2017届高三第一轮复习专题训练之球的“内切”“外接”问题


2017 届高三第一轮复习专题训练之球的“内切” “外接”问题
1.正方体的内切球:设正方体的棱长为 a ,求(1)内切球半径;(2)外接球半径; 解:(1)截面图为正方形 EFGH 的内切圆,得 R ?

a ;(2)正方体的外接球:正方体的 2

O 为矩形 AA1C1C 的外 八个顶点都在球面上,如图 2,以对角面 AAC 1 1C 作截面图得,圆
接圆,易得 R ? A1O ?

3 a。 2

图1 图2 2.正四面体的外接球和内切球的半径是多少? 解:如图所示,设点 O 是内切球的球心,正四面体棱长为 a .由图形的对称性知,点 O 也 是 外 接 球 的 球 心 . 设 内 切 球 半 径 为 r , 外 接 球 半 径 为 R . 在 Rt ?BEO 中 ,

? 3 ? 6 ? ? r 2 ,得 R ? BO ? BE ? EO ,即 R ? ? a a ,得 R ? 3r ? 3 ? 4 ? ?
2 2 2

2

2

练习: 1.一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为 . 3?

2.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为 1,2,3, 则此球的表面积为 . 14? 3. 设 P, A, B, C 是球 O 面上的四点,且 PA, PB, PC 两两互相垂直,若 PA ? PB ? PC ? a ,

则球心 O 到截面 ABC 的距离是

.

3 a 6

4.在正三棱锥 S ? ABC 中,侧棱 SC ? 侧面SAB ,侧棱 SC ? 2 ,则此正三棱锥的外接球

的表面积为

12?


5.半径为 R 的球内接一个各棱长都相等的正四棱锥.则四棱锥的体积为

2 3 R 3

6.正三棱锥的高为3,底面边长为 8 3 ,正三棱锥内有一个球与其四个面相切.则球的表 面积与体积分别为 .

64 256 ?; ? 9 81

A、 B C 、 D、 都在同一球 7.正四棱锥 S ? ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 , 点 S、
面上,则此球的体积为 . 解: 设正四棱锥的底面中心为 O1 , 外接球的球心为 O , 如图 3 所示. ∴由球的截面的性质,可得 OO1 ? 平面ABCD .
D C O1 A 图3 B S

又 SO1 ? 平面ABCD ,∴球心 O 必在 SO1 所在的直线上. ∴ ?ASC 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆,外接圆的半径就 是外接球的半径. 在 ?ASC 中,由 SA ? SC ?

2,AC ? 2 ,得 SA2 ? SC 2 ? AC 2 .

∴ ?ASC是以AC为斜边的Rt? . ∴

AC 4? ? 1 是外接圆的半径,也是外接球的半径.故 V 球 ? . 2 3


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