2016届高三理科数学试题(40)

2016 届高三理科数学试题(40) 第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. (1).i 是虚数单位,复数 的虚部为( ) C.1 ) (C) ? ) . D.?x ? R,3x ? 0 D.﹣2

A. 2 B.﹣1 (2)sin70° cos10° +cos110° sin10° =( (A) ?

3 2

(B)

3 2

1 2

(D)

1 2

(3) 下列命题中的假命题是( A.?x ? R, log 2 x ? 0

B.?x ? R, x 2 ? 0 C.?x ? R, tan x ? 0

(4) 将甲,乙等 5 位同学分别保送到北京大学,上海交通大学,中山大学这 3 所大学就 读,则每所大学至少保送 1 人的不同保送方法数为( (A)150 (5) 已知抛物线 y ? (B)180 (C)240 )种。 (D)540

1 2 y2 x 与双曲线 2 ? x 2 ? 1(a ? 0) 有共同的焦点 F , O 为坐标原 8 a

点, P 在 x 轴上方且在双曲线上,则 OP ? FP 的最小值为( (A) 3 ? 2 3 (B) 2 3 ? 3 (C) ?

??? ? ??? ?

) . (D)

7 4

3 4

(6)为了迎接 2015 年省运会,在湛江体育中心门口安装 5 个彩灯,它们闪亮的顺序不固 定,每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这 5 个彩灯所闪亮的 颜色各不相同.记这 5 个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁,在每个闪烁中,每秒钟有且仅 有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒。如果要实现所有不同的闪烁,那 么需要的时间至少是( A、 1205 秒 ) C.1195 秒 D.1190 秒

B.1200 秒

0 (7) 如图,已知 | OA |? 1,| OB |? 3, OA ? OB ? 0 ,点 C 在线段 AB 上,且 ?AOC ? 30 ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

设 OC ? mOA ? nOB ? m, n ? R ? ,则 A.

??? ?

??? ?

??? ?

m 等于( n
D. 3



1 3

B.3

C.

3 3

1

(8)函数 f ( x) ? sin (A) 3?

2 2 x ? cos x 的图象中相邻的两条对称轴间距离为( 3 3 4 3 7 (B) ? (C) ? (D) ? 3 2 6

) .

开 始 输入 a, b a≠b 否

(9)右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图, 若输入 a , b 分别为 14,18,则输出的 a ? ( A.0 B.2 C.4 D.14 ) 是 a>b 是



输出 a 结 束 ( )

a=a-b
(10) ( x ? 2)(
2

b=b-a

A. ? 3

1 ? 1)5 的展开式的常数项是 x2 B. ? 2 C. ?

D. ?

(11) 某四面体的三视图如图所示,正视图、俯视图都是腰长 为 2 的等腰直角三角形,左视图是边长为 2 的正方形,则此
正视图

四面体的四个面中面积最大的为( A. 2 2 C. 2 3 B. 4 D. 2 6

)

左视图

俯视图

2 (12) 设函数 f ( x) 在 R 上存在导数 f ?( x) ,?x ? R , 有 f (? x) ? f ( x) ? x , 在 (0,??) 上

f ?( x) ? x ,若 f (6 ? m) ? f (m) ? 18 ? 6m ? 0 ,则实数 m 的取值范围为(
A. [?3,3] B. [3, ??) C. [2, ??)



D. (??, ?2] ? [2, ??)

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 (22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分 (13) 过抛物线 C : x ? 2 y 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A, B 两点,若抛物线 C 在点
2

B 处的切线斜率为 1,则线段 AF ?
(14) 变量 x 、 y 满足条件 ?



?x ? y ? 1 ? 0 2 ,则 ( x ? 2) ?y ? 1 ? x ? ?1 ?

? y 2 的最小值为
5 , 13

(15) ? ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b , c , 且 a , b , c 成等比数列, 若 sin B =

cos B =

12 ,则 a ? c 的值为 ac



(16)f ( x) 是定义在 R 上的函数, 且 f ( x ? 3) ? f ( x) ? 3 ,f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2 ,f (0) ? 0 ,
2

则 f (2016) ?



三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. ( 本 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A、B、C 的 对 边 分 别 是 a、b、c 满 足

b2 ? c2 ? b c? a .2 (1)求角 A 的大小;
(2)若等差数列 {an } 的公差不为零,且 a1 cos A ? 1 ,且 a 2、a 4、a8 成等比数列, 求?

?

4 ? ? 的前 n 项和 S n . ? a n a n ?1 ?
B

C

C1

B1
O

18.(本小题满分 12 分) 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 ABB1 A1 为矩形, AB ? 2 ,

D AA1 ? 2 2 , D 是 AA1 的中点, BD 与 AB1 交于点 O ,且 CO ? 平面 ABB1 A1 . (1)证明: BC ? AB1 ; (2)若 OC ? OA ,求直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值.

A

A1

(19)(本题满分 12 分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生成 绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本(样本容量 为 n )进行统计.按照 [50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100] 的分组作出频率 分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在 [50,60) ,[90,100] 的数据) .

(Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中 x , y 的值;

(Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽 取 3 名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动, 设 ? 表示所抽取的 3 名 同学中得分在 [80,90) 的学生个数,求 ? 的分布列及其数学期望.
(20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的上顶点为 A ,直线 l : y ? kx ? m 交 4 2

、 Q 两点,设直线 AP、 AQ 的斜率分别为 k1、 椭圆于 P k2 .

3

(1)若 m ? 0 时,求 k1 ? k2 的值; (2)若 k1 ? k2 ? ?1 时,证明直线 l : y ? kx ? m 过定点.

(21) (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? ?a ? x ln b(a ? 0, b ? 0) , (1)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求 h( x) 的单调区间; (2)若存在 x 0 ,使 x0 ?[

b a ? b 3a ? b , ] ,且 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 的取值范围. a 4 5

(22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点) ,再作割线 PBC 依 次交圆于 B,C.若 PA=6,AC=8,BC=9,求 AB 的长. (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知半圆 C 的参数方程为 ?

? x ? cos ? ? y ? 1 ? sin ?

? 为参数, ? ? ? ??

, . ? 2 2? ?

? ??

(1)在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求 半圆 C 的极坐标方程; (2)在(1)的条件下,设 T 是半圆 C 上的一点,且 OT= 3 ,试写出 T 点的极坐标. (24). (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-1|+|x-a|. (1)当 a=2 时,解不等式 f(x)≥4; (2)若不等式 f(x)≥a 恒成立,求实数 a 的取值范围.

4

参考答案
第Ⅰ卷 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。 1. B 2. B 3. B 4. A 5. A 6. C 7. B 8. C 9. B 10.D 11.C 12.B 12 、 解:令 g ( x) ? f ( x) ? 数 g ( x) 为奇函数 ∵ x ? (0 ,

1 2 1 1 x ,? g (? x) ? g ( x) ? f (? x) ? x 2 ? f ( x) ? x 2 ? 0 ∴函 2 2 2

? ?) 时, g / ( x) ? f / ( x) ? x ? 0 ,函数 g ( x) 在 x ? (0 , ? ?) 为减函数

又由题可知, f (0) ? 0 ,

g (0) ? 0 ,所以函数 g ( x) 在 R 上为减函数

1 1 f (6 ? m) ? f (m) ? 18 ? 6m ? g (6 ? m) ? (6 ? m) 2 ? g ( m) ? m 2 ? 18 ? 6m ? 0 2 2


g (6 ? m) ? g (m) ? 0 ∴ g (6 ? m) ? g (m) ,∴ 6 ? m ? m , ? m ? 3

二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分 13. 1 14. 5 15. 3 7 16. 2016

16. f (2016) ? f (2013) ? 3 ? f (2010) ? 6 ? ?? ? f (0) ? 2016 ? 2016

f (2016) ? f (2014) ? 2 ? f (2012) ? 4 ? ?? ? f (0) ? 2016 ? 2016 ? f (2016) ? 2016
三、解答题 17、 【解】(1)∵ b2 ? c2 ? a 2 ? bc , ∴ cos A ? ∴

b 2 ? c 2 ? a 2 bc 1 ? ? . 2bc 2bc 2

…………1 分

1 . 2

又 A ? (0, ? )

∴A?

?
3

.

………4 分 …………5 分 …………6 分 …………7 分

(2)设 {an } 的公差为 d , 由已知得 a1 ?
2 2

1 ? 2, cos A

a8 .∴ (a1 ? 3d ) ? (a1 ? d )(a1 ? 7d ) . 且 a4 ? a2 ?
又d ? 0, ∴d ? 2. ∴ an ? 2n .



4 1 1 1 ? ? ? . an an?1 n(n ? 1) n n ? 1
1 2 1 ? 1? ? n ?1 1 1 2 3 n n ?1 1 1 3 4 1 n 1 ) n ?1

…………9 分

∴ S n ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ?

…………10 分 …………12 分

5

18、 【解】(1)由题意 tan ?ABD ?

AD 2 AB 2 , tan ?AB1 B ? ,…………1 分 ? ? AB 2 BB1 2
?AB1 B ?



0 ? ?ABD



?
2

??ABD ? ?AB1 B



??AB1 B ? ?BAB1 ? ?ABD ? ?BAB1 ?
? ?AOB ?

?
2

, …………3 分 …………4 分

?
2

,? AB1 ? BD .

又 CO ? 平面ABB1 A1 ,? AB1 ? 平面ABB1 A 1 ? AB1 ? CO ,

? BD ? CO ? O , CO, BD ? 平面CBD ? AB1 ? 平面CBD ,……5 分
又 BC ? 平面CBD ,? AB1 ? BC . ………6 分

(2)如图,分别以 OD, OB1 , OC 所在直线为 x, y, z 轴,以 O 为坐标原点,建立如图所示的 空间直角坐标系 O ? xyz , …………7 分

则 A(0, ?

2 3 2 6 2 3 6 , 0), B(? , 0, 0) , C (0, 0, ), D( , 0, 0) , 3 3 3 3

…………8 分

??? ? ???? ? 2 6 2 3 2 3 2 3 ??? 6 2 3 AB ? (? , , 0), AC ? (0, , ), CD ? ( , 0, ? ), 3 3 3 3 3 3
设平面 ABC 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,

?

? 2 6 2 3 ? ??? ? x? y?0 ?? ì n ? AB = 0 ? ? 3 3 则 í ? ???? ,即 ? , ? n ? AC = 0 2 3 2 3 ? ? y? z?0 ? 3 ? 3
令 y ? 1 ,则 z ? ?1 , x ?

? 2 2 ,所以 n ? ( ,1, ?1) . 2 2

……10 分

设直线 CD 与平面 ABC 所成角为 ? ,则

6 2 3 2 ??? ? ? ( , 0, ? )?( ,1, ?1) ??? ? CD ? n 3 3 2 ??? ? ? sin ? ? cos CD, n ? ? | CD | ? | n | 10 2? 2
6 2 2 3 ? ? 0 ? (? ) ? (?1) 15 3 2 3 ? ? , 5 5
6

…………11 分

所以直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值为 19、 【解】 (Ⅰ)由题意可知,样本容量 n ?

15 . 5

……………………12 分

2 8 ? 0.004 , ? 50 , y ? 50 ? 10 0.016 ? 10 …………3 分 x ? 0.100 ? 0.004 ? 0.010 ? 0.016 ? 0.040 ? 0.030 .

(Ⅱ)由题意可知,分数在 [80,90) 有 5 人,分数在 [90,100] 有 2 人,共 7 人.……4 分 抽取的 3 名同学中得分在 [80,90) 的学生个数 的可能取值为 ,…………5 分
1 C52C2 20 4 ? ? 3 C7 35 7



p(? ? 1) ?

1 2 C5 C2 5 1 ? ? 3 C7 35 7



p(? ? 2) ?



p(? ? 3 )?

3 C5 10 2 ? ? . ………8 分 3 C7 3 5 7

所以, 的分布列为

?

1

2

3 …………10 分 …………12 分

4 2 7 7 1 4 2 15 所以, E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 7 7 7 7
20.【解析】 (1)当 m ? 0 时,直线 l : y ? kx ? m 代入椭圆 C :

1 7

x2 y 2 ? ? 1 的方程, 4 2

得到 x ? 2k x ? 4 ,解得 P ? ?
2 2 2

? ?

2 1 ? 2k 2

,?

? ? 2 2k ,Q? , ? 1 ? 2k 2 ? ? 1 ? 2 k 2 1 ? 2 k 2 2k

? ? ……4 分 ?

?
所以 k1 ?

? 2 2k ? 2 ? 1 ? 2 k 2 1 ? 2k 2 ? , 2 2 ? 1 ? 2k 2
? 2

2k

2k
2 k 2 ? 1 ? 2k 2

4k 2 ? 2 ?1 ? 2k 2 ? 2k ? 2 ? 1 ? 2k 2 1 ? . 所以 k1 ? k2 ? ………6 ?? . 2 4 2

1 ? 2k 2
分 (2)设 P ? x1 , y1 ?,Q ?x 2 ,y 2 ? ,将直线 l : y ? kx ? m 代入椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的方程,并整 4 2

7

2 2 2 理得到 1 ? 2k x ? 4kmx ? 2m ? 4 ? 0 ,

?

?

…………8 分

则 ? ? 0 且 x1 ? x2 ? ?

4km 2m 2 ? 4 , x ? x ? . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
…………10 分

由 k1 ? k2 ? ?1 知,

y1 ? 2 y2 ? 2 ? ? ?1 , x1 x2

即 y1 y2 ? 2 ? y1 ? y2 ? ? 2 ? x1 x2 ? 0 ,

? kx1 ? m?? kx2 ? m? ?

2 ? kx1 ? m ? kx2 ? m ? ? x1x2 ? 2 ? 0

k 2 x1 x2 ? mk ? k1 ? k2 ? ? m2 ? 2k ? x1 ? x2 ? ? 2 2m ? x1x2 ? 2 ? 0 ,

?k
?k

2

? 1?

2m2 ? 4 ? 4km ? ? k m? 2 ?? ? m2 ? 2 2m ? 2 ? 0 , 2 2 ? 1 ? 2k 1 ? 2 k ? ?

?

?

2

? 1?? 2m2 ? 4 ? ? k m ? 2 ? ?4km ? ? m2 ? 2 2m ? 2 ?1 ? 2k 2 ? ? 0
2

?

?

?

?

所以, 3m ? 2 2m ? 2 ? 0 ,所以 m ? 2 (舍)或 m ? ?

2 ,……………11 分 3

所以直线 l 过定点 ? 0, ?

? ? ?

2? ? . ………………………12 分 3 ? ?

21【解析】(Ⅰ) h( x) ? f ( x) ? g ( x) = x ln x ? x ln b ? a(a ? 0,b ? 0) , ∴ h?( x) ? ln x ? 1 ? ln b , 由 h?( x) ? 0 解得 x ? ∴ 函数 h( x) 的单增区间是 (

1 1 ,由 h?( x) ? 0 解得 0 ? x ? , be be

1 1 , ? ?) ,函数 h( x) 的单减区间是 (0 , ) .……4 分 be be
x0 ? a ≤0. b

(Ⅱ)由 f ( x0 ) ≤ g ( x0 ) 可变为 x0 ln 令 p( x) ? x ln ? a , x ?[ 由 p?( x) ? 0 可得 x ?

x b

a ? b 3a ? b x , ] ,则 p?( x) ? ln ? 1 . 4 5 b

b b ,由 p?( x) ? 0 可得 0 ? x ? , e e

所以 p( x) 在 (0 , ) 单调递减,在 ( , ? ?) 单调递增.………………5 分 根据题设知: ①若

b e

b e

a ? b 3a ? b b ,可解得 ? (0 , 7) . …………6 分 ? a 4 5

3a ? b b b 3e ≤ ,即 ?[ , 7) 时, e 5 a 5?e
8

∵ p ( x) 在 [

3a ? b 3a ? b 3a ? b a ? b 3a ? b )? ln ? a ≤0, , ] 单调递减,∴ p( x)min ? p( 5 5 5b 4 5
≤0 对

b a? 5 即 ln b b 5? 3? a a 3?

b 3e ?[ , 7) 恒 成 立 . 令 t ? a 5?e

b 3e ?[ , 7) , a 5?e

q(t ) ? ln

8t ? 9 3?t 5 3e ? 0 , 即 q (t ) 在 [ ≤0 , 则 q?(t ) ? ? ? , 7) 上 是 减 函 数 ; 则 2 t (t ? 3) 5?e 5t 3?t

q(t )max ? q(

3e 2?e )? ? 0, 5?e 5

b 3? b 3e a ? 5 ≤0 成立.………………8 分 所以对任意 ?[ , 7) , ln b b a 5?e 5 3? a a
②当

a ? b b 3a ? b b e 3e ,即 ? ( ? ? , ) 时, a 4?e 5?e 4 e 5

当且仅当 p( x)min ? p( ) ? ③当

b e

b 1 b b 3e ln ? a ≤0,即 ≥e,此时 ?[e , ) .……10 分 a a 5?e e e

a?b b b e ≥ 时, 即 ? (0 , ) 时, e 4 a 4?e

∵ p ( x) 在 [ 令t ?

a?b a?b a?b a ? b 3a ? b )? ln ? a ≤0, , ] 上单调递减,∴ p( x)min ? p( 4 4 4 4 5

1? t 4 b e ≤0 恒成立. ? ? (0 , ) ,即 ? (t ) ? ln 4t 1 ? t a 4?e
5t ? 1 e ? 0 ,所以 ? (t ) 在 (0 , ) 上是减函数, 2 t (t ? 1) 4?e

因为 ? ?(t ) ? ?

故存在无数个 t0 ? (0 ,

e ) ,使得 ? (t0 ) ? 0 , 4?e

如取 t0 ? 1,? (1) ? ln ? 2 ? 0 与 ? (t ) ≤0 恒成立矛盾,此时不成立. 综上所述,

1 2

b 7) .……………12 分 的取值范围是 [e , a
解 析 】 由 题 意

22





?PAB ? ?C,?APB ? ?CPA,



? PAB∽? PCA, ∴

PA PB AB = ? PC PA C A



PA ? 6,AC ? 8,BC ? 9, ∴

6 PB AB ? ? , PB ? 9 6 8 ∴ PB ? 3,AB ? 4, .

9

23. 【解析】 (1)根据半圆 C 的参数方程 ?
2 普通方程: x ? ? y ? 1? ? 1? 0 ? x ? 1? , 2

? x ? cos ? ? ? ?? ? 为参数, ? ? ? ? , ? ,得圆的 ? 2 2? ? y ? 1 ? sin ?
………3 分

所以,半圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? ,? ? ?0,

? ?? . ? 2? ?

………5 分

(2)依题意可知半圆 C 的直径为 2,设半圆 C 的直径为 OA , 所以 sin ?TAO ?

3 , 2

………8 分

因为 ?TAO ? ?0,

? ? ? ?? ,所以 ?TAO ? ,因为 ?TAO ? ?TAX ,所以 ?TAX ? , ? 3 3 ? 2?
? ?

所以点 T 的极坐标为 ? 3,

??

?. 3?

……………10 分

24. 【解析】 (1)当 a ? 2 时,由 f ? x ? ? 4 得, x ?1 ? x ? 2 ? 4 ,

? x ?1 ?1 ? x ? 2 ? x ? 2 或? 或? ? ?3 ? 2 x ? 4 ? 1 ? 4 ?2 x ? 3 ? 4
原不等式的解集为 ? x x ? ? , 或 x ?

解得: x ? ?

1 7 ,或 x ? .… 4 分 2 2

? ?

1 2

7? ? . ………………………5 分 2?

(2)由不等式的性质得: f ? x ? ? a ?1 , 要使不等式 f ( x) ? a 恒成立,则只要 a ? 1 ? a ,……………………8 分 解得: a ?

1 1? ? ,所以实数 a 的取值范围为 ? ? ?, ? 2 2? ?

…10 分

10


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