2016山西体育职业学院单招数学模拟试题(附答案)


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2016 山西体育职业学院单招数学模拟试题(附答案)
1.已知集合 M= ?x | 0 ? x ? 3? ,N= ?x || x |? 2? ,则 M∩N=____________.

2.复数

2?i 的虚部为____________. 1? i

3.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的一点P,到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距 25 16

离为____________.

?x ? y ?1 ? 0 ? 4.如果实数 x、 y 满足条件 ? y ? 1 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ?

,那么 2 x ? y 的最大值为____________.

5. 已知函数 f(x)=mx+6 在闭区间 ?? 2,3? 上存在零点,则实数 m 的取值范围是. 6.已知 ? , ? 是两个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,给出下列命题: ①若 m ? ? , m ? ?,则? ? ? ; ②若 m ? ? , n ? ? , m // ?,n // ? , 则? // ? ;

n与? 相交; ③如果 m ? ? , n ? ? , m、n是异面直线,那么
④若 ? ? ? ? m, n // m,且n ? ? , n ? ?,则n // ?且n // ? . 其中正确的命题是____________ . 7. 若 sin(? ?

?
12

)?

1 7? , 则 cos( ? ? ) 的值为. 3 12

8. 已知 | a | ? 1 , | b |? 2 , a ? (a ? b) ,则 a 与 b 夹角的度数为

?? ?

?

?

? ?

?

?

___

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9.已知定义在 R 上的函数 f ( x)、g ( x) 满足

f ( x) ? a x ,且 f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) , g ( x)

15 f (1) f (?1) 5 f (n) }( n ? 1, 2,3,?,10 )的前 n 项和大于 的概 ? ? . 则有穷数列{ 16 g (n) g (1) g (?1) 2
率是____________ .

x2 y2 10. 已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0)与双曲线 2 ? 2 ? 1 有相同的焦 a b
2

a1
a2 a3 a 4

点 F,点 A 是两曲线的交点,且 AF⊥x 轴,则双曲线的离心率为 ____________.

a5 a 6 a 7 a8 a9

11.7 位同学中需选派 4 位按一定的顺序参加某演讲比赛,要求甲, …………………………………… 乙两人必须参加,那么不同的安排方法有____________种. 12.已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 棱长 1,顶点 A、B、C、D 在半球的底面内,顶点 A1、 B1、C1、D1 在半球球面上,则此半 球的体积是. . 13.已知 an ? n ,把数列 {an } 的各项排列成如右侧的三角形状: 记 A(m, n) 表示第 m 行的第 n 个数,则 A(10, 2) ? ____________. 14.在正方体的 8 个顶点中任意选择 4 个顶点,它们可能是如下几何图形的 4 个顶点, 这些几何图形是 ①梯形; ②矩形; ③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边 三角形的四面体; .(写出所有正确结论的编号 ). ..

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④每个面都是等边三角形的四面体; ⑤每个面都是等腰直角三角形的四面体. 二.解答题

? ? ? ? 15.已知向量: a ? (2sin ?x,cos2 ?x),向量b ? (cos ?x,2 3), 其中? ? 0 ,设函数

? ? f ( x) ? a ? b ,若 f ( x) 图象的相邻两对称轴间的距离为 ? .

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若对任意实数 x ? [

? ?

, ] ,恒有 | f ( x) ? m |? 2 成立,求实数 m 的取值范围. 6 3

16. .如图,多面体 AEDBFC 的直观图及三视图如图所示, M , N 分别 为 AF, BC 的中点. (1)求证: MN // 平面 CDEF ; (2)求多面体 A ? CDEF 的体积; (3)求证: CE ? AF .

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3 3 3 3 ? a2 ? a3 ??? an ? (Sn )2 , 记 17. 设数列 {a n } 的各项都是正数, 且对任意 n ? N 都有 a1
?

Sn 为数列 {a n } 的前 n 项和. {a n } 的通项公式; (1) 求证: a 2 n ? 2Sn ? a n ;(2) 求数列
? (3) 若 b n ? 3n ? (?1) n ?1 ? ? 2 a n ( ? 为非零常数, n ? N ), 问是否存在整数 ? , 使得对任意

n ? N? ,
都有 b n ?1 ? b n .

( , 0) ( , 0) 18. 已知 F ,F ,点 P 满足 | PF 1 ?2 2 2 1 | ? | PF 2 |? 2 ,记点 P 的轨迹为 E ,直线
l 过点 F2 且与轨迹 E 交于 P 、 Q 两点. 0) (1)无论直线 l 绕点 F2 怎样转动,在 x 轴上总存在定点 M(m, ,使 MP ? MQ 恒成
立,求实数 m 的值. (2)过 P 、 Q 作直线 x ?

1 的垂线 PA 、 QB ,垂足分别为 A 、 B ,记 2

??

| PA | ? | QB | ,求 ? 的取值范围. | AB |

19.如右图(1)所示,定义在区间 D 上的函数 f ( x) ,如果满

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足:对 ? x ? D , ? 常数 A,都有 f ( x) ? A 成立,则称函数 ..

f ( x) 在 区间 ,其中 A 称为函数的下界 . (提示:图(1)、 . ..D 上有下界 .... .....
(2)中的常数 A 、 B 可以是正数,也可以是负数或零)

3 (Ⅰ)试判断函数 f ( x) ? x ?

48 在 (0, ??) 上是否有下界?并说明理由; x

(Ⅱ)又如具有右图(2)特征的函数称为在区间 D 上有上界. 请你类比函数有下界的定义,给出函数 f ( x) 在区间 D 上 有上界的定义,并判断(Ⅰ)中的函数在 (??, 0) 上是否 有上界?并说明理由; (Ⅲ)若函数 f ( x) 在区间 D 上既有上界又有下界,则称函数

f ( x) 在区间 D 上有界,函数 f ( x) 叫做有界函数.试探究函数 f ( x) ? ax 3 ?

b x

( a ? 0, b ? 0 a , b 是常数)是否是 [m, n] ( m ? 0, n ? 0, m 、 n 是常数)上的有 界函数?

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参考答案
1. {x|2<x<3} 2. ?

3 2

3. 7 4. 1

5,m ? ?2 或 m ? 3

6. ①④

7. -1/3

8. 120 0 ④

9.

3 5

10. 2 ? 1 11. 240

12.

6? 2

13. 83

14.②③

二,解答题

2 15. 解 f ( x) ? a ? b ? (2 sin ?x, cos ?x) ? (cos?x,2 3) ? sin 2?x ? 3(1 ? cos2?x)

? 2 sin( 2?x ?

?
3

)? 3
2? 1 ? 2? ,? ? ? 2? 2

∵相邻两对称轴的距离为 ? ,?

? f ( x) ? 2 sin( x ?
(II)? x ? [

?
3

)? 3

? ?

? ? 2? , ],? x ? ? [ , ] 6 3 3 2 3

? 2 3 ? f ( x) ? 2 ? 3 ,
| f ( x) ? m |? 2,? ?2 ? m ? f ( x) ? 2 ? m 又?
若对任意 x ? [

? ?

? ?? 2 ? m ? 2 3 , ] ,恒有 | f ( x) ? m |? 2成立, 则有? 6 3 ? ?2 ? m ? 2 ? 3

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解得 3 ? m ? 2 ? 2 3

16.(1)证明:由多面体 AEDBFC 的三视图知, 三棱柱 AED ? BFC 中,底面 DAE 是等腰直 角三角形, DA ? AE ? 2 , DA ? 平面 ABEF , 侧面 ABFE, ABCD 都是边长为 2 的正方形. 连结 EB ,则 M 是 EB 的中点, 在△ EBC 中, MN // EC , 且 EC ? 平面 CDEF , MN ? 平面 CDEF , ∴ MN ∥平面 CDEF .

(2) 因为 DA ? 平面 ABEF , EF ? 平面 ABEF ,

? EF ? AD ,
又 EF ⊥ AE ,所以, EF ⊥平面 ADE , ∴四边形 CDEF 是矩形, 且侧面 CDEF ⊥平面 DAE 取 DE 的中点 H , ? DA ? AE, DA ? AE ? 2 ,? AH ? 2 , 且 AH ? 平面 CDEF . 所以多面体 A ? CDEF 的体积 V ?
1 1 8 S CDEF ? AH ? DE ? EF ? AH ? . 3 3 3

(3)∵ DA ? 平面 ABEF , DA ∥ BC , ∴ BC ? 平面 ABEF ,

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∴ BC ? AF , ∵面 ABFE 是正方形, ∴ EB ? AF , ∴ AF ? 面BCE , ∴ CE ? AF .(本题也可以选择用向量的方法去解决)

3 2 17.证明:(1)在已知式中, 当 n ? 1 时, a 1 ? a1 , ∵ a 1 ? 0, ∴ a 1 ? 1 .

3 3 3 3 2 当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? ?? an?1 ? an ? (Sn ) ?? ①

3 3 3 2 a1 ? a2 ? ?? an ?1 ? (Sn?1 ) ?? ②

3 由①-②得, an ? an (2Sn?1 ? an )

2 a ? 1 适合上式, ∵ a n ? 0, ∴ an ? 2Sn?1 ? an , 即 a 2 n ? 2S1 ? a n , ∴ 1

a2 n ? 2Sn ? a n (n ? N ? ) .
(2)由(1)知, a 2 n ? 2Sn ? a n (n ? N ? ) ?? ③ 当 n ? 2 时, a 2 n ?1 ? 2Sn ?1 ? a n ?1 ??④
2 ? a n ? a n ?1 . 由③-④得, a 2 n ? a n ?1 ? 2(Sn ? Sn ?1 ) ? a n ? a n ?1 ? 2a n ? a n ? a n ?1

∵ a n ? a n ?1 ? 0 , ∴ a n ? a n ?1 ? 1 , 数列 {a n } 是等差数列,首项为 1,公差为 1, 可得

an ? n .
a (3) ∵ a n ? n , ∴ b n ? 3n ? (?1) n ?1 ? ? 2 n ? 3n ? (?1) n ?1 ? ? 2 n ,

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∴ b n ?1 ? b n ? 3n ?1 ? (?1) n ? ? 2 n ?1 ? [3n ? (?1) n ?1 ? ? 2 n ] ? 2 ? 3n ? 3?(?1) n ?1 ? 2 n ? 0 , ∴ (?1)
n ?1

3 ? ? ? ( ) n ?1 ? ?⑤ 2
3 2

2k ?2 当 n ? 2k ? 1, k ? 1, 2, 3,?? 时, ⑤式即为 ? ? ( ) ? ?⑥

依题意, ⑥式对 k ? 1, 2, 3,?? 都成立, 当 n ? 2k, k ? 1, 2, 3,?? 时,

2 k ?1 ⑤式即为 ? ? ?( ) ? ?⑦依题意, ⑦式对 k ? 1, 2, 3,?? 都成立,

3 2

∴? ? ?

3 ………(13 分) 2

∴?

3 ? ? ? 1, 又 ? ? 0 , 2

∴存在整数 ? ? ?1 , 使得对任意 n ? N ? , 都有 b n ?1 ? b n .

18. 解:(1)由 | PF1 | ? | PF2 |? 2 ?| F1 F2 | 知,点 P 的轨迹 E 是以 F1 、 F2 为焦点的双
2 曲线的右支,由 c ? 2 , 2a ? 2 ,∴ b ? 3 ,故轨迹 E 的方程为:

x2 ?

y2 ? 1( x ? 1) 3

(Ⅰ)当直线 l 的斜率存在时,设直线方程为 y ? k ( x ? 2) , P( x1 , y1 ) ,

Q( x2 , y 2 ) ,与双曲线方程联立消 y 得 (k 2 ? 3) x 2 ? 4k 2 x ? 4k 2 ? 3 ? 0 ,
?k 2 ? 3 ? 0 ? ?? ? 0 2 ? ∴ ? x1 ? x 2 ? 4k ?0 k2 ?3 ? ? 4k 2 ? 3 ? x1 ? x 2 ? 2 ?0 k ?3 ?
2 解得 k ? 3

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?MP ? MQ ? ( x1 ? m)(x2 ? m) ? y1 y2
? ( x1 ? m)(x2 ? m) ? k 2 ( x1 ? 1)(x2 ? 2) ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (2k 2 ? m)(x1 ? x2 ) ? m 2 ? 4k 2
(k 2 ? 1)(4k 2 ? 3) 4k 2 (2k 2 ? m) ? ? ? m 2 ? 4k 2 2 2 k ?3 k ?3 ? 3 ? (4m ? 5)k 2 ? m2 2 k ?3

?MP ? MQ ,∴ MP ? MQ ? 0
故得 3(1 ? m 2 ) ? k 2 (m 2 ? 4m ? 5) ? 0 对任意的

k 2 ? 3 恒成立,
2 ? ?1 ? m ? 0 ∴? 2 ,解得 m ? ?1 ? m ? 4 m ? 5 ? 0 ?

∴当 m ? ?1 时, MP ? MQ ( Ⅱ )当直线 l 的斜率不存在时,由 P(2,3) , Q(2,?3) 及 M (?1,0) 知结论也成立, 综上,当 m ? ?1 时, MP ? MQ (2) ?a ? 1 , c ? 2 ,∴直线 x ? 由双曲线定义得: | PA |?

1 是双曲线的右准线, 2

1 1 1 | PF2 |? | PF2 | , | QB |? | QF 2 | , e 2 2

1 ? k 2 | x 2 ? x1 | | PQ | ? 方法一:∴ ? ? 2 | AB | 2 | y 2 ? y1 | ? 1 ? k 2 | x 2 ? x1 | 1? k2 1 1 ? ? 1? 2 2 | k ( x 2 ? x1 ) | 2|k | 2 k

?k 2 ? 3 ,∴ 0 ?

1 1 1 3 ? ,故 ? ? ? , 2 3 k 2 3

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注意到直线的斜率不存在时, | PQ |?| AB | ,此时 ? ?

1 , 2

综上, ? ? ? ,

?1

?2

3? ?. 3 ? ?

方法二:设直线 PQ 的倾斜角为 ? ,由于直线 PQ 与双曲线 右支有二个交点, ∴

?
3

?? ?

2? ,过 Q 作 QC ? PA ,垂足为 C ,则 3 2 ?? | ,

?PQC ?|
∴? ?

?

| PQ | | PQ | ? ? 2 | AB | 2 | CQ |

1 2 cos(

?
2

? ??)

1 2 sin ?



?
3

?? ?

2? 3 ? sin ? ? 1 , ,得 3 2

故? ?? ,

?1

?2

3? ?. 3 ? ?
48 48 f ?( x) ? 0 得 3 x 2 ? 2 ? 0 , 2 ,由 x x
∴x ? 2,

2 19. (I)解法 1:∵ f ?( x) ? 3 x ?

x4 ? 16,

∵ x ? (0, ??) ,

∵当 0 ? x ? 2 时, f '( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在(0,2)上是减函数; 当 x ? 2 时, f '( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在(2,+ ? )上是增函数; ∴ x ? 2 是函数的在区间(0,+ ? )上的最小值点,

f ( x) min ? f (2) ? 8 ?

48 ? 32 2

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∴对 ?x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? 32 , 即在区间(0,+ ? )上存在常数 A=32,使得对 ?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? A 成立,

3 ∴函数 f ( x) ? x ?

48 在(0,+ ? )上有下界. x

3 [解法 2:? x ? 0 ? f ( x) ? x ?

48 16 16 16 16 16 16 ? x3 ? ? ? ? 4 4 x3 ? ? ? ? 32 x x x x x x x

3 当且仅当 x ?

16 即 x ? 2 时“=”成立 x

∴对 ?x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? 32 , 即在区间(0,+ ? )上存在常数 A=32,使得对 ?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? A 成立,

3 ∴函数 f ( x) ? x ?

48 在(0,+ ? )上有下界.] x

(II)类比函数有下界的定义,函数有上界可以这样定义: 定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足:对 ? x ? D , ? 常数 B,都有 f ( x) ≤B 成立, 则称函数 f ( x) 在 D 上有上界,其中 B 称为函数的上界. 设 x ? 0, 则 ? x ? 0 ,由(1)知,对 ?x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? 32 ,

3 ∴ f (? x) ? 32 ,∵函数 f ( x) ? x ?

48 为奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) x

∴ ? f ( x) ? 32 ,∴ f ( x) ? ?32 即存在常数 B=-32,对 ? x ? (??,0) ,都有 f ( x) ? B ,

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3 ∴函数 f ( x) ? x ?

48 在(- ? , 0)上有上界. x b , x2
b ? 0 ,∵ a ? 0, b ? 0 x2

2 (III)∵ f ?( x ) ? 3ax ?

2 由 f ?( x) ? 0 得 3ax ?

4 ∴x ?

b , 3a

∵ [m, n] ? (0, ??) ,

∴x ?

4

b , 3a

∵当 0 ? x ?

4

b b 时, f '( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在(0, 4 )上是减函数; 3a 3a

当x?

4

b b 时, f '( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在( 4 ,+ ? )上是增函数; 3a 3a b 是函数的在区间(0,+ ? )上的最小值点, 3a

∴x?

4

f (4

b b 3 b 4 ) ? a( 4 ) ? ? 4 3ab3 3a 3a 3 b 4 3a

①当 m ?

4

b 时,函数 f ( x) 在 [m, n] 上是增函数; 3a

∴ f (m) ? f ( x) ? f (n) ∵ m 、 n 是常数,∴ f ( m) 、 f (n) 都是常数 令 f (m) ? A, f (n) ? B , ∴对 ?x ?[m, n] , ? 常数 A,B,都有 A ? f ( x) ? B

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3 即函数 f ( x) ? ax ?

b 在 [m, n] 上既有上界又有下界 x

②当 n ?

4

b 时函数 f ( x) 在 [m, n] 上是减函数 3a

∴对 ?x ?[m, n] 都有 f (n) ? f ( x) ? f (m)

3 ∴函数 f ( x) ? ax ?

b 在 [m, n] 上有界. x

③当 m ?

4

b ? n 时,函数 f ( x) 在 [m, n] 上有最小值 3a
b b 3 b 4 ) ? a( 4 ) ? ? 4 3ab3 3a 3a 3 b 4 3a

f ( x)min = f ( 4

令A?

44 3ab3 ,令 B= f ( m) 、 f (n) 中的最大者 3

则对 ?x ?[m, n] , ? 常数 A,B,都有 A ? f ( x) ? B

3 ∴函数 f ( x) ? ax ?

b 在 [m, n] 上有界. x b 是 [m, n] 上的有界函数. x

3 综上可知函数 f ( x) ? ax ?


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