2017年高三数学试题——湖北省七市州2017届高三数学第一次联合调考3月联考试题(文)(含答案)


2017 年 3 月湖北省七市(州)高三联合考试 文 科 数 学
命题单位:荆门教研室 十堰教科院 审题单位:荆州教科院 孝感教科院 恩施教科院 本试卷共 6 页,23 题(含选考题),全卷满分 150 分。考试用时 150 分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.答题前,请考生认真阅读答题卡上的注意事项。务必将自己的姓名、考号填写在答题卡 上指定 位置,贴好考号条形码或将考号对应数字凃黑。用 2B 铅笔将试卷类型 A 填涂在答题卡相应位置 上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3.非选择答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在试题卷、 草稿纸上无效。 4.考生必须保持答题卡的清洁。考试结束后,监考人员将答题卡收回。 第Ⅰ卷 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。 1.集合 A ? ??1 , 0 , 1 , 2 , 3? , B ? ?x log2 ( x ? 1) ? 2? ,则 A ? B 等于 A. ??1 , 0 , 1 , 2? B. ?0 , 1 , 2? C. ??1 , 0 , 1 , 2 , 3? D. ?0 , 1 , 2 , 3?

2.设 i 为虚数单位,则复数 z ? A. ?2 B. ?i

1+2i i

错误!未找到引用源。的虚部为 C. i D. ?1

π 3. 要得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象 3 π π A.向左平移 个单位 B.向右平移个 单位 6 3 π π C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 3 6
4.在数字 1 , 2 , 3 , 4 , 5 中任取两个数相加,和是偶数的概率为

5 10 5 5. 设直线 m 与平面 ? 相交但不 垂直,则下列说法中正确的是 .

A.

1

B.

3

C.

2

D.

1 2

A.在平面 ? 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B.过直线 m 有且只有一个平面与平面 ? 垂直 C.与直线 m 垂直的直线不可能 与平面 ? 平行 ... D.与直线 m 平行的平面不 可能与平面 ? 垂直 . 6.秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著的 《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法, 至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图 给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例, 若输入 n , x 的值分别为 3 , 4 ,则输出 v 的值为 A. 6 B. 25 C. 100 D. 400 7.如右图是一个几何体的三视图,其中正视图 和侧视图是两个全等的等腰三角形,底边长 为 4,腰长为 3,则该几何体的表面积为 A. 6 π B. 8 π C. 10 π D. 12 π
俯视图 3 4 正视图 3 侧视图

开始 输入n,x v=1 i=n-1 v=vx+i,i=i-1 i≥0 否 输出v 结束
第 6 题图



第 7 题图

8.已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在区间 (?? , 0] 上单调递增,若实数 a 满足

f (2log3 a ) ? f (? 2) ,则 a 的取值范围是
A. (?? , 3) B. (0 , 3) C. ( 3 , +?) D. (1 ,

3)

9 .已知 圆 C : ( x ? 1)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) .设条件 p : 0 ? r ? 3 ,条件 q : 圆 C 上至多有 2 个点到直线

x ? 3 y ? 3 ? 0 的距离为 1 ,则 p 是 q 的
A.充分不必要条件 C.充要条 件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

10.函数 y ? f ( x ) 为 R 上的偶函数,函数 y ? g ( x) 为 R 上的奇函数, f ( x) ? g ( x ? 2) , f (0) ? ?4 , 则 g ( x) 可以是

A. 4 tan

πx 8

B. ?4 sin

πx 2

C. 4 sin

πx 4

D. ?4 sin

πx 4

11.双 曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a , b ? 0) 离心率为 3 ,左右焦点分别为 F1 , F2 , P 为双曲线右支上一点,

?F1PF2 的平分线为 l ,点 F1 关于 l 的对称点为 Q , F2Q ? 2 ,则双曲线方程为
A.

x2 ? y2 ? 1 2

B. x ?
2

y2 ?1 2

C. x ?
2

y2 ?1 3
2

D.

x2 ? y2 ? 1 3
, 则

12. 已知函数 f ( x) ? x2 ? (a ? 8) x ? a2 ? a ? 12(a ? 0) , 且 fa ( 的最 小值为 A.

? 4 ) ?f2 ( a8 )?

f (n ) 4 ? a (n ? N * ) n ?1

37 4

B.

35 8

C.

28
3

D.

27 4

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22~ 23 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分。

? ? ? ? ? ? 13.平面向量 a , b , c 不共线,且两两所成的角相等,若 | a |?| b |? 2,| c |? 1 ,
则 | a ? b ? c |?

?

? ?



. ▲ .

14. 已知 △ ABC 中,角 A , B , C 对边分别为 a , b , c , C ? 120? , a ? 2b ,则 tan A ?

? ?x ? y ≥ 0 , ? y 15.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 5 ≤ 0 , ,则 的最小值为 x ? 1 1 ? y ≥ x4 ? 12 4 ?





16. 某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量 P (毫克/升)与时

? kt 间 t (小时)的关系为 P ? P .如果在前 5 小时消除了 10% 的污染物,那么污染物减少 19% 0e

需要花费的时间为



小时.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17(本题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 2n?1 ? a ,数列 {bn } 满足 bn ? 2 ? log2 an3 . (Ⅰ)求常数 a 的值; (Ⅱ)求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 18(本小题满分 12 分) 某校举行运动会,其中三级跳远的成绩在 8.0 米 (四舍五入,精确到 0.1 米) 以上的进入决赛, 把 所得数据进行整理后,分成 6 组画出 频率分布直方图的一部分(如图),已知从左到右 前 5 个小组的频率分别为 0.04,0.10,0.14, 0.28,0.30 ,第 6 小组的频数是 7 .
0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0

频率 组距

成绩(米)
5.25 6.15 7.05 7.95 8.85 9.75 10.65

(Ⅰ)求进入决赛的人数;

第 18 题图

(Ⅱ)经过多次测试后发现,甲成绩均匀分布在 8~10 米之间,乙成绩均匀分布在 9.5~10.5 米 之间,现甲,乙各跳一次,求甲比乙远的概率. 19(本小题满分 12 分) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑 堵,将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵 ABM ? DCP 与刍童 ABCD ? A1B1C1D1 的组 合体中 AB ? AD , A1 B1 ? A1 D1 . 台体体积公式: V ?
P M

1 ( S ? ? S ?S ? S )h ,其中 3

S ?, S 分别为台体上、下底面面积, h 为台体高.
(Ⅰ)证明:直线 BD ? 平面 MAC ; (Ⅱ)若 AB ? 1 , A1 D1 ? 2 , MA ? 3 , 三棱锥 A ? A1 B1 D1 的体积 V ? 求该组合体的体积 . 20(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 上取两个定点 A1 (? 6,0) , A2 ( 6,0), 再取两个动点 N1 (0 , m) , N 2 (0 , n) ,
D A D1 A1 B1 B C

C1

2 3 , 3

第 19 题图

且 mn ? 2 . (Ⅰ)求直线 A1 N1 与 A2 N 2 交点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过 R(3 , 0) 的直线与轨迹 C 交于 P,Q,过 P 作 PN ? x 轴且与轨迹 C 交于另一点 N,F 为轨 迹 C 的右焦点,若 RP ? ? RQ(? ? 1) ,求证: NF ? ? FQ . 21(本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? ln x ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

3 2 1 2 x x ? ax(a ? R) , g ( x ) ? e ? x . 2 2

(Ⅰ)讨论 f ( x ) 的极值点的个数; (Ⅱ)若对于任意 x ? (0, ??) ,总有 f ( x) ≤ g ( x) 成立,求实数 a 的取值范围. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 4? (cos? ? sin? ) ? 3 .若以极点 O 为原点,极轴所在 直线为 x 轴建立平面直角坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的参数方程; (Ⅱ)在直角坐标系中,点 P( x , y) 是圆 C 上动点,试求 x ? 2 y 的最大值,并求出此时点 P 的直 角 坐标.

23(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? 2 , g ( x) ? m x (m ? R) . (Ⅰ)解关于 x 的不等式 f ( x) ? 5 ; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ≥ g ( x) 对任意 x ? R 恒成立,求 m 的取值范围.

2017 年 3 月湖北省七市(州)教科研协作体高三联合考试 文科数学参考答案及评分说明 命题单位:荆门教研室 十堰教科院 审题单位:荆州教科院 孝感教科院 恩施教科院 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分) 1.B 2.D 3.A 4. C 5.B 6.C 7.C 8.B 9.C 10.D 11.B 12.A

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分) 13.1 三、解答题 17(12 分)解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 22 ? a ? 4 ? a , 当 n ≥ 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 ? a ? (2n ? a) ? 2n , ????????????3 分 14.

3 2

15.

1 3

16. 10

?{an } 为等比数列,?a22 ? a1 ? a3 ? (22 )2 ? (4 ? a) ? 23 ,解得 a ? ?2 .???6 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n ,则 bn ? 2 ? log2 23n ? 2 ? 3n ,

?bn?1 ? bn ? ?3 对一切 n ? N ? 都成立, ?{bn } 是以 b1 ? ?1 为首项, d ? ?3 为公差的等差数列 ,????????????9 分
?Tn ? nb1 ?
18(12 分)解: (Ⅰ)第 6 小组的频率为 1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14, ∴总人数为

n(n ? 1) n ? 3n 2 d? . 2 2

???????????????????12 分

7 ? 50 (人). 0.14

????????????????????????2 分

∴第 4、5、6 组成绩均进入决赛,人数为(0.28+0.30+0.14)×5 0=36(人) 即进入决赛的人数为 36. ????????????????????????6 分

(Ⅱ)设甲、乙各跳一次的成绩分别为 x 、 y 米,则基本事件满足的区域为

?8≤x≤10 , ? ?9.5≤y≤10.5
事件 A “甲比乙远的概率”满足的区域为 x ? y ,如图所示. ?????????10 分

y
10.5 9.5 D A 8 9 F C E B 10

x

1 1 1 ? ? 1 1 ∴由几何概型 P ( A) ? 2 2 2 ? . 即甲比乙远的概率为 . ??????12 分 16 1? 2 16
19(12 分)解: (Ⅰ)证明:由题可知 ABM ? DCP 是底面为直角三角形的直棱柱,

? AD ? 平面 MAB ? AD ? MA ,

?????????????????2 分

又 MA ? AB , AD ? AB ? A , AD , AB ? 平面 ABCD ,

? MA ? ABCD ,

??????????????????????4 分

?MA ? BD 又 AB ? AD ,? 四边形 ABCD 为正方形,? BD ? AC ,
又 MA ? AC ? A , MA , AC ? 平面 MAC ,?BD ? 平面 MAC . ???????6 分 (Ⅱ)设刍童 ABCD ? A1B1C1D1 的高为 h ,则三棱锥 A ? A1 B1 D1 体积

1 1 2 3 ,所以 h ? 3 , ?????????????????9 分 V ? ? ?2?2? h ? 3 2 3
故该组合体的体积为

V?

1

1 3 7 3 17 3 ?1 ? 3 ?1 ? (12 ? 22 ? 12 ? 22 ) ? 3 ? ? ? .?????? ??12 分 2 3 2 3 6

(注:也可 将台体补形为锥体后进行计算) 20(12 分)解: (Ⅰ)依题意知直线 A1N1 的方程为 y ? 直线 A2N2 的方程为 y ? ?

m ( x ? 6) 6



n ( x ? 6) 6

②??????????2 分

设 M(x,y)是直线 A1N1 与 A2N2 交点,①×②得 y 2 ? ? 由 mn=2,整理得

mn 2 ( x ? 6) , 6
??????????4 分

x2 y2 ? ?1 ; 6 2

(Ⅱ)由题意可知,设 l : x ? ty ? 3 , P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), N ( x1 , ? y1 ) 由

? x ? ty ? 3, ? 2 ? (t 2 ? 3) y 2 ? 6ty ? 3 ? 0 ( ? ) ?x y2 ? ? 1 ? 2 ?6

?????????6 分

由 RP ? ? RQ ? ( x1 ? 3 , y1 ) ? ? ( x2 ? 3 , y2 ) 故 x1 ? 3 ? ? ( x2 ? 3), y1 ? ? y2 , ???8 分 要证 NF ? ? FQ ,即证 (2 ? x1 , y1 ) ? ? ( x2 ? 2, y2 ) ,只需证: 2 ? x1 ? ? ( x2 ? 2), 只需

??? ?

??? ?

????

??? ?

x1 ? 3 x ?2 即证 2 x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 12 ? 0 即 2t 2 y1 y2 ? t ( y1 ? y2 ) ? 0 ,?10 分 ?? 1 x2 ? 3 x2 ? 2

由( ? )得: 2t 2 y1 y2 ? t ( y1 ? y2 ) ? 2t 2 ? 21(12 分)解: (Ⅰ)解法一: 由题意得 f ?( x) ? x ?

3 6t ?t ? 2 ? 0 ,即证. ??????12 分 t ?3 t ?3
2

1 x 2 ? ax ? 1 ? a= ( x ? 0) , 令 ? ? a 2 ? 4 x x

2 2 (1)当 ? ? a ? 4 ? 0 ,即 ?2 ? a ? 2 时, x ? ax ? 1 ? 0 对 x ? 0 恒成立

即 f ?( x) ?

x 2 ? ax ? 1 ? 0 对 x ? 0 恒成立,此时 f ( x) 没有极值点;????2 分 x
2

(2)当 ? ? a ? 4 ? 0 ,即 a ? ?2或a ? 2 ① a ? ?2 时,设方程 x ? ax ? 1=0 两个不同实根为 x1 , x2 ,不妨设 x1 ? x2
2

则 x1 ? x2 ? ?a ? 0, x1 x2 ? 1 ? 0 ,故 x2 ? x1 ? 0 ∴ x ? x1或x ? x2 时 f ( x) ? 0 ;在 x1 ? x ? x2 时 f ( x) ? 0 故 x1 , x2 是函数 f ( x ) 的两个极值点.
2 ② a ? 2 时,设方程 x ? ax ? 1=0 两个不同实根为 x1 , x2 ,

则 x1 ? x2 ? ?a ? 0, x1 x2 ? 1 ? 0 ,故 x2 ? 0, x1 ? 0 ∴ x ? 0 时, f ( x) ? 0 ;故函数 f ( x ) 没有极值点. 综上,当 a ? ?2 时,函数 f ( x ) 有两个极值点; 当 a ? ?2 时,函数 f ( x ) 没有极值点. 解法 二: ???????????????6 分 ???????????5 分

f ?( x) ? x ?

1 ?a, x

???????????????????????1 分

? x ? 0,? f ?( x) ?[a ? 2, ??) ,

?2 ,? ?) ①当 a ? 2 ≥ 0 , 即 a ?[
没有极值点;

时, f ?( x) ≥ 0 对 ?x ? 0 恒成立, f ( x) 在 (0, ??) 单调增, f ( x)

???????????????????????3 分
2

②当 a ? 2 ? 0 ,即 a ? (??, ?2) 时,方程 x ? ax ? 1 ? 0 有两个不等正数解 x1 , x2 ,

f ?( x) ? x ?

1 x 2 ? ax ? 1 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ?a ? ? ( x ? 0) x x x

不妨设 0 ? x1 ? x2 ,则当 x ? (0, x1 ) 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 增; x ? ( x1 , x2 ) 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 减;x ? ( x2 , ??) 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 增, 所以 x1 , x2 分别为 f ( x ) 极大值点和极小值点, f ( x ) 有两个极值点. 综上所述,当 a ? [?2, ??) 时, f ( x ) 没有极值点; 当 a ? (??, ?2) 时, f ( x ) 有两个极值点. ????????????6 分 (Ⅱ) f ( x) ? g ( x) ? e x ? ln x ? x2 ? ax , 由 x ? 0 ,即 a ?

e x ? x 2 ? ln x 对于 ?x ? 0 恒成立, x

????????????8 分

设 ? ( x) ?

e x ? x 2 ? ln x ( x ? 0) , x

1 (e x ? 2 x ? ) x ? (e x ? x 2 ? ln x) e x ( x ? 1) ? ln x ? ( x ? 1)( x ? 1) x , ? ?( x) ? ? x2 x2
? x ? 0 ,? x ? (0 , 1) 时, ? ?( x) ? 0, ? ( x) 减, x ? (1 , ??) 时, ? ?( x) ? 0, ? ( x) 增,
?? ( x) ≥ ? (1) ? e ? 1 ,? a ≤ e ? 1 .?????????????????????12 分
第 22、23 题为选考题 22(10 分)解: (Ⅰ)因为 ? ? 4 ? (cos ? ? sin ? ) ? 3 ,
2

所以 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 3 ? 0 , 即 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 5 为圆 C 的普通方程. 所以所求的圆 C 的参数方程为 ?
2 2

2

2

????????????3 分

? ? x ? 2 ? 5 cos ? , ( ? 为参数) ????????5 分 ? ? y ? 2 ? 5 sin ?

(Ⅱ) 解法一:设 x ? 2 y ? t ,得 x ? t ? 2 y 代入 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 3 ? 0 整理得
2 2

5 y 2 ? 4(1 ? t ) y ? t 2 ? 4t ? 3 ? 0 (*),则关于 y 方程必有实数根 ????7 分
∴ ? ? 16(1 ? t )2 ? 20(t 2 ? 4t ? 3) ? 0 ,化简得 t ? 12t ? 11 ? 0
2

解得 1 ? t ? 11 ,即 x ? 2 y 的最大值为 11. ????????????????9 分 将 t ? 11 代入方程(*)得 y 2 ? 8 y ? 16 ? 0 ,解得 y ? 4 ,代入 x ? 2 y ? 11 得 x ? 3 故 x ? 2 y 的最大值为 11 时,点 P 的直角坐标为 (3, 4) . ?????????10 分

解法二: 由(Ⅰ)可得,设点 P (2 ? 5 cos ? , 2 ? 5 sin ? ) ,

x ? 2 y ? 6 ? 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 6 ? 5(
设 sin ? ?

5 5

cos ? ?

2 5 5

sin ? ) ,

5 2 5 ,则 cos ? ? ,所以 x ? 2 y ? 6 ? 5sin(? ? ? ) 5 5

当 sin(? ? ? ) ? 1 时, ( x ? 2 y ) max ? 11 ,??????????????????8 分 此时, ? ? ? ? 即? ?

π 2

? 2kπ, k ? Z ,
2 5 5 , cos ? ? sin ? ? 5 5

π 2

? ? ? 2kπ(k ? Z ) ,所以 sin ? ? cos ? ?

点 P 的直角坐标为 (3, 4) . 23(10 分)解: (Ⅰ)由 f ( x) ? 5 ,得 x ? 2 ? 3 , 即 x ? 2 ? ?3 或 x ? 2 ? 3 ,

?????????????????10 分

???????????????3 分

? x ? ?1 或 x ? 5 .故原不等式的解集为 x x ? ?1或x ? 5 ?????????5 分
(Ⅱ)由 f ( x) ≥ g ( x) ,得 x ? 2 ≥ m x ? 2 对任意 x ? R 恒成立, 当 x ? 0 时,不等式 x ? 2 ≥ m x ? 2 成立, 当 x ? 0 时,问题等价于 m ≤

?

?

x?2 ?2 x

对任意非零实数恒成立, ?????7 分

?

x?2 ?2 x



x?2?2 x

? 1 , ? m ≤1 ,即 m 的取值范围是 (?? , 1] .????10 分


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