18-19学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末专题整合新人教B版选修2-1_图文

第二章 圆锥曲线与方程

热点透视·专题突破 热点一 圆锥曲线的定义
例 1 (1)抛物线 y2=2px(p>0)上有 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) 三点,F 是它的焦点,若|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,则( )
A.x1,x2,x3 成等差数列 B.y1,y2,y3 成等差数列 C.x1,x3,x2 成等差数列 D.y1,y3,y2 成等差数列

(2)椭圆4x92+2y42 =1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1、F2 的连线互相 垂直,则△PF1F2 的面积为( )
A.28 B.24 C.22 D.20
分析:由抛物线定义把|AF|,|BF|,|CF|进行转化,表示成关于 x1,x2,x3 的式子即可得.

解析:
(1)由抛物线定义:|AF|=|AA′|,|BF|=|BB′|,|CF|=|CC′| ∵2|BF|=|AF|+|CF|,∴2|BB′|=|AA′|+|CC|′.
又∵|AA′|=x1+p2,|BB′|=x2+p2,|CC′|=x3+p2,
∴2???x2+p2???=x1+p2+x3+p2?2x2=x1+x3,∴选 A. (2)|PF1|+|PF2|=14,(|PF1|+|PF2|)2=196, |PF1|2+|PF2|2=(2c)2=100,相减得 2|PF1|·|PF2|=96. S=12|PF1|·|PF2|=24.故选 B. 答案:(1)A (2)B

热点二 圆锥曲线的方程与性质
例2 (1)如图,椭圆 C1,C2 与双曲线 C3,C4 的离心率分别是 e1,e2 与 e3,e4,则 e1,e2,e3,e4 的大小关系是( ) A.e2<e1<e3<e4 B.e2<e1<e4<e3 C.e1<e2<e3<e4 D.e1<e2<e4<e3

(2)设双曲线xa22-by22=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,直线 l:x=ac2(c 为双曲线的半焦距的长)与两条渐近线交于 P、Q 两点,如果△PQF 是 直角三角形,则双曲线的离心率 e=________.
分析: 解答本题的关键是利用双曲线的性质和题目条件,建立 a,b,c 的关系,注意对△PQF 这一特征三角形分析,可找到问题的突破口

解析:
(1)椭圆离心率为 e,则 e2=1-ba22,∴0<e2<e1<1. 双曲线的离心率为 e′,则 e′=1+ba22.∴1<e3<e4.
因此 0<e2<e1<1<e3<e4.

(2)由双曲线的对称性,知|PF|=|QF| 又∵△PQF 是直角三角形, ∴∠PFQ=90°,∠PFO=45°.
渐近线为 y=±bax. 由题意知点 P 坐标为???ac2,acb???, ∴acb=c-ac2即 a=b.
∴e=ac= a2a= 2. 答案:(1)A (2) 2

热点三 直线与圆锥曲线的位置关系 例 3 已知椭圆x22+y2=1. (1)求斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程; (2)过 N(1,2)的直线 l 与椭圆相交,求 l 被椭圆截得的弦的中点轨 迹方程;
(3)求过点 P???21,12???且被 P 点平分的弦所在直线的方程.

解析:
设弦的两端点为 A(x1,y1)、B(x2,y2),中点 M(x0,y0),则有 x1 +x2=2x0,y1+y2=2y0.
由x221+y21=1,x222+y22=1. 两式作差得:?x2-x1?2?x2+x1?+(y2-y1)(y2+y1)=0, ∴xy22--yx11=-2?xy22++xy11?=-2xy00.
即 kAB=-2xy00. ①

(1)设弦中点为 M(x,y),由①式,2=-2xy,∴x+4y=0. 故所求的轨迹方程为 x+4y=0(在已知椭圆的内部). (2)不妨设 l 交椭圆于 A、B,弦中点为 M(x,y). 由①式,k1=kAB=-2xy,又∵kl=kMN=xy--21,∴-2xy=xy--21. 整理得 x2+2y2-x-4y=0,此式对 l 的方程为 x=1 时也成立. ∴所求中点轨迹方程是 x2+2y2-x-4y=0(在已知椭圆的内部).
(3)由①式,弦所在的直线的斜率 k=-2xy00=-12,故其方程为 y -12=-12???x-12???,即 2x+4y-3=0.

热点四 轨迹问题 例 4 一动圆过定点 A(2,0),且与定圆 x2+4x+y2-32=0 内切, 求动圆圆心 M 的轨迹方程.
分析: 设圆心坐标 ―→ 利用两圆内切 ―→ 转化为椭圆定义 ―→ 得到圆心的轨迹方程

解:将圆的方程化为标准形式为(x+2)2+y2=62, 这时,已知圆的圆心坐标为 B(-2,0), 半径为 6,如图:设动圆圆心 M 的坐标为(x,y),

由于动圆与已知圆相内切,设切点为 C. ∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离,即 |BC|-|MC|=|BM|, 而|BC|=6, ∴|BM|+|CM|=6,又|CM|=|AM|, ∴|BM|+|AM|=6, 根据椭圆的定义知 M 的轨迹是以点 B(-2,0)和点 A(2,0)为焦点,
线段 AB 的中点(0,0)为中心的椭圆.∴a=3,c=2,b= a2-c2= 5, ∴所求圆心的轨迹方程为x92+y52=1.

【专题突破】

1.如图,F1,F2 是椭圆 C1:x42+y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点,

A,B 分别是 C1,C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为 矩形,则 C2 的离心率是( )

3

6

A. 2 B. 3 C.2 D. 2

解析:

椭圆 C1 中,|AF1|+|AF2|=4,|F1F2|=2 3. 又因为四边形 AF1BF2 为矩形, 所以∠F1AF2=90°. 所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,
所以|AF1|=2- 2,|AF2|=2+ 2.
所以在双曲线 C2 中,2c=2 3,2a=|AF2|-|AF1|=2 2,故 e=ac



3= 2

26,故选

D

项.

答案:D

2.已知双曲线xa22-by22=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y2

=2px(p>0)的准线分别交于 A,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的

离心率为 2,△AOB 的面积为 3,则 p=( )

A.1

3 B.2

C.2

D.3

解析:因为双曲线的离心率 e=ac=2,所以 b= 3a,所以双曲线 的渐近线方程为 y=±bax=± 3x,与抛物线的准线 x=-p2相交于
A???-2p, 23p???,B???-2p,- 23p???,所以△AOB 的面积为12×p2× 3p= 3, 又 p>0,所以 p=2.
答案:C

3.设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF| =5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为( )
A.y2=4x 或 y2=8x B.y2=2x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x D.y2=2x 或 y2=16x

解析:本题结合抛物线的定义以及圆的基础知识进行求解.设 M(x0,y0),A(0,2),MF 的中点为 N.
由 y2=2px,F???p2,0???,∴N 点的坐标为x0+2 p2,y20. 由抛物线的定义知,x0+p2=5,
∴x0=5-p2.∴y0= 2p???5-2p???. ∵|AN|=|M2F|=52,∴|AN|2=245.

∴x0+2 p22+???y20-2???2=245.

即???5-p24+p2???2+????

2p2???5-p2???-2????2=245.



2p2???5-p2???-2=0.整理得 p2-10p+16=0.

解得 p=2 或 p=8.∴抛物线方程为 y2=4x 或 y2=16x.

答案:C

4.O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 2x 的焦点,P 为 C 上 一点,若|PF|=4 2,则△POF 的面积为( )
A.2 B.2 2 C.2 3 D.4
解析:由题意知抛物线的焦点 F( 2,0),由抛物线定义知|PF|= xP+P2,又|PF|=4 2,所以 xP=3 2,代入抛物线方程求得 yP=2 6, 所以 S△POF=12·|OF|·yP=2 3.
答案:C

5.设 F1,F2 是双曲线 C:xa22-by22=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上一点.若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2 的最小内角为 30°,则 C 的离心率为__________.

解析:根据双曲线的定义及已知条件,利用余弦定理建立关于 a, c 的方程求解.
设点 P 在双曲线右支上,F1 为左焦点,F2 为右焦点,则|PF1|-|PF2| =2a.
又|PF1|+|PF2|=6a,∴|PF1|=4a,|PF2|=2a. ∵在双曲线中 c>a, ∴在△PF1F2 中|PF2|所对的角最小且为 30°. 在 △ PF1F2 中 , 由 余 弦 定 理 得 |PF2|2 = |PF1|2 + |F1F2|2 - 2|PF1||F1F2|cos30°,即 4a2=16a2+4c2-8 3ac,即 3a2+c2-2 3ac= 0.∴( 3a-c)2=0,∴c= 3a,即ac= 3.∴e= 3. 答案: 3

6.设椭圆xa22+by22=1(a>b>0)的左焦点为 F,离心率为 33,过点

F

且与

x

轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4

3

3 .

(1)求椭圆的方程;

(2)设 A,B 分别为椭圆的左、右顶点,过点 F 且斜率为 k 的直线

与椭圆交于 C,D 两点.若A→C·D→B+A→D·C→B=8,求 k 的值.

解析:

(1)设 F(-c,0),由ac= 33,知 a= 3c,过点 F 且与 x 轴垂直的直

线为

x=-c,代入椭圆方程有?-a2c?2+by22=1,解得

y=±

36b,于是2

6b 3

=43 3,解得 b= 2,又 a2-c2=b2,从而 a= 3,c=1,所以椭圆的 方程为x32+y22=1.

(2)设点 C(x1,y1),D(x2,y2),由 F(-1,0)得直线 CD 的方程为 y =k(x+1),

??y=k?x+1?,

由方程组???x32+y22=1

消去 y,

整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0,

由根与系数的关系可得 x1+x2=-2+6k32k2,x1x2=32k+2-3k62.

因为 A(- 3,0),B( 3,0), 所以A→C·D→B+A→D·C→B=(x1+ 3,y1)·( 3-x2,-y2)+(x2+ 3, y2)·( 3-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6 -(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+22k+2+3k122. 由已知得 6+22k+2+3k122=8,解得 k=± 2.


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