

?

e

时,

h' ( x)

?

0



h(x) 在 (0, e] 上 单调递增,

6分

∴ h(x)max

?

h(e) ?

1? e

1 2

?

1? 2

1 2

?1?

f

(x)min ,

7分

在(1)的条件下, f (x) ? g(x) ? 1 ; 8 分 2

(3)假设存在实数 a ,使 f (x) ? ax ? ln x, x ?(0, e]有最小值 3 , f ' (x) ? a ? 1 ? ax ?1 xx

① 当 a ? 0 时, x ? (0, e] ? f ' (x) ? 0 ,所以 f (x) 在 (0, e] 上单调递减,

f

( x)min

?

f

(e)

?

ae ?1 ? 3 、解得 a

?

4 e

(舍),所以,此时

f

(x) 无最小值.

9分

②当 0 ? 1 ? e 时, f (x) 在 (0, 1 ) 上单调递减,在 ( 1 , e] 上单调递增、

a

a

a

f

( x)min

?

f

(1) a

? 1? ln a

?3,a

?

e2 ,满足条件.

10 分

③ 当 1 ? e 时, x ? (0, e],? f ' (x) ? 0 ,所以 f (x) 在 (0, e] 上单调递减, a

f (x)min

?

f (e) ? ae ?1 ? 3 ,解得 a

?

4 (舍),所以,此时 e

f (x) 无最小值.

11 分

综上,存在实数 a ? e2 ,使得当 x ? (0, e]时 f (x) 有最小值 3 . 12 分

22.(1) 由 ? ? 2 sin(? ? ? ) 得: ? ? cos? ? sin? 4
两边同乘以 ? 得: ? 2 ? ? cos? ? ? sin?

∴ x2 ? y2 ? x ? y ? 0 即(x ? 1)2 ? (y ? 1)2 ? 1

2

22

4

(2)将直线参数方程代入圆 C 的方程得: 5t 2 ? 21t ? 20 ? 0

6分

? t1

? t2

?

21 5 , t1t2

?

4

8分

?| MN |? t1 ? t2 ?

(t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ?

41 5

10 分

23. (1)当 a ? 1 时,原不等式可化为 x ? 3 ? x ? 7 ? 10,

?? 2x ? 4(x ? 3) x ? 3 ? x ? 7 ? ??10(?3 ? x ? 7) ,

??2x ? 4(x ? 7)

3分

?

?当 x ? ?3 时,由 ? 2x ? 4 ? 10得x ? ?3;

? ? 当 x ? 7 时,由 2x ? 4 ? 10得x ? 7, ?原不等式的解集为 x x ? ?3或x ? 7 . 5 分

·6·


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