高中数学必修4平面向量知识点总结和典型例题归纳

【基本概念与公式】

平面向量 【任何时候写向量时都要带箭头】

1.向量:既有大小又有方向的量。记作: AB 或 a 。

2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:| AB | 或| a | 。

3.单位向量:长度为 1 的向量。若 e 是单位向量,则| e |? 1。

4.零向量:长度为 0 的向量。记作: 0 。【 0 方向是任意的,且与任意向量平行】
5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。
7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。 AB ? ?BA。
8.三角形法则:
AB ? BC ? AC ; AB ? BC ? CD ? DE ? AE ; AB ? AC ? CB (指向被减数)
9.平行四边形法则:
以 a, b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为 a ? b , a ? b 。

10.共线定理: a ? ?b ? a / /b 。当 ? ? 0 时, a与b 同向;当 ? ? 0 时, a与b 反向。

11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。

12.向量的模:若 a ? (x, y) ,则| a |?

x2

?

y2



2
a

?|

a |2

,|

a

?b

|?

(a ? b)2

13.数量积与夹角公式: a ?b ?| a | ? | b | cos? ; c o s? ? a ?b | a |? b| |
14.平行与垂直: a / /b ? a ? ?b ? x1y2 ? x2 y1 ; a ? b ? a ?b ? 0 ? x1x2 ? y1y2 ? 0
题型 1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形 ABCD 是平行四边形的条件是
AB ? CD 。

(5)若 AB ? CD ,则 A、B、C、D 四点构成平行四边形。

(6)若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线。 (7)若 ma ? mb ,则 a ? b 。

(8)若 ma ? na ,则 m ? n 。 (9)若 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都不是零向量。

(10)若 a ?b ?| a | ? | b | ,则 a / /b 。(11)若| a ? b |?| a ? b | ,则 a ? b 。

题型 2.向量的加减运算

1.设 a 表示“向东走 8km”, b 表示“向北走 6km”,则| a ? b |?



2.化简 ( AB ? MB) ? (BO ? BC ) ? OM ?



3.已知| OA |? 5 , | OB |? 3 ,则| AB | 的最大值和最小值分别为 、 。

4.已知 AC为AB与AD 的和向量,且 AC ? a, BD ? b ,则 AB ?

, AD ?



5.已知点 C 在线段 AB 上,且 AC ? 3 AB ,则 AC ? 5
题型 3.向量的数乘运算

BC , AB ?

BC 。

1.计算: 2(2a ? 5b ? 3c) ? 3(?2a ? 3b ? 2c) ?

2.已知 a ? (1, ?4), b ? (?3,8) ,则 3a ? 1 b ?



2

题型 4.根据图形由已知向量求未知向量

1.已知在 ?ABC 中, D 是 BC 的中点,请用向量 AB,AC 表示 AD 。

2.在平行四边形 ABCD中,已知 AC ? a, BD ? b ,求 AB和AD 。

题型 5.向量的坐标运算

1.已知 AB ? (4,5) , A(2,3) ,则点 B 的坐标是



2.已知 PQ ? (?3, ?5) , P(3, 7) ,则点 Q 的坐标是



3.若物体受三个力 F1 ? (1, 2) , F2 ? (?2,3) , F3 ? (?1, ?4) ,则合力的坐标为



4.已知 a ? (?3, 4) , b ? (5, 2) ,求 a ? b , a ? b , 3a ? 2b 。

5.已知 A(1, 2), B(3, 2) ,向量 a ? (x ? 2, x ? 3y ? 2) 与 AB 相等,求 x, y 的值。

6.已知 AB ? (2,3) , BC ? (m, n) , CD ? (?1, 4) ,则 DA ?



7.已知 O 是坐标原点, A(2, ?1), B(?4,8) ,且 AB ? 3BC ? 0 ,求 OC 的坐标。

题型 6.判断两个向量能否作为一组基底

1.已知 e1, e2 是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底:

A. e1 ? e2和e1 ? e2 B. 3e1 ? 2e2和4e2 ? 6e1 C. e1 ? 3e2和e2 ? 3e1 D. e2和e2 ? e1

2.已知 a ? (3, 4) ,能与 a 构成基底的是( )

A. (3 , 4) B. ( 4 , 3) C. (? 3 , ? 4)

55

55

55

题型 7.结合三角函数求向量坐标

D. (?1, ? 4) 3

1.已知 O 是坐标原点,点 A 在第二象限,| OA |? 2 , ?xOA ? 150 ,求 OA 的坐标。

2.已知 O 是原点,点 A 在第一象限,| OA |? 4 3 , ?xOA ? 60 ,求 OA 的坐标。
题型 8.求数量积
1.已知| a |? 3,| b |? 4 ,且 a 与 b 的夹角为 60 ,求(1) a ? b ,(2) a ? (a ? b ) , (3) (a ? 1 b) ?b ,(4) (2a ? b ) ? (a ? 3b ) 。
2
2.已知 a ? (2, ?6), b ? (?8,10) ,求(1)| a |,| b | ,(2) a ? b ,(3) a ? (2a ? b ) , (4) (2a ? b ) ? (a ? 3b ) 。
题型 9.求向量的夹角

1.已知| a |? 8,| b |? 3 , a ?b ? 12 ,求 a 与 b 的夹角。 2.已知 a ? ( 3,1), b ? (?2 3, 2) ,求 a 与 b 的夹角。
3.已知 A(1,0) , B(0,1) , C(2,5) ,求 cos ?BAC 。
题型 10.求向量的模
1.已知| a |? 3,| b |? 4 ,且 a 与 b 的夹角为 60 ,求(1)| a ? b | ,(2)| 2a ? 3b | 。 2.已知 a ? (2, ?6), b ? (?8,10) ,求(1)| a |,| b | ,(5)| a ? b | ,(6)| a ? 1 b | 。
2 3.已知| a |? 1,| b |? 2 ,| 3a ? 2b |? 3 ,求| 3a ? b | 。

题型 11.求单位向量

【与 a 平行的单位向量: e ? ? a 】 |a|

1.与 a ? (12,5) 平行的单位向量是

2.与 m ? (?1, 1) 平行的单位向量是



2

题型 12.向量的平行与垂直

1.已知 a ? (1, 2) , b ? (?3, 2) ,(1) k 为何值时,向量 ka ? b 与 a ? 3b 垂直?(2) k 为何值时

向量 ka ? b 与 a ? 3b 平行?

2.已知 a 是非零向量, a ?b ? a ? c ,且 b ? c ,求证: a ? (b ? c ) 。

题型 13.三点共线问题
1.已知 A(0, ?2) , B(2, 2) , C(3, 4) ,求证: A, B,C 三点共线。

2.设 AB ? 2 (a ? 5b), BC ? ?2a ? 8b,CD ? 3(a ? b) ,求证: A、B、D 三点共线。 2

3.已知 AB ? a ? 2b, BC ? ?5a ? 6b,CD ? 7a ? 2b ,则一定共线的三点是



4.已知 A(1, ?3) , B(8, ?1) ,若点 C(2a ?1, a ? 2) 在直线 AB 上,求 a 的值。

5.已知四个点的坐标 O(0, 0) ,A(3, 4) ,B(?1, 2) ,C(1,1) ,是否存在常数 t ,使 OA ?tOB O?C
成立?

题型 14.判断多边形的形状

1.若 AB ? 3e , CD ? ?5e ,且| AD |?| BC |,则四边形的形状是



2.已知 A(1,0) , B(4,3) , C(2, 4) , D(0, 2) ,证明四边形 ABCD 是梯形。

3.已知 A(?2,1) , B(6, ?3) , C(0,5) ,求证: ?ABC 是直角三角形。

4.在平面直角坐标系内, OA ? (?1,8),OB ? (?4,1),OC ? (1,3) ,求证: ?ABC 是等腰直角三角形。
题型 15.平面向量的综合应用

1.已知 a ? (1,0) , b ? (2,1) ,当 k 为何值时,向量 ka ? b 与 a ? 3b 平行? 2.已知 a ? ( 3, 5) ,且 a ? b ,| b |? 2 ,求 b 的坐标。

3.已知 a与b 同向, b ? (1, 2) ,则 a ? b ? 10 ,求 a 的坐标。

4.已知 a ? (1, 2) , b ? (3,1) , c ? (5, 4) ,则 c ?

a? b 。

5.已知 a ? (m,3) , b ? (2, ?1) ,(1)若 a 与 b 的夹角为钝角,求 m 的范围; (2)若 a 与 b 的夹角为锐角,求 m 的范围。

6.已知 a ? (6, 2) , b ? (?3, m) ,当 m 为何值时,(1) a 与 b 的夹角为钝角?(2) a 与 b 的夹
角为锐角?
7.已知梯形 ABCD的顶点坐标分别为 A(?1, 2) ,B(3, 4) ,D(2,1) ,且 AB / /DC ,AB ? 2CD , 求点 C 的坐标?
8.已知 ?ABC 三个顶点的坐标分别为 A(3, 4) , B(0, 0) , C(c, 0) , (1)若 AB ? AC ? 0 ,求 c 的值;(2)若 c ? 5 ,求 sin A 的值?
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