【一本通】2014届高考数学一轮复习 第3章 等差数列及其前n项和 理

2014 届高考数学(理)一轮复习 3 等差数列及其前 n 项和
一、选择题 1.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S5=20,则 a7+a8+a9=( A.63 C.36 B.45 D.27 )

解析:由 S3=9,S5=20,得 d=1,a1=2,∴a7+ a8+a9=3a8=3(a1+7d)=3×9=27. 答案:D 2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2+a8=15-a5,则 S9 等于( A.18 C.45 B.36 D. 60 )

解析:∵{an}为等差数列,a2+a8=15-a5 ∴3a5=15,即 a5=5. 9? ∴S9= 答案:C 3.在等差数列{an}中,an<0,a3+a8+2a3a8=9,那么 S10 等于( A.-9 C.-13
2 2 2 2

a1+a9?
2

=9a5=45.

)

B.-11 D.-15
2

解析:由 a3+a8+2a3a8=9,得(a3+a8) =9,∵an<0, 10? ∴a3+a8=-3,∴S10= 答案:D 4.一个首项为 23,公差为整数的等差数列,如果前 6 项均为正数,第 7 项起为负数,则它的公差为 ( ) A.-2 C.-4 B.-3 D.-6
?a6>0 ? ? ?a7<0

a1+a10?
2

=5(a3+a8)=5×(-3)=-15.

解析:an=23+(n-1)d,由题意知,?
?23+5d>0 ? 即? ?23+6d<0 ?



23 23 ,解得- <d<- , 5 6

又 d 为整数,所以 d=-4. 答案:C 5. 设 Sn 为等差数列 {an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+2-Sk=24,则 k =( A.8 B.7
1

)

C.6

D.5

解析:依题意得 Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=2a1+(2k+1)d=2(2k+1)+2=24,解得 k=5. 答案:D 6.数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1-an(n∈N ).若 b3=-2,b10=12,则 a8=( A.0 C.8 B.3 D.11
*

)

解析:因为{bn}是等差数列,且 b3=-2,b10=12, 12-? -2? 故公差 d= =2.于是 b1=-6, 10-3 且 bn=2n-8(n∈N ),即 an+1-an=2n-8, 所以 a8=a7+6=a6+4+6=a5+2+4+6=…=a1+(-6)+(-4)+(-2)+0+2+4+6=3. 答案:B 二、填空题 7.在等差数列{an}中,a3+a7=37,则 a2+a4+a6+a8=________. 解析:依题意得 a2+a4+a6+a 8=(a2+a8)+(a4+a6 )=2(a3+a7)=74. 答案:74 8.等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1=1,ak+a4=0,则 k=________. 解析:设{an}的公差为 d,由 S9=S4 及 a1= 1, 9×8 4×3 得 9×1+ d=4×1+ d, 2 2 1 所以 d=- .又 ak+a4=0, 6 1 1 所以[1+(k-1)×(- )]+[1+(4-1)×(- )]=0. 6 6 即 k=10. 答案:10 9.在等差数列{an}中,a1=2,a2+a5=13,则 a5+a6+a7=________. 解析:由 a1+a6=a2+a5 得 a6=11. 则 a5+a6+a7=3a6=33. 答案:33 三、解答题 10.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足:a2+a4=14,S7=70. (1)求数列{an}的通项公式; 2Sn+48 (2)设 bn= ,则数列{bn}的最小项是第几项?并求出该项的值.
*

n

2

? ?2a1+4d=14 解:(1)设公差为 d,则有? ?7a1+21d=70 ?



即?

?a1+2d=7, ? ? ?a1+3d=10.

解得?

?a1=1, ? ? ?d=3.

.

所以 an=3n-2. 3n -n (2)Sn= [1+(3n-2)]= 2 2 3n -n+48 48 所以 bn= =3n+ -1≥2
2

n

2

n

n

48 3n· -1=23.

n

48 当且仅当 3n= ,即 n=4 时取等号,

n

故数列{bn}的最小项是第 4 项,该项的值为 23. 11.设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S5S6+15=0. (1)若 S5=5,求 S6 及 a1; (2)求 d 的取值范围. -15 解:(1)由题意知 S6= =-3,a6=S6-S5.

S5

所以 a6=-3-5=-8,
?5a1+10d=5 ? 所以? ? ?a1+5d=-8



解得 a1=7,所以 S6=-3,a1=7. (2)因为 S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即 2a1+9a1d+10d +1=0. 两边同乘以 8,得 16a1+72a1d+80d +8=0, 化简得(4a1+9d) =d -8. 所以 d ≥8. 故 d 的取值范围为 d≤-2 2或 d≥2 2. 1 n -1 1 12.已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,Sn 满足关系式 2Sn=Sn-1-( ) +2(n≥2,n 为正整数),a1= . 2 2 (1)令 bn=2 an,求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式; (2)在(1)的条件下,求 Sn 的取值范围. 1 n-1 1 n 1 n 解:(1)由 2Sn=Sn-1-( ) +2,得 2Sn+1=Sn-( ) +2,两式相减得 2an+1=an+( ) , 2 2 2 上式两边同乘以 2 得 2
n n+1 n
2 2 2 2 2 2 2

an+1=2nan+1,即 bn+1=bn+1,所以 bn+1-bn=1,故数列{bn}是等差数列,

1 n n 且公差为 1,又因为 b1=2a1=1,所以 bn=1+(n-1)×1=n,因此 2 an=n,从而 an=n·( ) . 2

3

1 n-1 1 n-1 1 n-1 1 n-1 (2)由于 2Sn=Sn-1-( ) +2,所以 2Sn-Sn-1=2-( ) ,即 Sn+an=2-( ) ,Sn=2-( ) -an, 2 2 2 2 1 n 1 n-1 1 n 1 n 而 an=n·( ) ,所以 Sn=2-( ) -n·( ) =2-(n+2)·( ) . 2 2 2 2 1 n+1 n+1 1 1 n 所以 Sn+1=2-(n+3)·( ) , Sn+1-Sn= n+1 >0, 且 所以 Sn≥S1= ,又因为在 Sn=2-(n+2)·( ) 2 2 2 2 1 n 中,(n+2)·( ) >0,故 Sn<2, 2 1 即 Sn 的取值范围是[ ,2) 2

4


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