2019-2020学年【课堂坐标】高中数学北师大版必修五学业分层测评:第一章 数列 1 Word版含解析

北师大版 2019-2020 学年数学精品资料

学业分层测评(一)
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1 1 1 1 1.数列-2,4,-8,16,…的一个通项公式是( 1 A.an=-2n ?-1?n+1 C.an= 2n 【解析】 ?-1?n B.an= 2n ?-1?n D.an= n+1 2 )

项的符号可以用(-1)n 调节,项的绝对值可以写成

?-1?n 1 1 1 1 2,22,23,24,…∴通项公式为 an= 2n . 【答案】 B )

1 2 3 4 2.数列2,3,4,5,…的第 10 项为( 8 A.9 10 C.11 【解析】 【答案】 9 B.10 11 D.12

n 10 10 数列的通项公式为 an= ,所以 a10= =11. n+1 10+1 C )

3.数列{an}中,an=n+(-1)n,则 a4+a5=( A.7 C.9 【解析】 B.8 D.10

因为 an=n+(-1)n,所以 a4=4+(-1)4=5.

a5=5+(-1)5=4,所以 a4+a5=9. 【答案】 C )

4.已知数列 1, 3, 5, 7,…, 2n-1,…则 3 5是它的( A.第 22 项 C.第 24 项 【解析】 【答案】 由题意知 an= B B.第 23 项 D.第 28 项 2n-1,由 2n-1=3 5得 n=23.

5.用火柴棒按如图 111 的方法搭三角形:

图 111 按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数 an 与所搭三角形的个数 n 之间的关 系式可以是( ) B.an=2n+1 D.an=2n-3

A.an=2n-1 C.an=2n+3 【解析】

当 n=1 时,a1=3;当 n=2 时,a2=5;当 n=3 时,a3=7;当

n=4 时,a4=9,…,依次类推 an=2n+1,因此火柴棒数{an}与所搭三角形个数 n 的关系式为 an=2n+1. 【答案】 二、填空题 6 .已知数列 {an} 的通项公式 an =- n2 + 7n + 9 ,则其第 3 、 4 项分别是 ________,________. 【解析】 a3=-32+7×3+9=21. B

a4=-42+7×4+9=21. 【答案】 21 21

3 1 5 3 7 7.数列5,2,11,7,17,…的一个通项公式是________.

n+2 3 1 5 3 7 3 4 5 6 7 【解析】 数列5, , , , , … 即数列 , , , , , … 故 a . n= 2 11 7 17 5 8 11 14 17 3n+2 【答案】 n+2 an= 3n+2

8.已知数列{an},an=kn-5,且 a8=1,则 7 为该数列的第________项. 【解析】 得 n=16. 【答案】 三、解答题 9.根据数列的前四项的规律,写出下列数列的一个通项公式. (1)-1,1,-1,1; (2)-3,12,-27,48; (3)1,11,111,1111,…; 2 4 6 8 (4)3,15,35,63. 【解】 =(-1)n. (2)各项绝对值可以写成 3×12,3×22,3×32,3×42,…,又因为奇数项为负, 偶数项为正,故通项公式为 an=(-1)n3n2. 1 1 1 1 (3)将数列变形为9(10-1),9(102-1),9(103-1),9(104-1),…, 1 所以 an=9(10n-1). (4)因为分母 3,15,35,63 可看作 22-1,42-1,62-1,82-1,故通项公式为 an= 2n 2n = 2 . 2 ?2n? -1 4n -1 n2 10.在数列{an}中通项公式是 an=(-1)n-1· ,写出该数列的前 ?2n-1??n+1? (1)各项绝对值为 1,奇数项为负,偶数项为正,故通项公式为 an 16 3 3 3 由 a8=8k-5=1,解得 k=4,∴an=4n-5,∴令4n-5=7,解

81 5 项,并判断170是否是该数列中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明 理由. 【解】 12 1 a1=(-1)0· =2, 1×2

22 4 32 9 a2=(-1)1· =-9,a3=(-1)2· =20. 3×3 5×4
2 42 16 25 4 5 a4=(-1) · =-35,a5=(-1) · =54. 7×5 9×6 3

1 4 9 16 25 所以该数列前 5 项分别为2,-9,20,-35,54. n2 81 令(-1)n-1· =170得 ?2n-1??n+1? ? ?n>1且为奇数, ? 2 ? ?8n -81n+81=0. 81 所以 n=9.所以170是该数列中的第 9 项. [能力提升] 1.已知数列{an}中,a1=1,以后各项由公式 a1· a2· a3…an=n2 给出,则 a3 +a5 等于( 25 A. 9 61 C.16 【解析】 ) 25 B.16 31 D.15 9 由 a1a2=22,a1· a2· a3=32,得 a3=4,

又 a1· a2· a3· a4=42,a1· a2· a3· a4· a5=52, 25 所以 42· a5=52,即 a5=16. 9 25 61 所以 a3+a5=4+16=16. 【答案】 C )

2.(2016· 泰州高二检测)在数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4 中第 25 项为(

A.6 【解析】

B.7

C.8

D.9

数字共有 n 个,当数字 n=6 时,有 1+2+3+4+5+6=21 项,

所以第 22 项起数字为 7 至 28 项为止,故 25 项为 7. 【答案】 B

a-b 5 10 17 3.(2016· 厦门高二检测)数列 3 , 8 , , 24 ,…中有序数对(a,b) a+b 可以是________. 【导学号:67940002】 【解析】 从上面的规律可以看出分母呈现以下特点: 3=22-1,8=32-1,24 =52-1, 即 a+b=42-1=15, 又被开方数 5,10,17, a-b 后一项比前一项多 5,7,9, 故 a-b=17+9=26, 41 a = ? ? ? 2, ?a+b=15, ∴? 解得? 11 ? ?a-b=26, ? ?b=- 2 . 【答案】 11? ?41 ? 2 ,- 2 ? ? ?

4 9 16 25 4.已知无穷数列5,10,17,26,…, (1)求出这个数列的一个通项公式; ? 9 36? (2)该数列在区间?10,37?内有无项?若有,有几项?若没有,请说明理由. ? ? 【解】 (1)因为数列的分子依次为 4,9,16,25,…可看成与项数 n 的关系式

为(n+1)2,而每一项的分母恰好比分子大 1,所以通项公式的分母可以为(n+1)2 +1.所以数列的一个通项公式为 an= (n=1,2,…). ?n+1?2+1 ?n+1?2 9 36 9 36 (2)当10≤an≤37时,可得10≤ ≤37. 2 ?n+1? +1 由 ?n+1?2 ?n+1? +1
2

?n+1?2

9 ≥10,解得(n+1)2≥9,可得 n≥2.



?n+1?2 ?n+1? +1
2

36 ≤37,解得(n+1)2≤36,可得 n≤5.

所以 2≤n≤5. ? 9 36? 综上所述,该数列在?10,37?内有项,并且有 4 项. ? ?


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