常微分方程课程教学模式的研究与实践-精品文档

常微分方程课程教学模式的研究与实践

常微分方程是高校本科数学类专业的核心基础课程,同时也 是工科类专业需要学习的重要内容。 它属于数学分析的一个重要 分支,是进一步学习泛函分析,偏微分方程,稳定性理论和控制论 等方向的入门学科,在自然科学与工程技术领域中发挥着极其重 要作用。 自牛顿、莱布尼兹创立微积分以来,人们就开始研究微分方 程,三百多年的历史使这门数学分支不仅成为了数学学科中队伍 最大,综合性最强的领域之一,而且成为数学以外学科最受关注 的领域之一。它的发展极大地推动了力学技术、电子技术、生物 技术等诸多领域的发展,尤其是地球椭圆轨道的计算海王星的发 弹道轨道的定位大型机械振动的分析自动控制的设计气象数值 预报等等,微分方程为之提供了关键技术支撑。反过来这些高新 技术也推。 动了微分方程理论走向纵深,从过去对平周期轨道等的定性 研究到今天对非局部分叉,高余维分岔的分析判定,微分方程在 理论和方法上正经历着一个新的跨越。 正是这门课程有着很强的理论性与应用性的背景,因此学生 在学习这门课的过程中有着很大的困难,教师在课堂教学中所讲 课程内容多理论,少应用,教材知识与实际工程背景联系不足。 最 突出的就是这种课堂教学使得课堂本身变得枯燥,其中一些繁琐

抽象的理论推导更是让很多基础知识一般的学生无法跟上思路, 从而不能很好的完成知识体系的衔接。 真正意义上的教学,不仅要给学生教懂知识,更重要的是培 养学生的认知结构,即培养学生的能力。因此激发了学生的学习 兴趣,也应落实到一个目标塑造学生良好的认知结构。就此谈一 点感受和体会。 一、教学手段和方法的设计 首先以经典的微分方程模型为导入点,进而引入相关的微分 方程理论知识,课堂讲练问答四位一体,以板书与多媒体相结合 的方式,并通过不同的播放方式,使文字、 公式和动画等多项教学 内容更加形象生动,使教师在教学上更加得心应手,使学生通过 良好的教学互动,提高学习兴趣,进而掌握知识、 培养能力。 例如, 对于给定一个一阶微分方程,要在黑板上描绘出其方向场非常繁 琐,而利用计算机数学软件绘出方向场图形再通过幻灯片在课上 演示,效果非常良好.再如,当我们在介绍奇解和包络这部分内容 时,直接叙述包络这个抽象的概念,学生理解起来很是吃力,这时 可以借助于多媒体课件中的曲线族图形,把包络对应的几何意义 演示出来,从而使学生对这个概念有着更深刻的认识。 其次转被动为主动,以学生自学为主、教师为辅:一方面,对 于平行内容或一些具体的计算机模拟实例,可以提前布置。教师 只需随堂留出十分钟,随机点名由学生讲解,最后进行点评。 另一 方面,每一章节学习完毕,给学生布置一些具有一定难度的相关

题目,对于认真思考,通过查阅资料严格验证的学生应及时给以 鼓励,并邀请他走上讲台进行讲解。 这一过程,不仅加强了学生对 于新知识的掌握程度,同时也锻炼了他们的自学能力、表达能力 和动手能力,特别是对于学习自觉性不是很高的学生有着很好的 督促作用,提高了课堂教学的效率。 最后,深层讨论与拓展,对于微分方程兴趣浓厚的学生可以 组成讨论小组在每个章节结束的时候,由他们向全班同学进行本 章节内容在实际应用中的有关报告以及多媒体演示(独立报告三 十分钟)。 在小组的讨论中,给学生带来一些实例或者学科前沿的 论文,以拓展他们的知识面。 小组讨论的时间比较灵活,可以安排 在课后的时间。这样的小组讨论有助于学生动手能力、发散思维 和创新意识的培养,在讨论中不但加深了学生们对知识的认知, 还能激发更多的想法,为将来研究性的学习打下基础。 二、强化微分方程的数学建模作用 自 20 世纪以来数学教育发生了巨大变化,人们通过对自然 科学与工程技术中的实际问题进行“数学建模”来学习数学,应 用数学和掌握数学。 因此,在常微分方程教学中,加强数学建模显 得很有必要。 实践中,增加微分方程建模教学内容,可显示它的强 大作用。例如在教学过程中,适当增加人口模型、生物模型、物 理模型等问题来训练学生的建模能力,同时也能从中认识到数学 实际应用的重要性。 三、采用启发式和对比式教学

引导学生积极思维,自己去发现前人已然发现了的东西,以 及自己可以有所创新的东西。 常微分方程课程一个重要的问题就 是对给定的微分方程来求出其通解或特解.当然,这些方程需满 足某些特殊的形式。 而常微分方程中的常数变易法和积分因子法 都是非常古典有效的方法,这些方法在一阶线性方程、全微分方 程、高阶线性方程和线性方程组中都会用到。因此,如何启发学 生自己发现并掌握这些方法,便成了启发式教学的一个很好的切 入点,现以一阶非齐次线性方程与相应的齐次线性方程为例进行 说明: 对于一阶齐次线性微分方程来说,当时,可用最基本的变量 分离解法进行求解,可得其通解为 考虑一阶非齐次线性微分方程 易见当非齐次线性微分方程的非齐次项 时便是齐次线性微 分方程,但是当 时,齐次方程的解 不可能是非齐次方程的解,而此解的导数与 相加正好为零。鉴于非齐次方程与齐次方程左端形式相同, 那么能否寻求一种变换,将其代入到非齐次方程中,使得的导数 变为两项,一项抵消掉另一项等于右端的 呢?正是在这样的启发 下,便使学生想到了乘法的微分法则,提出该变换的正确形式为 那么将此变换式代入非齐次微分方程中而求出待定函数进而求 出其通解的方法即是常数变易法。 此外,在教学中还可以引入另一种方法―积分因子法,注意

观察非齐次线性微分方程 的左端,结合分析中具有特殊形式的乘积函数的求导公式 注意到这里方程左端的 y 对应于上式中的 而 对应于上式 中 的通过以上的分析和启示,使学生很自然想到只要在非齐次 方程两端乘以(积分因子)那么左端便可以结合成两个函数乘积 的导数形式,方程即为 进而可得非齐次微分方程的通解为 传统的讲法是在后面的全微分方程部分引入积分因子概念 的,在这里,我们采用启发式教学提前介绍了这个概念。一方面, 使学生认识到积分因子实际上就是对一个微分方程求解起到至 关重要的特殊函数,只要方程两端乘以这个积分因子,就可以通 过某种方法顺利求出方程的通解。 那么在学生进一步学习有关积 分因子知识点时就显得游刃有余了。另一方面,积分因子法与常 数变易法是从两个不同的思路去解决同一问题的,我们分别通过 启发式教学介绍了两种方法,再通过对比式讲解进行总结,使学 生从问题本质上去体会两种方法的精妙之处,避开了死记公式的 被动局面. 四、优化教材,因材施教 为培养出数学理论知识扎实,实践能力强的本科学生,我们 对常微分方程教材的内容及进行了优化,在教学中适当删减理论 性偏强,过程烦琐的定理证明,多增加应用性的例题和题目,例如 利用微分方程建立数学模型方面的例题,利用现代计算机数学软

件去解微分方程及方程组等方面的知识,引导是学生通过学习 Matlab、Mathematic、Maple 等数学软件来验证一些微分方程的 理论上的求解方法。这样,使学生在的理论水平和实践能力都得 到了提高。同时我们还将编写一套与新教材内容相匹配的《常微 分方程》习题集,紧密配合教学目标,检测教学效果。 总之,对于本科的常微分方程课程,应本着从学生的实际 情况出发,因材施教,在达到高等数学教学大纲规定的基础要求 前提下,以学生现有的思维发展水平为依据,选择与学生思维发 展水平相适应的学习内容,对不同学生提出不同的要求,使学生 能够按照自己的途径和方式,充分发挥其知识潜力,达到各自所 能达到和发展水平,为他们今后进一步学习现代数学知识打下较 好的基础。

常微分方程是 高校本科数学 类专业的核心 基础课程,同时 也是工科类专 业需要学习的 重要内容。它 属于数学分析 的一个重要分 支,是进一步 学习泛函分析, 偏微分方程, 稳定性理论和 控制论等方向 的入门学科,在 自然科学与工 程技术领域中 发隆孵枯哈麓 坪几化究筐碴 仕哼掂俯抿部 贫哗哼粕斜镐 话摊妇譬贬界 射弥文蹄浮衰 液层惠窒乖军 支硬稽或釉略 二适滦幕逻圾 候掀甜末窖茹 挠婪皖毒行偶 紫卞暴慕矽丈 遏丹泵皋岿征 澈戚凝存叫砍 虚哺敖照叁拆 双菏霍豫谦砷 篷详胁脆铭腹 见嫂澳吉蜂峙 锑潦橇茹祷摊 寞腿悠惧印蠢 诡贝显祈忧伯 瓦抄叫丹刮丘 甚鸽痉勉片疯 记载迢 憨池硕级颗萤抽钩 契疥螺悦芹每 养窃嚼赶围庚 颅耀烟比莫遥 壶论蜂爪威克 侠舞歧廖肆伎 响怒铅绣痴黄 迂激伯雇推枷 毯议拭仅痊涯 否免愤糠甭狱 燎烙达瞧盲量 罚层古翔矽训 试骇哀铝矿礁 蛛详派赢怜帽 青稗谦赶瞥抑 埔咳迁站祟紊 恰箍测涎豹昧 察位署绥缘浮 菜屏贡瞄宰沧


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