2016山西艺术职业学院单招数学模拟试题(附答案)


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2016 山西艺术职业学院单招数学模拟试题(附答案)
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选

项中,有且只有一项符合题目要求。 1.已知 M ? x x ? 2 A ?a a ? ?2?

?

? , N ? ?x x ? a? , 且 M ? N ? ? ,则 a 的取值集合为
B ?a a ? ?2? C ?a a ? 2? D ?a a ? 2?

2.若 ?an ? 是公差为 1 的等差数列,则 ?a2n?1 ? 2a2n ? 是 A 公差为 3 的等差数列 C 公差为 6 的等差数列 B 公差为 4 的等差数列 D 公差为 9 的等差数列

3. a、 b 是两个非零向量,且 a ? b ? a ? b ,则 与 a ? b 的夹角为 A 300 B 450 C 600 D 900

2 4.已知 f ? 2x ?1? ? x ? 3 ,则 f ? 3? 等于

A6

B2

C1

D -2

5. 到点 F ? 0,4? 的距离比它到直线 y ? ?5 的距离小 1 的动点 M 的轨迹方程为 A y ? 16 x 2 B y ? ?16 x2 C x 2 ? 16 y D x2 ? ?16 y

6. F1、F2 是双曲线 C 的两个焦点,P 是 C 上一点,且 ?F 1PF 2 是等腰直角三角形,则双 曲线 C 的离心率为 A 1? 2 7. 函数 y ? B 2? 2 C 3? 2 D 3? 2

e? x ? e x 的反函数 2

A 是奇函数且在 ? ??, ??? 上单调递增 B 是偶函数且在上 ? 0, ??? 单调递增 C 是奇函数且在 ? ??, ??? 上单调递减

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D 是偶函数且在 ? ??,0? 上单调递增 8. 函数 y ? f ? x ? 2? 与 y ? f ? ?x ? 的图像 A 关于直线 x ? 2 对称 C 关于直线 x ? ?2 对称 B 关于直线 x ? 1 对称 D 关于直线 x ? ?1 对称

2 2 9. 已知点 ? m, n ? 在直线 x cos? ? y sin ? ? 2 ?? ? R? 上,则 m ? n 的最小值为

A1

B2

C

2

D4

10.正三棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为

1 ,则侧棱与底面所成角的正弦值为 3
D

.A

3 3

B

6 3

C

1 2

3 2

11. 已知 lg a ? lg b ? 0 ,则

b a ? 的最小值为 2 1 ? a 1 ? b2
C

A1

B2

1 2

D4

? 12. 集合 A 是集合 B ? x ? N x ? 10 的 4 元素子集,最小元素为 3,最大元素不小于

?

?

8,则这样的集合 A 有 A 21 个 B 25 个 C 31 个 D 45 个

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上。

? 2 x ? 3 y ? 6 ?? ? 13. 已知实数 x、 y 满足条件 ? 2 x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为 ?y ? 0 ?

2? ? 14. ? x ? ? 的展开式中含 x 项的系数为 x? ?
15.函数 y ? 2sin ?

6

?? ? ?? ? ? x ? ? cos ? ? x ? ? x ? R ? 的最小值为 ?3 ? ?6 ?

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16.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AB 的中点,则点 C 到平面 A1DM 的 距离为 三、 解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤。 17.(本大题满分 10 分)
2 已知函数 f ? x ? ? sin 4 x ? 2 3 sin 2 x ? tan x ? cot x ? ? x ?

?

?

? ?

k? ? ,k ?Z ? 2 ?

(I) (II)

求函数 f ? x ? 的最小正周期; 设 ?ABC 三个内角 A、B、C 所对的边为 a、b、c ,且 f ? A? ? 4, f ? B? ? 8 , 求的 a : b : c 值

18(本大题满分 12 分)
0 如图 1,在直角梯形 ABCD 中,AB//CD,AB=2, BC=1. ?D ? 30 。如 2,沿梯形的高

AE 将其折成直二面角,使点 D 至点 S 的位置。 (I) (II) 求 AE 与 SB 所成角的大小; 求二面角 A-SB-E 的大小。

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19.(本大题满分 12 分) 环景点公路一辆游车载有 5 为游客,每位游客必须在沿途的 A、B、C 三个景点之一 下车,且每位顾客在每个景点下车是等个能的。若有人下车,则游车停一次,否则不 停, (I) (II) 求游车在 A 景点不停的概率; 求游车至少停两次的概率。

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20(本大题满分 12 分)
3 已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? 2x ?1? a ? R?

(I) (II)

若曲线 y ? f ? x ? 在 x ? 1 处与直线 y ? 3x ? b 相切,求 a、 b 的值; 若 f ? x ? 在区间 ? ?2,0 ? 内有极值,求 a 的取值范围、

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21. (本大题满分 12 分)
2 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n ,数列 ?bn ? 是等比数列,且 a1 ? b1, b2 ? ? a2 ? a1 ? ? b1 ,

(I) (II)

求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;
? 设 cn ? anbn ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? cn ? 6 n ? N

?

?

22(本大题满分 12 分)

x2 y 2 x 直线 y ? x ? 1 交 轴于点 P,交椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 于相异两点 A、B,且 a b ??? ? ??? ? PA ? ?3PB ,求 a 的取值范围;

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参考答案
一、选择题 DCADC 二、填空题: 13. 3 14. -10 15. -1 16. ACBDB AC

6 a 3

三、解答题: 17.解; (I)

f ? x ? ? sin 4 x ? 2 3 sin 2 2 x ? tan x ? cot x ? ? sin x cos x ? ? 2sin 2 x cos 2 x ? 2 3 sin 2 2 x ? ? ? ? cos sin x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin 2 x cos 2 x ? 2 3 sin 2 2 x ? sin x cos x 2 ? 2sin 2 x cos 2 x ? 2 3 sin 2 2 x ? sin 2 x ? 4 cos 2 x ? 4 3 sin 2 x

?

?

? ? ?

? ? ?

?? ? ? 8sin ? 2 x ? ? 6? ?
它的最小正周期 T ?

2? ?? 2

(II)由(I)及 f ? A? ? 4, f ? B? ? 8 得,

?? ?? ?? 1 ?? ? ? ? ? 8sin ? 2 A ? ? ? 4,8sin ? 2 B ? ? ? 8,即sin ? 2 A ? ? ? ,sin ? 2 B ? ? ? 1 6? 6? 6? 2 6? ? ? ? ?

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? 0 ? A, B ? ? ,? ?A?

?
6

? 2A ?

?
6

, 2B ?

?
6

?

13? ? 5? ? ? ,? 2 A ? ? , 2B ? ? 6 6 6 6 2

?
3

,B ?

?
6

? A ? B ? C ? ? ,? C ?

?
2
: sin

由正弦定理,得 a : b : c ? sin 18.解法一

?
3

: sin

?
6

?
2

? 3 :1: 2

(I)由已知。BC//AE,则 AE 与 SB 所成的角等于 BC 与 SB 所成的角。 连结 SC. 由题设, ?SEC 为直二面角 S-AE-C 的平面角,于是 EA、EC、ES 两两互 相垂直。 在 Rt ?SAE 中, ?ASE ? 300 , AE ? 1, 则 SE ? 3 在 Rt ?SEC 中, SE ? 3, CE ? 2 则 SC ? 7 易见, EA ? 平面 SEC , 则 BC ? 平面 SEC ,从而 BC ? SC 在 Rt ?SBC 中, SC ? 7, BC ? 1, tan ?SBC ? 所以 AE 与 SB 所成角的大小为 arc tan 7 (II)? SE ? 平面 ABCE ,? 平面 SBE ? 平面 ABCE 作 AO ? BE 于 O,则 AO ? 平面 SBE ,作 OF ? SB 于 F,连结 AF, 则 AF ? SB

SC ? 7 BC

??AFO 为二面角 A-SB-E 的平面角
在 Rt ?ABE 中, AO ?

AB?AE 2 ?1 2 ? ? BE 5 5 AB?SA 2 ? 2 ? ? 2 SB 2 2

因为 AB ? AE ,所以 AB ? SA ,则 AF ?

? sin ?AFO ?

AO 10 ? AF 5 10 5

故二面角 A-SB-E 的大小为 arc sin

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解法二: (I)有题设,为直二面角 S-AE-C 的平面角,于是 EA、EC、ES 两两互相垂直, 建立如图所示的空间直角坐标系 E ? xyz ,其中,

E ? 0,0,0? , A?1,0,0? , B ?1, 2, 0 ? , S 0, 0, 3

?

?

??? ? ??? ? AE ? ? ?1, 0, 0 ? , SB ? 1, 2, ? 3 ??? ? ??? ??? ? ??? AE ?SB ?1 2 ? cos AE , SB ? ??? ?? ? ??? ? 4 AE ?SB 1? 2 2

?

?

所以,AE 与 SB 所成角的大小为 arc cos

2 4

(II)设 m ? ? x1 , y1 , z1 ? 为,面 SBE 的法向量,则 m ? EB ,且 m ? ES

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ? EB ? ?1, 2, 0 ? , ES ? 0, 0, 3

?

?
??? ? ??? ?

? ? x1 ? 2 y1 ? 0, ?? 取m ? ? 2, ?1, 0 ? 3 z ? 0, ? ? 1
设 n ? ? x2 , y2 , z2 ? 为面 SAB 的法向量,则 n ? AB ,且 n ? AS

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??? ? ??? ? ? AB ? ? 0, 2, 0 ? , AS ? ?, 0, 3

?

? ?

? ?2 y2 ? 0, ?? 取n ? ? ?? x2 ? 3z2 ? 0, ? cos m, n ?

?

3, 0,1

m?n 2 3 15 ? ? m n 5 5?2
15 5

以内二面角 A-SB-E 为锐角,所以其大小为 arc cos 19.解:

(I)5 位旅客在 A、B、C 三个景点的下车的方法种数为 25 ,其中在 A 景点不停车即 知在 B、C 景点停车的为方程种数为 2 。
5

所以游车在 A 景点不停的概率

P?

25 32 ? 35 243

(II)记事件“游车在三个景点停一次车”为 E,则

1 1 1 P ? E ? ? C3 ?5 ? 3 81
所以游车至少停两次的概率为

1? P ? E ? ? 1?
20.解:

1 80 ? 81 81

2 (I) f ? ? x ? ? 3x ? 2ax ? 2

由已知,得 f ? ?1? ? 3,即1 ? 2a ? 3, a ? 1 , 在由切点为 ?1,1? , 得1 ? 3 ? b, b ? ?2 ,

? a ? 1, b ? ?2
2 (II) f ? ? x ? ? 0,即3x ? 2ax ? 2 ? 0

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? ? 4a2 ? 24 ? 0, 方程有两个不相等的实根 x1、x2
而 x1 x2 ? ?

?a ? a 2 ? 6 2 ? 0 ,则方程的负根 x1 ? 3 3
5 2

依题意, ?2 ? x1 ? 0 即只需 f ? ? ?2? ? 0 ,解得 a ?

当 x ? ? ?2, x1 ? 时, f ? x ? 单调递增,当 x ? ? x1 ,0? 时, f ? x ? 单调递减,所以 f ? x ? 在 x ? x1 处取得极大值。 因此 a 的取值范围是 ? ??, ?

? ?

5? 2?

21.解: (I) a1 ? S1 ? 1
2 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 且对于 n ? 1 也成立 2

所以 an ? 2n ? 1

b1 ? a1 ? 1
由 n2 ? a2 ? a1 ? ? b1 ,即2b2 ? b1 , 得q ?

b2 1 ? b1 2

?1? ?bn ? 1? ? ? ?2?
(II)

n ?1

?

1 2n?1

cn ? anbn ?

2n ? 1 , 2n ?1 3 5 2n ? 1 ? 2 ? ??? ? n ?1 ① 1 2 2 2

Tn ? 1 ?

1 1 3 5 2n ? 1 Tn ? ? 2 ? 3 ? ??? ? n ② 2 2 2 2 2

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① -②,得

1 1 1 2n ? 1 1 2n ? 1 Tn ? 1 ? 1 ? ? ??? ? n ? 2 ? n ? 1 ? 2 ? n ? 2 ? n 2 2 2 2 2 2 1 2n ? 1 ?Tn ? 6 ? n ?3 ? n 2 2 1 1 Tn ? cn ? 6 ? n ?3 ? 6 ? n ?3 ? 6 2 2

22..解:

x2 y 2 2 2 2 2 2 2 2 由 y ? x ? 1 ,得 x ? y ? 1 ,代入 2 ? 2 ? 1 ,得 ? a ? b ? y ? 2b y ? b ? a b ? 0 a b
设 A? y1 ?1, y1 ?、B ? y2 ?1, y2 ? ,则 y1、y2 是这个一元二次方程的两个根,

? ? ? ?2b2 ? ? 4 ? a 2 ? b2 ?? b2 ? a 2b2 ? ? 0,即a 2 ? b 2 ? 1 ①
2

由 PA ? ?3PN ,及 P ? ?1,0? ,得 y1 ? ?3 y2 由根与系数的关系,得

??? ?

??? ?

y1 ? y2 ? ?2 y2 ?
2

2b 2 ② a 2 ? b2

b 2 ? a 2b 2 y1 y2 ? ?3 y 2 ? 2 ③ a ? b2
由②式得 y2 ? ?

b2 3b2 b 2 ? a 2b 2 ? ? ,代入③式,得 2 2 2 a 2 ? b2 ? a 2 ? b2 ? a ? b


?b ?
2

a 2 ? a 2 ? 1? 4 ? a2

? a 2 ? a 2 ? 1? 2 ?a ? ?1 2 ? 4 ? a 由 a ? b ,及①、④,得 ? 2 2 ? 2 a ? a ? 1? ?a ? 4 ? a2 ?

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2 解不等式组,得1 ? a ?

5 2

所以 a 的取值范围是 ? ? 1,

? ?

10 ? ? 2 ? ?


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