2016-2017学年广东省深圳市南山区高三上学期期末考试数学文试题

高 三 教 学 质 量 监 测



学(文科)

2017.01.04

注意:本试卷分选择题和非选择题两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.
1.答卷前,考生填、涂好学校、班级、姓名及座位号。 2.选择题用 2B 铅笔作答;非选择题必须用黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上,并将答题卡交回。

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的,请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡 ................. 上 。 .

1.已知集合 A = x | y ? 3 ? x ,集合 B ? x x ? 2 , A ? B ? A. [0, 3] B.[2, 3] C.[2, ??) D.[3, ??)

?

?

?

?

2.若复数 z 满足,(4 ? 3i ) z ? 3 ? 4i ,则 z 的虚部为 A. ?

3 5

B. ?

4 5

C. ?

3 i 5

D. ?

4 i 5

3.椭圆 A. 3

x2 y2 ? ? 1上一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 2 ,则 P 到另一焦点的距离为 9 25
B. 5 C. 7 D. 8

4.已知数列 {a n } 为等差数列,若 a2 ? a6 ? a10 ?

? ,则 tan( a3 ? a9 ) 的值为 2
D. 3

3 C. 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 5.设 a , b 是非零向量,“ a ? b ? a b ”是“ a //b ”的
A. 0 B. A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

6. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时,f ( x) ? x ? 2 x , 则函数 g ( x ) ? f ( x ) ? 1 的零点的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7.已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面边长为 2cm ,高为 4cm , 则一质点自点 A 出发, 沿着三棱柱的侧面, 绕行两周到达点 A1

的最短路线的长为 A. 4 10cm C. 2 13cm B. 12 3cm D. 13cm

8. 已知 ?ABC 中,a ,b ,c 分别为内角 A, B, C 所对的边长, 且 a ? 1, b ? 2 ,tan C ? 1 , 则 ? ABC 外接圆面积为 A.

1 ? 2

B.

1 ? 3

C.

?

D.

3?
开始 n ? 0, S ? 0

9.一个几何体的三视图如图所示, 则这个几何体外接球的表面积为 A. 8? B. 16? C. 32? D. 64? 10.如图所示,输出的 n 为 A. 10 11 . 椭 圆 C : B. 11 C. 12 D. 13
S?S?

n ? n ?1

1 2n ? 13

S ? 0?



x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 左 焦 点 为 F , 若 F 关 于 直 线 a2 b2


输出 n

3 x ? y ? 0 的对称点 A 是椭圆 C 上的点,则椭圆 C 的离心率为
A.

结束

2 -1

B.

3 ?1

C.

5?2

D.

6 -2

第 10 题

12. 已知函数 f ( x) ? ? 的取值范围是 A. ( - ?, 0]

?ln(? x ? 1), x ? 0
2 ?x ? 2 x, x ? 0

, 若 f ( x ) ? ( m ? 1) x ? 0 , 则实数 m

B. [ ?1,1]

C. [0,2]

D. [ 2,?? )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷上 。 ......... ? ? ? ? ? ? ? ? 13.已知向量 a , b 满足 a ? b ? 0 , a ? 1, b ? 2 ,则 a ? b ? .
?y ? x ?1 y ? 14.已知实数 x, y 满足 ? x ? 3 ,则 的最大值是_____________. x ?x ? 5 y ? 4 ?

1 x 2 ? 4 x ?3 ? 1 的解集为 的最小值为 m 时,不等式 m . 9a ? ? ? 1 ? ? 3 , ? ? ? ? 0,cos(? ? ) ? ,sin( ? ) ? 16.若 0 ? ? ? , 2 2 4 3 2 4 3 则 cos(2? ? ? ) ? _____________.
15.若 a ? R , 则当 a ?
?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明或演算步骤。
17.(本小题满分 12 分) 设数列{a n }满足: a1 ? 1, 3a 2 ? a1 ? 1 ,且 (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)设数列 b1 ?

2 a n ?1 ? a n ?1 ? an a n ?1 a n ?1

?n ? 2?

1 , 4bn ? a n ?1 a n ,设{bn }的前 n 项和T n .证明: Tn ? 1 2

18.(本小题满分 12 分) 某校高一(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污 损,可见部分如下图.

(Ⅰ)求分数在 [50, 60) 的频率及全班人数; (Ⅱ)求分数在 [80,90) 之间的频数,并计算频率分布直方图中 [80,90) 间矩形的高; (Ⅲ)若要从分数在 [80,100) 之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,求在抽取的试卷 中,至少有一份分数在 [90,100) 之间的概率. 19.(本小题满分 12 分)

? 1 , AB ? BC ? AD ? a , 2 2 E 是 AD 的中点, O 是 AC 与 BE 的交点,将△ ABE 沿 BE 折起到图(2)中△ A1 BE 的位 置,得到四棱锥 A1 ? BCDE .
如图(1)在直角梯形 ABCD 中, AD / / BC , ?BAD ?

(Ⅰ)求证: CD ? 平面 A1OC ; (Ⅱ)当平面 A1 BE ⊥平面 BCDE 时,若 a ? 2 ,求四棱锥 A1 ? BCDE 的体积. 20.(本小题满分 12 分)

x2 y2 设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1,F2 ,过右焦点 F2 的直线 l 与 C 相交于 a b P,Q 两点,若 ?PQF1 的周长为短轴长的 2 3 倍.

(Ⅰ)求 C 的离心率;

(Ⅱ)设 l 的斜率为 1,在 C 上是否存在一点 M ,使得 OM ? 2OP ? OQ ?若存在,求出 点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

???? ?

??? ? ????

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ?

a ?1 x

(Ⅰ)若 a ? 0 或 a ? ?1 时,讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)证明: f ( x ) 至多一个零点

请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做 答时请写清题号。
22.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系, 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 ?

? x ? 3 cos ? ( ? 为 参 数 ) , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为 ? y ? sin ?

? cos ? ? ? sin ? ? 4 ? 0 .
(Ⅰ)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)设 P 为曲线 C1 上一点,求点 P 到曲线 C2 的距离 PQ 的最大值.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? x ? a . (Ⅰ)若 a ? 1 ,解不等式 f ? x ? ? 2 x ? 2 ; (Ⅱ)若 f ? x ? ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

高三(文)参考答案及评分标准
2017.1

一、选择题:(12×5'=60') 题 号 答 案 1
B

2

3

4

5 A

6 B

7
A

8
A

9 C

10 D

11 B

12

A

D

D

B

二、填空题:(4×5'=20') 13. 5 15. x x ? ?3或x ? -1? 三、解答题:(70')
17.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)?

14. 16.

2 3 23 27

?

2 a n ?1 ? a n ?1 ?n ? 2? , ? an a n ?1 a n ?1 , ? 1 ? 1, 1 ?

? 3 2

2

an

?

1

a n ?1
1 ?

? 1

1

an ?1
?

………1 分

又 a1 ? 1, 3a2 ? a1 ? 1

a1

a2

?

a2

a1

1 ………3 分 2

?1 ?? ?a n ? 1

? 1 ? 是首项为 1,公差为 的等差数列………5 分 2 ? ? 1? 1 ?n ? 1? ? 1 ?n ? 1? 2 2
即 an ?

an

2 ………7 分 n ?1

(Ⅱ)? 4bn ? a n ?1 a n

? bn ? ?

1 1 1 1 ? ? ? n ? (n ? ) n(n ? 1) n n ? 1

………9 分

1 1 1 1 1 1 T n ? b1 ?b 2 ? ? ? ? ?b n ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )? 1? ? 1 2 2 3 n n ?1 n ?1
…………12 分 18.(本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)分数在 [50, 60) 的频率为 0.008 ? 10 ? 0.08 ,

由茎叶图知:分数在 [50, 60) 之间的频数为 2,所以全班人数为 (Ⅱ)分数在 [80, 90) 之间的频数为 25 ? 22 ? 3 ; 频率分布直方图中 [80, 90) 间的矩形的高为

2 ? 25 .………4 分 0.08
………8 分

3 ? 10 ? 0.012 . 25

(Ⅲ)将 [80, 90) 之间的 3 个分数编号为 a1 , a2 , a3 , [90,100) 之间的 2 个分数编号为 b1 , b2 , 在 [80,100) 之间的试卷中任取两份的基本事件为: ( a1 , a2 ) , (a1 , a3 ) , (a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) ,

( a2 , a3 ) , (a2 , b1 ) , ( a2 , b2 ) , ( a3 , b1 ) , (a3 , b2 ) , (b1 , b2 ) 共 10 个,
其中,至少有一个在 [90,100) 之间的基本事件有 7 个, 故至少有一份分数在 [90,100) 之间的概率是 19.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)证明:在图(1)中,因为 AD / / BC , AB ? BC ?
E 是 AD 中点, ?BAD ?

7 . 10

………12 分

?
2

1 AD ? O , 2

,所以 BE ? AC ,且 CD / / BE , …………4 分

所以在图(2)中, BE ? A1O , BE ? OC , 又 BE ? 平面 A1OC , CD / / BE , 所以 CD ? 平面 A1OC .

…………6 分

(Ⅱ)解:由题意,可知平面 A1 BE ? 平面 BCDE ,且平面 A1 BE ? 平面 BCDE ? BE , 又由(1)可得 A1O ? BE ,所以 A1O ? 平面 BCDE , 即 A1O 是四棱锥 A1 ? BCDE 的高, 由图(1)知, A1O ? …………8 分

2 2 AB ? a , S ? BCDE ? BC ? AB ? a 2 ,又 a ? 2 2 2 1 1 2 2 3 4 2 …12 分 S? BCDE ? A1O ? ? a 2 ? a? a ? 3 3 3 2 6

所以四棱锥 A1 ? BCDE 的体积 V ? 20.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)∵ 4a ? 4 3b ,即 a ? 分 (Ⅱ)设椭圆方程 x ? 3 y ?
2 2

b 6 . 3b ,∴ e ? 1 ? ( ) 2 ? a 3

…………4

3 2 c ,直线方程为 y ? x ? c , 2

3 2 c ? 0 ,设 P ( x1 , y1 ),Q ( x2 , y2 ) , 2 3 3 则 x1 ? x2 ? c , x1 x2 ? c 2 , 2 8 3 设 M ( x0 , y0 ) ,则 x0 2 ? 3 y0 2 ? c 2 , 2
代入得 4 x 2 ? 6cx ? 由 OM ? 2OP ? OQ 得 ?

…………6 分

???? ?

??? ? ????

? x0 ? 2 x1 ? x2 3 2 2 2 ,代入得 (2 x1 ? x2 ) ? 3(2 y1 ? y2 ) ? c , 2 ? y0 ? 2 y1 ? y2
………8 分

3 即 c 2 ? ( x1 x2 ? 3 y1 y2 ) ? 0 ,又∵ x1 x2 ? 3 y1 y2 ? x1 x2 ? 3( x1 ? c )( x2 ? c ) ? 0 , 2 ???? ? ??? ? ???? 3 2 c ? ( x1 x2 ? 3 y1 y2 ) ? 0 无解,所以不存在点 M ,使得 OM ? 2OP ? OQ ………12 分 2
21.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 ( 0 , ? ? )

f ' ( x) ? a ?

1 a ? 1 ax 2 ? x ? (a ? 1) (ax ? a ? 1)( x ? 1) …………….1 分 ? 2 ? ? x x x2 x2

① a ? 0 时, 则当 x ? (0 , 1) 时,f ' ( x ) ? 0 ,f ( x ) 单调递减; 当 x ? (1 , ? ? ) ax ? a ? 1 ? 0 , 时, f ' ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增。 ② a ? ?1 时, ax ? a ? 1 ? 0 ,则当 x ? (0 , 1) 时, f ' ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增;当 x ? (1 , ? ? ) 时, f ' ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减。…………….4 分 (Ⅱ)对于函数 f ( x ) :③ ? 1 ? a ? 0 时,令 f ' ( x ) ? 0 ,解得 x ? 1或 ?
1? ? 1 ? a ? ?

1 a ?1 a ?1 时, 0 ? ? ? 1 ,故当 x ? (0 , ? ) 时, f ' ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调 2 a a a ?1 递减;当 x ? (? , 1) 时, f ' ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增;当 x ? (1 , ? ? ) 时, f ' ( x ) ? 0 , a f ( x ) 单调递减。 1 2 ? a ? ? 时, f ' ( x ) ? 0 , f ( x ) 在 ( 0 , ? ? ) 上递减。 2 1 a ?1 3? ? ? a ? 0 时 , ? ? 1 , 故 当 x ? (0 , 1) 时 , f ' ( x ) ? 0 , f ( x ) 单 调 递 减 ; 当 2 a a ?1 a ?1 当 x ? (? x ? (1 , ? ) 时,f ' ( x ) ? 0 ,f ( x ) 单调递增; , ? ? ) 时,f ' ( x ) ? 0 ,f ( x ) a a
单调递减。 …………7 分 故有 ① 设 a ? 0 , f ( x ) ? f (1) ? 2 a ? 1 ? 0 , f ( x ) 无零点。…………8 分 ② 设 a ? ?1 , f ( x ) ? f (1) ? 2 a ? 1 ? 0 , f ( x ) 无零点。…………9 分

a ?1 a

1 , f ( x ) 单调递减,至多一个零点。…………10 分 2 1 a ?1 ④ 设 ? 1 ? a ? ? ,则当 x ? (0 , ? ) 时, f ( x ) 单调递减;当 2 a
③ 设a ? ?

x ? (?

a ?1 , ? ? ) 时, f ( x ) ? f (1) ? 2 a ? 1 ? 0 。因此 f ( x ) 至多一个零 a

点。…………11 分

1 a ?1 a ?1 ? a ? 0 ,则当 x ? ( ? , ? ? ) , f ( x ) 单调递减;当 x ? (0 , ? ) 2 a a 时, f ( x ) ? f (1) ? 2 a ? 1 ? 0 。因此 f ( x ) 至多一个零点。…………12 分 综上, f ( x ) 至多一个零点。 ………12 分
⑤ 设? 22.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 解:(Ⅰ)由 ? 分 由 ? cos ? ? ? sin ? ? 4 ? 0 得,曲线 C2 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 . (Ⅱ)设 P ( 3 cos ? , sin ? ) ,则点 P 到曲线 C2 的距离为 ………5 分

? x ? 3 cos ? ? y ? sin ?

消去参数 ? 得,曲线 C1 的普通方程得

x2 ? y 2 ? 1 .………3 3

d?

3 cos ? ? sin ? ? 4 2

2 cos(? ? ? 2

? )?4 6

?

4 ? 2 cos(? ? 2

? ) 6

………8 分

当 cos(? ?

? ) ? ?1 时, d 有最大值 3 2 ,所以 PQ 的最大值为 3 2 . 6

………10 分

23.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 解:(Ⅰ) 当 a ? 1 时, f ? x ? ? 2 x ? 2 ,即 x ? 1 ? x ? 2 ,解得 x ? 所以原不等式的解集为 ? x | x ?

1 , 2
………5 分

? ?

1? ?. 2?

( Ⅱ ) f ? x? ? x ? 2 ? x ? a ? x ? 2 ? ? x ? a? ? a ? 2 , 若 f ? x? ? 2 恒 成 立 , 只 需

a ? 2 ? 2 ,即 a ? 2 ? 2 或 a ? 2 ? ?2 ,解得 a ? 0 或 a ? ?4 .

………10 分


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