(浙江专用版)2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 1.1.1 任意角讲义 新人教A版必修2_图文

章 §1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角

学习目标 1.了解角的概念. 2.掌握正角、负角和零角的概念,理解任意角的意义. 3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念,会用集合符号表示这 些角.

内容索引

问题导学 题型探究 达标检测

问题导学

知识点一 角的相关概念
思考1 用旋转方式定义角时,角的构成要素有哪些? 答案 角的构成要素有始边、顶点、终边. 思考2 将射线OA绕着点O旋转到OB位置,有几种旋转方向? 答案 有顺时针和逆时针两种旋转方向.

梳理 (1)角的概念:角可以看成平面内 一条射绕线着 O端从点一个位置OA

旋转 到另一个位置OB所成的图形.点O是角的顶点,射线OA,

OB分别是角α的始边和 终边

.

(2)按照角的旋转方向,分为如下三类:

类型 正角 负角

逆时针

顺时针


定义 方向旋转形成的角 方向旋转形零角成的角

零角 一条射线没有作任何旋转,称它形成了一个_

知识点二 象限角
思考 把角的顶点放在平面直角坐标系的原点,角的始边与x轴的非 负半轴重合,旋转该角,则其终边(除端点外)可能落在什么位置? 答案 终边可能落在坐标轴上或四个象限内.

梳理 在平面直角坐标系内,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴 的非负半轴重合. 象限角:终边在第几象限就是 第几象限角 ; 轴线角:终边落在 坐标轴的上角.

知识点三 终边相同的角
思考1 假设60°的终边是OB,那么-660°,420°的终边与60°的终 边有什么关系,它们与60°分别相差多少? 答案 它们的终边相同.-660°=60°-2×360°,420°=60°+ 360°,故它们与60°分别相差了-2个周角及1个周角. 思考2 如何表示与60°终边相同的角? 答案 60°+k·360°(k∈Z).

梳理 终边相同角的表示: 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+ k·360°,k∈Z}, 即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个 周角 的和.

[思考辨析 判断正误] 1.经过1小时,时针转过30°.( × ) 提示 因为是顺时针旋转,所以时针转过-30°. 2.终边与始边重合的角是零角.( × ) 提示 终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z). 3.小于90°的角是锐角.( × ) 提示 锐角是指大于0°且小于90°的角. 4.钝角是第二象限角.( √ ) 5.第二象限角是钝角.( × ) 提示 第二象限角不一定是钝角.

提示 答案

题型探究

类型一 任意角概念的理解
例1 (2018·牌头中学月考)下列命题正确的是 A.第一象限角是锐角
√B.钝角是第二象限角
C.终边相同的角一定相等 D.不相等的角,它们终边必不相同
答案

反思与感悟 解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°~90°角、象 限角等概念.角的概念推广后,确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量 的大小.

跟踪训练1 写出下列说法所表示的角. (1)顺时针拧螺丝2圈; 解 顺时针拧螺丝2圈,螺丝顺时针旋转了2周,因此所表示的角为- (722)0将°时. 钟拨慢2小时30分,分针转过的角. 解 拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转,因此将时钟拨慢2小时30分, 分针转过的角为900°.
解答

类型二 象限角的判定

例2 (1)已知下列各角:①-120°;②-240°;③180°;④495°.其

中是第二象限角的是

A.①②

B.①③ C.②③

√ D.②④

解析 -120°为第三象限角,①错; -240°=-360°+120°,∵120°为第二象限角,∴-240°也为第 二象限角,故②对; 180° 为 轴 线 角 ; 495° = 360° + 135° , ∵135° 为 第 二 象 限 角 , ∴495°为第二象限角,故④对.故选D.

解析 答案

α (2)已知α为第三象限角,则 2 是第几象限角?
解答

反思与感悟 (1)判断象限角的步骤 ①当0°≤α<360°时,直接写出结果; ②当α<0°或α≥360°时,将α化为k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°), 转化为判断角β所属的象限. (2)一般地,要确定αn所在的象限,可以作出各个象限的从原点出发的 n 等分射线,它们与坐标轴把周角分成 4n 个区域,从 x 轴的非负半轴起,
按逆时针方向把这 4n 个区域依次标上 1,2,3,4,…,4n,标号为几的区域,
就是根据 α 所在第几象限时,αn的终边所落在的区域,如此,αn所在的象 限就可以由标号区域所在的象限直观的看出.

跟踪训练2 在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角, 并判定它们是第几象限角. (1)-150°; 解 因为-150°=-360°+210°,所以在0°~360°范围内,与 -150°角终边相同的角是210°角,它是第三象限角. (2)650°; 解 因为650°=360°+290°,所以在0°~360°范围内,与650° 角终边相同的角是290°角,它是第四象限角.
解答

(3)-950°15′. 解 因为-950°15′=-3×360°+129°45′,所以在0°~360°范 围内,与-950°15′角终边相同的角是129°45′角,它是第二象限角.
解答

类型三 终边相同的角 命题角度1 求与已知角终边相同的角 例3 在与角10 030°终边相同的角中,求满足下列条件的角. (1)最大的负角; 解 与10 030°终边相同的角的一般形式为β=k·360°+10 030°(k∈Z), 由-360°<k·360°+10 030°<0°,得-10 390°<k·360°<-10 030°,解得k=-28,故所求的最大负角为β=-50°.
解答

(2)最小的正角; 解 由0°<k·360°+10 030°<360°,得-10 030°<k·360°< -9 670°,解得k=-27,故所求的最小正角为β=310°. (3)[360°,720°)的角. 解 由360°≤k·360°+10 030°<720°,得-9 670°≤k·360°< -9 310°,解得k=-26,故所求的角为β=670°.
解答

反思与感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角,其方法是先求 出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k的值.

跟踪训练3 写出与α=-1 910°终边相同的角的集合,并把集合中适 合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来. 解 由终边相同的角的表示知,与角α=-1 910°终边相同的角的集合 为{β|β=k·360°-1 910°,k∈Z}. ∵-720°≤β<360°, 即-720°≤k·360°-1 910°<360°(k∈Z), ∴33116≤k<63116(k∈Z),故取 k=4,5,6. 当k=4时,β=4×360°-1 910°=-470°; 当k=5时,β=5×360°-1 910°=-110°; 当k=6时,β=6×360°-1 910°=250°.
解答

命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合 例 4 写出终边在直线 y=- 3x 上的角的集合. 解 终边在 y=- 3x(x<0)上的角的集合是 S1={α|α=120°+k·360°, k∈Z}; 终边在 y=- 3x(x≥0)上的角的集合是 S2={α|α=300°+k·360°,k∈Z}. 因此,终边在直线 y=- 3x 上的角的集合是 S=S1∪S2={α|α=120°+
k·360°,k∈Z}∪{α|α=300°+k·360°,k∈Z}, 即S={α|α=120°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=120°+(2k+1)·180°, k∈Z}={α|α=120°+n·180°,n∈Z}. 故终边在直线 y=- 3x 上的角的集合是 S={α|α=120°+n·180°,n∈Z}.
解答

反思与感悟 求终边在给定直线上的角的集合,常用分类讨论的思想, 即分x≥0和x<0两种情况讨论,最后再进行合并.

跟踪训练 4 写出终边在直线 y= 33x 上的角的集合.
解答

达标检测

1.下列说法正确的是 A.终边相同的角一定相等
√B.钝角一定是第二象限角
C.第四象限角一定是负角 D.小于90°的角都是锐角

12345

答案

2.与-457°角终边相同的角的集合是 A.{α|α=k·360°+457°,k∈Z} B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z}
√C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z}
D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z} 解析 -457°=-2×360°+263°,故选C.
12345

解析 答案

3.2 018°是
A.第一象限角
√C.第三象限角

B.第二象限角 D.第四象限角

解析 2 018°=5×360°+218°,故2 018°是第三象限角.

12345

解析 答案

4.已知α=30°,将其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为__1_1_1_0_°_. 解析 3×360°+30°=1 110°.

12345

解析 答案

5.如图所示. (1)写出终边落在射线OA,OB上的角的集合; 解 终边落在射线OA上的角的集合是{α|α=k·360°+ 210°,k∈Z}. 终边落在射线OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°, k∈Z}. (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合. 解 终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤ k·360°+300°,k∈Z}.

12345

解答

规律与方法
1.对角的理解,初中阶段是以“静止”的眼光看,高中阶段应用“运动” 的观点下定义,理解这一概念时,要注意“旋转方向”决定角的“正 负”,“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”. 2.关于终边相同的角的认识 一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S= {β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成 角α与整数个周角的和.


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