浙江省温州市十校联合体2014届高三上学期期中联考数学(理)试题

一、选择题:本大题有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={﹣1,0,1},B={x|1≤2 <4},则 A ∩B 等于( A.{0,1} 2.若复数 A.2 B. {1} C. {﹣1,1}
x

) D.{﹣1,0,1} ) D. ﹣1

是纯虚数(i 是虚数单位) ,则 a 的值为( B. -2 C. 1

3.给出命题:已知 a、b 为实数,若 a+b=1,则 ab≤ .在它的逆命题、否命题、逆否命三 个命题中,假命题的个数是( A. 3 B. 2 ) C. 1 D. 0

4.设 x,y 满足约束条件 A. 3
2

? 2 x ? y ? 6 ? 0, ? ? x ? 2 y ? 6 ? 0, ? y ? 0, ?
B. 4

则目标函数 z=x+y 的最大值是 (
[学科



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C. 6
2

D.8 ) } )

5.已知不等式 ax +bx+c> 0 的解集为{x|2<x<4},则不等式 cx +bx+a<0 的解集为( A. {x|x> } B.{x|x } C.{x| } D.{x|x

6.已知两不共线向量 =(cosα,sinα) =(cosβ,sinβ) , ,则下列说法不正确的是( A. | |=| |=1 C. 与 的夹角等于 α﹣β B. ( + )⊥( ﹣ ) D. 与 在 + 方向上的投影相等
0

7. A∈平面α 。AB=5,AC= 2 2 ,若 AB 与α 所成角正弦值为 0.8,AC 与α 成 45 角,则 BC 距离的范围( )

A. ? 5, 29 ?

?

?

B. ? 37, 61 ? C. ? 5, 29 ?

?

?

?

?

D. ? 5, 29 ? ∪ ? 37, 61 ?

?

?

?

?

8.函数 f(x)的图象如图,f′(x)是 f(x)的导函数,则下列数值排列正确的是(



A. 0<f′(1)<f′(2)<f(2)﹣f(1) B. 0<f′(2)<f(2)﹣f(1)<f′(1) C. 0<f′(2)<f′(1)<f(2)﹣f(1) D. 0<f(2)﹣f(1)<f′(1)<f′(2)

2 9.偶函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为减函数,不等式 f ? ax ? 1? ? f 2 ? x 恒成立,则 a 的取值

?

?

范围是( A.

) B. ?2 3, 2

? ?2, 2 3 ?

?

?

C.

? ?2

3, 2 3

?

D.

? ?2, 2?
( )

10. 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 2a ln x(a ? R) ,则下列说法不正确的是 ... A.当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x) 有零点 B.若函数 y ? f ( x) 有零点,则 a ? 2 C.存在 a ? 0 ,函数 y ? f ( x) 有唯一的零点 D.若函数 y ? f ( x) 有唯一的零点,则 a ? 2 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. (1﹣x) (1+x) 的展开式中,含 x 项的系数为 12.程序框图(即算法流程图)如图所示,其输出结果是 13.数列{an}为等差数列,且 a3+a4+a5=9, S7= .
2

6

. .

14. A 为非空集合,B={1,2},f 为 A 到 B 的映射,f:x→x ,集合 A 有多少 种不同情况 15.向量 a、b 是单位正交基底,c=xa+yb,x,y∈R,(a+2b) ?c=-4, (2a-b) ?c=7,则 x+y= 16. y=sin (ωx+?) ω>0 与 y=a 函数图象相交有相邻三点,从左到右为 P、Q、 R,若 PQ=3PR,则 a 的值 17. 若 m ? 。

1 1 ? x ? m ? (其中 m 为整数) ,则称 m 为离实数 x 最近的整数,记作 I[ x ] , 2 2

即 I[ x] ? m .设集合 A ? {( x, y) | f ( x) ? 2 x ? I[ x], x ? R} , B ? {( x, y) | g ( x) ? loga x} ,其 中 0 ? a ? 1 ,若集合 A∩B 的元素恰有三个,则 a 的取值范围为 ▲ .

三、解答题:本大题有 5 小题,共 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (14 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)=Asin(ωx+??) (A>0,ω>0)的一段图象如图 所示. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 g (x)=cos3x,h(x)=f(x)?g(x) ,求函数 h(x)的单调递增区间.

19.(14 分)如图所示,机器人海宝按照以下程序运行 1 ○从 A 出发到达点 B 或 C 或 D,到达点 B、C、D 之一就停止 ② 每次只向右或向下按路线运行 ③在每个路口向 下的概率

1 3

④到达 P 时只向下,到达 Q 点只向右 (1)求海宝过点从 A 经过 M 到点 B 的概率 求海宝过点从 A 经过 N 到点 C 的概率 (2)记海宝到点 B、C、D 的事件分别记为 X=1,X=2,X=3,求随机变量 X 的分布列及期望

20. (14 分)已知数列{an}的通项公式为 an=2n﹣1,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且满足 Tn=1﹣bn (1)求{bn}的通项公式; (2)在{an}中是否存在使得 若不存在,请说明理由. 是{bn}中的项,若存在,请写出满足题意的其中一项;

w.w.w.. c.o. m

21. (15 分) 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 s 轴上,它的一个顶点 到两个焦点的距离分别是 7 和 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。

OP OM

=λ ,求点 M

w.w.w..c.o. m

22.(15 分)已知函数 f(x)=21nx+ax ﹣1 (a∈R) (I)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 a=l,试解答下列两小题. (i)若不等式 f(1+x)+f(1﹣x)<m 对任意的 0<x<l 恒成立,求实数 m 的取值范围; (ii)若 x1,x2 是两个不相等的正数,且以 f(x1)+f(x2)=0,求证:x1+x2>2.

2

2013 学年第一学期十校联合体高三期中联考 理科数学试卷参考答案

18. 解: (1)∵T=4( ∴ω= =3,



)=



∴f(x)=2sin(3x+?) . ∵点( ,2)在图象上, +?)=2,即 sin(?+ (k∈Z) ,即?=2kπ+ ) . )cos3x )cos3x )=1, . (7 分)

∴2sin(3× ∴?+

=2kπ+

故 f(x)=2sin(3x+

(2)h(x)=2sin(3x+ =2(sin3xcos = = +cos3xsin
2

(six3xcos3x+cos 3x) (sin6x+cos6x+1) )+ ≤6x+ . ≤2kπ+ ( k∈Z)得函数 h(x)的单调递增区间为[ (14 分) ﹣ , + ]

=sin(6x+ 由 2kπ﹣ (k∈Z) .

19. 向下概率为

1 1 2 ,则向下概率为 1- = 3 3 3

一、从 A 过 M 到 B,先有两次向下,再有一次向下与一次向右组合其概率为

?1? 1 1 2 4 ? ? ? C2 3 3 81 ? 3?

2

从 A 过 M 到 C,概率为 C2 (2)

1

1 2 1 1 2 16 C2 ? 3 3 3 3 81

(7 分)

1 3 2 1 2 2 1 3? 6 9 ) + C3 ( ) × = = 3 3 3 3 81 81 2 24 2 1 P(X=2)= C4 ( )2( )2= 3 3 81 1 2 24 ? 24 2 2 2 P(X=3)= ( )3+ C3 ( )2 × = 3 3 3 3 81 48 9 24 Ex= + ×2+ ×3 81 81 81 201 67 = = 81 27
P(X=1)=( 20. 解: (1)当 n=1 时,∵b1 =T1=1﹣b1,∴b1= …(2 分) 当 n≥2 时,∵Tn=1﹣bn,∴Tn﹣1=1﹣bn﹣1, 两式相减得:bn=bn﹣1﹣bn,即:b n= bn﹣1…(6 分) 故{bn}为首项和公比均为 的等比数列, ∴bn= …(8 分)

(14 分)

(2)设{an}中第 m 项 am 满足题意,即 所以 m=2
* n﹣1 * *

,即 2m﹣1+25=2

n

﹣12(m∈N ,n∈N ) ,取 n=5,则 m=4,a4=7(其它形如 m=2

n﹣1

﹣12(m∈N ,

*

n∈N )的数均可)…(14 分) 21. (Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a,c ,由已知得

?a ? c ? 1 , 解得a ? 4, c ? 3 , ? ?a ? c ? 7
所以椭圆 C 的标准方程为

w.w.w..c. o.m

x2 y 2 ? ?1 16 7

w.w.w.. c.o. m

(5 分)
2 2

(Ⅱ)设 M ( x, y ) ,其中 x?? ?4, 4? 。由已知

OP OM

? ? 2 及点 P 在椭圆 C 上可得

9 x 2 ? 112 ? ?2 。 2 2 16( x ? y )
整理得 (16? ? 9) x ? 16? y ? 112 , 其中 x?? ?4, 4? 。
2 2 2 2

(7 分)

(i) ? ?

3 时。化简得 9 y 2 ? 112 4

w.w.w. .c. o.m

所以点 M 的轨迹方程为 y ? ? 分) (ii) ? ?

4 7 (9 (?4 ? x ? 4) ,轨迹是两条平行于 x 轴的线段。 3

3 时,方程变形为 4

x2 y2 ? ? 1 ,其中 x?? ?4, 4? 112 112 16? 2 ? 9 16? 2

当0 ? ? ? 的部分。 当 分;

3 时,点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 ?4 ? x ? 4 4
(11 分)

3 ? ? ? 1 时, M 的轨迹为中心在原点、 点 长轴在 x 轴上的椭圆满足 ?4 ? x ? 4 的 部 4
(13 分)

当 ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆;

(15 分)

22. (I)解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,f′(x)= 令 f′(x)>0,∵x>0,∴2ax +2>0 ①当 a≥0 时,f′(x)>0 在(0,+∞)上恒成立,∴f(x)递增区间是(0,+∞) ; ②当 a<0 时,由 2ax +2>0 可得
2 2

<x<

x>0,∴f(x)递增区间是(0,

) ,递减区间为

;(6 分)
2

(Ⅱ) (i)解:设 F(x)=f(1+x)+f(1﹣x)=2ln(1+x)+2ln(1﹣x)+2x ,,则 F’ (x) = ∵0<x<l,∴F′(x)<0 在(0,1)上恒成立,∴F(x)在(0,1)上为减函数 ∴F(x)<F(0)=0,∴m≥0,∴实数 m 的取值范围为[0,+∞) ; (ii)证明:∵f(x1)+f(x2)=0, ∴21nx1+x1 ﹣1+21nx2+x2 ﹣1=0 ∴2lnx1x2+(x1+x2) ﹣2x1x2﹣2=0 ∴(x1+x2) =2x1x2﹣2lnx1x2+2
2 2 2 2

(10 分)

设 t=x1x2,则 t>0,g(t)=2t﹣2lnt+2,∴g′(t)= 令 g′(t)>0,得 t>1,∴g(t)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增 ∴g(t)min=g(1)=4,∴(x1+x2) >4,∴x1+x2>2.
2

(15 分)


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