2017版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第一节三角函数的概念同角三角函数基本关系式及诱导公_图文

第一节 三角函数的概念、同角三角函数 基本关系式及诱导公式 知识点一 任意角的三角函数 1.任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为 正角 、 负角、 零角 . ②按终边位置不同分为 象限角 和 轴线角 . (2)终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S= {β|β=α+k· 360°,k∈Z}. 2.弧度与角度的互化 (1)1 弧度的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,用符 号 rad 表示. (2)角 α 的弧度数 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l,那么角 α 的 l 弧度数的绝对值是|α|=r. (3)角度与弧度的换算 ①1°= π 180 rad;②1 ?180? ? rad=? ? π ?°. ? ? (4)弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为 l,圆心角大小为 α rad,半径为 r,则 l=rα, 扇形的面积为 S= = . 3.任意角的三角函数 (1)定义:设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),则 sin α= y ,cos α= 1 lr 2 1 2 r? 2 x ,tan α= y x (x≠0). (2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示 .正 弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起 点都是(1,0). 如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的 正弦线 、 余弦线 和 正切线 . ?两个重要概念:象限角,终边相同的角. [会判断角所在的象限,能写出终边相同的角的集合] (1)-520°角所在的象限为________. 解析 -520 °=200 °- 2×360 °,所以- 520 °与 200 °角 终边相同,是第三象限角. 答案 第三象限 (2)终边在直线y=-x上的角的集合是________. 解析 直线y=-x的倾斜角为135°,所求角的集合为{α|α= 135°+k· 180°,k∈Z}. 答案 {α|α=135°+k· 180°,k∈Z} ?一个易错点:扇形的弧长、面积公式. (3)[弧长、面积公式中角必须用弧度制 ] 弧长为3 π ,圆心角为 135°的扇形的半径为________,面积为________. 3 l 3π 解析 135°=4π,所以扇形的半径 r= = =4,面积 α 3π 4 1 1 S= l·r= ×3π×4=6π. 2 2 答案 4 6π ?两个易误点:三角函数的定义和符号. (4)[已知角终边上一点坐标求三角函数值时,r=|OP|>0]已知 角α终边过点(a,2a)(a≠0),则角α的余弦值是________. 解析 r= 5|a|,x=a,y=2a, 5 x a 当 a>0 时,cos α=r= = , 5a 5 5 x a 当 a<0 时,cos α=r= =- 5 . - 5a 5 5 答案 5 或- 5 (5)[三角函数值在各象限的符号:一全正、二正弦、三正切、 四余弦]若cos θ· tan θ>0,则角θ所在的象限为________. 解析 当cos θ>0,tan θ>0时,θ在第一象限,当cos θ<0, tan θ<0时,θ在第二象限,故θ在第一或第二象限. 答案 第一或第二象限 知识点二 同角三角函数基本关系式及诱导公式 1.同角三角函数基本关系式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1,其等价形式为:sin2α=1 -cos2α,cos2α= (2)商数关系: 1-sin2α. ,其等价形式为: sin ? ? tan ? cos ? sin α tan α ,cos α= sin α= cos α· . tan α 2.角的对称 相关角的终边 对称性 α与π+α α与π-α α与-α(或2π-α) α与-α 关于 原点 对称 关于 y轴 对称 关于x轴对称 关于直线 y=x 对称 3.六组诱导公式 组数 一 2kπ+ α(k∈Z) 二 π+α 三 -α 四 π-α 五 -α 六 +α 角 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α -tan α -tan α 口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变 符号看象限 ?一组重要公式:诱导公式. π [公式记忆: 奇变偶不变, 符号看象限, 把角写成 k· 2 ±α(k∈Z) 的形式,当 k 为偶数时,得 α 的同名三角函数值;当 k 为奇数 时,得 α 的异名三角函数值,然后在前面加上一个把 α 看成锐 角时原函数值的符号] 7π (6)tan 6 =________. ? 7π π π? 3 ? ? 解析 tan =tan?π+ ?=tan = . 6 6 3 6? ? 答案 3 3 ? π? 1 ? (7)已知 α 为第四象限角,若 cos α=3,则 cos?α+ ? ?= 2 ? ? ________. 解析 ∵α 为第四象限角,∴sin α=- 1-cos2α ? π? 2 2 2 2 ? ? =- 3 ,∴cos?α+ ?=-sin α= 3 . 2? ? 2 2 答案 3 突破三角函数的概念及应用的方法 用定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r, 然后用三角函数的定义求解; (2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐 标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求相关 问题.此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同). 确定三角函数值的符号,可以从确定角的终边所在象限入手进 行判断. 【例1】 (1)(2016· 吉林延边安图一中期中)已知sin 2α

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