2019年人教版选修4-5高中数学第10课时不等式的证明方法之——反证法优质课教案

课 题: 第 10 课时 不等式的证明方法之三:反证法 目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 前面所讲的几种方法,属于不等式的直接证法。也就是说,直接 从题设出发,经过一系列的逻辑推理,证明不等式成立。但对于一些 较复杂的不等式,有时很难直接入手求证,这时可考虑采用间接证明 的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性,而是 证明它的反论题为假,或转而证明它的等价命题为真,以间接地达到 目的。其中,反证法是间接证明的一种基本方法。 反证法在于表明: 若肯定命题的条件而否定其结论, 就会导致矛 盾。具体地说,反证法不直接证明命题“若 p 则 q” ,而是先肯定命 题的条件 p,并否定命题的结论 q,然后通过合理的逻辑推理,而得 到矛盾,从而断定原来的结论是正确的。 利用反证法证明不等式,一般有下面几个步骤: 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论; 第二步 作出与所证不等式相反的假定; 第三步 从条件和假定出发, 应用证确的推理方法, 推出矛盾结 果; 第四步 断定产生矛盾结果的原因,在于开始所作的假定不正 确,于是原证不等式成立。 二、典型例题: 例 1、已知 a ? b ? 0 ,求证: n a ? n b ( n ? N 且 n ? 1 ) 例 1、设 a 3 ? b 3 ? 2 ,求证 a ? b ? 2. 证明:假设 a ? b ? 2 ,则有 a ? 2 ? b ,从而 a 3 ? 8 ? 12b ? 6b 2 ? b 3 , a 3 ? b 3 ? 6b 2 ? 12b ? 8 ? 6(b ? 1) 2 ? 2. 因为 6(b ? 1) 2 ? 2 ? 2 , 所以 a 3 ? b 3 ? 2 , 这与题设条件 a 3 ? b 3 ? 2 矛 盾,所以,原不 等式 a ? b ? 2 成立。 例 2、设二次函数 f ( x) ? x 2 ? px ? q ,求证: f (1) , f (2) , f (3) 中至少 有一个不小于 . 证明:假设 f (1) , f (2) , f (3) 都小于 ,则 f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? 2. 1 2 1 2 (1) 另一方面,由绝对值不等式的性质,有 f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? (1 ? p ? q) ? 2(4 ? 2 p ? q) ? (9 ? 3 p ? q) ? 2 (2) (1) 、 (2)两式的结果矛盾,所以假设不成立,原来的结论 正确。 注意:诸如本例中的问题,当要证明几个代数式中,至少有一个 满足某个不等式时,通常采用反证法进行。 议一议:一般来说,利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾 结果,通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、 已证不等式,以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例,讨 论寻找矛盾的手段、方法有什么特点? 例 3、设 0 < a, b, c < 1,求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a, 不可能同时大于 1 4 四、练习: 1、利用反证法证明:若已知 a,b,m 都是正数,并且 a ? b ,则 a?m a ? . b?m b 2、设 0 < a, b, c < 2,求证:(2 ? a)c, (2 ? b)a, (2 ? c)b, 不可能同时大于 1 3、若 x, y > 0,且 x + y >2,则 2。 提示:反设 1? y 1? x ≥2, ≥2 x y 1? y 1? x 和 中至少有一个小于 x y ∵x, y > 0,可得 x + y ≤2 与 x + y >2 矛盾。 五、作业:

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