高中数学人教A版选修2-1椭圆题型总结.docx

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椭圆题型总结

一、 椭圆的定义和方程问题 定义:PA+PB=2a>2c

1. 命题甲:动点 P 到两点 A, B 的距离之和 PA ? PB ? 2a(a ? 0,常数); 命题乙: P 的轨

迹是以 A、B 为焦点的椭圆,则命题甲是命题乙的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2. 已知 F1、 F2 是两个定点,且 F1F2 ? 4 ,若动点 P 满足 PF1 ? PF2 ? 4 则动点 P 的轨迹
是( ) A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段
3. 已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q ,使得 PQ ? PF2 ,那么动点 Q 的轨迹是( )
A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点
4. 已知 F1、 F2 是平面? 内的定点,并且 F1F2 ? 2c(c ? 0) , M 是? 内的动点,且 MF1 ? MF2 ? 2a ,判断动点 M 的轨迹.

5.

椭圆 x 2 25

?

y2 9

? 1上一点 M

到焦点 F1 的距离为 2,N

为 MF1 的中点,O 是椭圆的中心,

则 ON 的值是



标准方程求参数范围

1.若方程 x2 ? y2 ? 1 表示椭圆,求 k 的范围.(3,4)U(4,5) 5?k k ?3

1. “m ? n ? 0”是“方程 mx 2 ? ny2 ? 1表示焦点在 y轴上的椭圆”的 ( )

A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

2. 已知方程

x2

y2 ?

? 1 表示焦点在 Y 轴上的椭圆,则实数 m 的范围是

.

5 ? 2m m ?1

3. 已知方程 x2 ? ky2 ? 2 表示焦点在 Y 轴上的椭圆,则实数 k 的范围是

.

4. 方程 x ? 1? 3y2 所表示的曲线是

.

5. 已知椭圆 mx 2 ? 3y2 ? 6m ? 0 的一个焦点为 (0,2) ,求 m 的值。

6. 已知方程 x2 ? ky2 ? 2 表示焦点在 X 轴上的椭圆,则实数 k 的范围是

.

待定系数法求椭圆的标准方程
1. 根据下列条件求椭圆的标准方程: (1 两个焦点的坐标分别为(0,5)和(0,-5),椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 26; (2)长轴是短轴的 2 倍,且过点(2,-6);

(3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 P1( 6,1), P2 (? 3,? 2) ,求
椭圆方程.

2. 以 F1(?2,0) 和 F2 (2,0) 为焦点的椭圆经过点 A(0,2) 点,则该椭圆的方为



3. 如果椭圆: 4x2 ? y 2 ? k 上两点间的最大距离为 8,则 k 的值为



4. 已知中心在原点的椭圆 C 的两个焦点和椭圆 C2 : 4x2 ? 9 y 2 ? 36 的两个焦点一个正方
形的四个顶点,且椭圆 C 过点 A(2,-3),求椭圆 C 的方程。

5. 已知 P 点在坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离为 4 5 和 2 5 ,过点 P 33
作长轴的垂线恰过椭圆的一个焦点,求椭圆方程。 6. 求适合下列条件的椭圆的标准方程

1.长轴长是短轴长的 2 倍,且过点 (2,?6) ; 2.在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为 6. 与椭圆相关的轨迹方程 1. 已知动圆 P 过定点 A(?3,0) ,并且在定圆 B : (x ? 3)2 ? y2 ? 64 的内部与其相内切,求
动圆圆心 P 的轨迹方程. 2. 一动圆与定圆 x2 ? y2 ? 4 y ? 32 ? 0 内切且过定点 A(0,2) ,求动圆圆心 P 的轨迹方程.

3. 已知圆 C1 : (x ? 3)2 ? y2 ? 4 ,圆 C2 : (x ? 3)2 ? y2 ? 100 ,动圆 P 与 C1 外切,与 C2 内切,

求动圆圆心 P 的轨迹方程.

4. 已知 A(? 1 ,0) ,B 是圆 F : (x ? 1)2 ? y2 ? 4( F 为圆心)上一动点,线段 AB 的垂直平

2

2

分线交 BF 于 P ,则动点 P 的轨迹方程为

5. 已知 ?ABC三边 AB 、BC 、AC 的长成等差数列,且 AB ? CA, 点 B 、C 的坐标 (?1,0) 、

(1,0) ,求点 A 的轨迹方程. 6. 一条线段 AB 的长为 2a ,两端点分别在 x 轴、 y 轴上滑动 ,点 M 在线段 AB 上,且
AM : MB ? 1: 2 ,求点 M 的轨迹方程.

7. 已知椭圆的焦点坐标是 (0,?5 2) ,直线 l : 3x ? y ? 2 ? 0 被椭圆截得线段中点的横坐标

为 1 ,求椭圆方程. 2
8. 若 ?ABC的两个顶点坐标分别是 B(0,6) 和 C(0,?6) ,另两边 AB 、 AC 的斜率的乘积

是 ? 4 ,顶点 A 的轨迹方程为



9

9.

P 是椭圆 x2 a2

?

y2 b2

? 1 上的任意一点, F1 、 F2 是它的两个焦点, O 为坐标原点,,求

动点 的轨迹方程。

10. 已知圆 x2 ? y 2 ? 9 ,从这个圆上任意一点 P 向 x 轴引垂线段 PP' ,垂足为 P' ,点 M

在 PP' 上,并且,求点的轨迹。

11. 已知圆 x2 ? y 2 ? 1,从这个圆上任意一点向轴引垂线段,则线段的中点的轨迹方程





12. 已知,

,的周长为 6,则的顶点 C 的轨迹方程是 。

13.

已知椭圆 x 2 52

?

y2 42

? 1,A、B 分别是长轴的左右两个端点,P 为椭圆上一个动点,求 AP

中点的轨迹方程。

焦点三角形 4a

1.

已知

F1



F2

为椭圆

x2 25

?

y2 9

? 1的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A 、 B 两点。若

F2 A ? F2B ?12,则 AB ?



2.

已知 F1 、 F2 为椭圆

x2 25

?

y2 9

? 1的两个焦点,过 F2 且斜率不为 0 的直线交椭圆于

A、

B 两点,则 ?ABF1 的周长是



3. 已知 ?ABC 的顶点 B 、C 在椭圆 x2 ? y 2 ? 1上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的 3

另外一个焦点在 BC 边上,则 ?ABC 的周长为



焦点三角形的面积:

1 设M

是椭圆 x 2 25

y2 ?
16

? 1上的一点,F1 、F2 为焦点,?F1MF2

?

? 6

,求 ?F1MF2 的面积。

1.

已知点

P

是椭圆

x2 4

?

y2

? 1上的一点, F1 、 F2

为焦点, PF1

? PF2

? 0 ,求点 P



x

轴的距离。

2.

已知点 P 是椭圆 x 2 ? y 2 25 9

? 1上的一点,F1 、F2 为焦点,若

PF1 ? PF2 PF1 ? PF2

?

1 2

,则

?PF1F2

的面积为



3.

椭圆

x2 4

?

y2

? 1的两个焦点为

F1 、

F2

,过

F1 作垂直于

x

轴的直线与椭圆相交,一个

交点为 P ,则 PF2 ?



4. 已知 AB 为经过椭圆的中心的弦,





焦点三角形

为椭圆的右焦点,则的面积的最大值

设椭圆 x2 9

?

y2 4

? 1的两焦点分别为 F1 和 F2 , P 为椭圆上一点,求

PF1

?

PF2

的最大值,

并求此时 P 点的坐标。

1.

椭圆 x 2 9

?

y2 2

? 1的焦点为 F1 、F2 ,点 P 在椭圆上,若

PF1

? 4 ,则

PF2

?



?F1PF2 ?



2.

椭圆

x2 9

?

y2 4

? 1的焦点为 F1 、 F2 , P 为其上一动点,当 ?F1PF2 为钝角时,点 P 的

横坐标的取值范围为



3.

P 为椭圆 x 2 25

?

y2 16

? 1上一点, F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点。(1)若 PF1 的中点

是 M ,求证:

MO

? 5? 1 2

PF1

;(2)若 ?F1PF2

? 60? ,求

PF1

?

PF2

的值。

椭圆的简单几何性质

1. 求下列椭圆的标准方程

(1) c ? 8,e ? 2 ; (2) e ? 5 ,一条准线方程为 x ? 3 。

3

3

2. 椭圆过(3,0)点,离心率为 e ? 6 ,求椭圆的标准方程。 3
3. 椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为 5,焦点到椭圆中心的距离为 3,则椭圆的标

准方程为?

4. 椭圆的对称轴为坐标轴,离心率为 2 ,两准线间的距离为 4,则此椭圆的方程为? 2
5. 根据下列条件,写出椭圆的标准方程:
(1) 椭圆的焦点为 F1 (?1,0) 、 F2 (1,0) ,其中一条准线方程是 x ? ?4 ;

(2) 椭 圆 的 中 心 在 原 点 , 焦 点 在 y 轴 上 , 焦 距 为 4 3 , 并 且 椭 圆 和 直 线

2 7x ? 3y ?16 ? 0 恰有一个公共点; (3) 椭圆的对称轴为坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到

椭圆的最近距离是 3 。

6. 已知椭圆 x 2 ? y 2 a2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,离心率为

2 ,右准线 2

方程为 x ? 2。求椭圆的方程。

求离心率

1.

过椭圆 x 2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,

若 ?F1PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为( )

2.

在平面直角坐标系中,椭圆 x 2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2,以 O 圆心,a 为半径

作圆,过点 ( a 2 ,0) 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e =



c

3. 若椭圆的两个焦点把长轴分成三等份,则椭圆的离心率为?

4. 椭圆的短轴为 AB,它的一个焦点为 F1,则满足 ?ABF1 为等边三角形的椭圆的离心率
是?

5.

设椭圆 x 2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F1 ,右准线为 l1 ,若过 F1 且垂直于 x 轴的

弦的长等于点 F1 到 l1 的距离,则椭圆的离心率是



6.

已知点

A(0,

b)



B

为椭圆

x a

2 2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的左准线与 x 轴的交点,若线段 AB

的中点 C 在椭圆上,则该椭圆的离心率为



(一) 椭圆系

x2 ? y 2 ? 1 x2 ? y2 ? 1(0 ? k ? 9)

1.

25 9

9 ? k 25 ? k

椭圆



的关系为( )

A.相同的焦点 B。有相同的准线 C。有相等的长、短轴 D。有相等的焦距

二、 直线和椭圆的位置关系

(一)判断位置关系

1. 当 m 为何值时,直线 l : y ? x ? m 和椭圆 9x2 ?16 y2 ? 144 (1)相交;(2)相切;(3)相离。

2. 若直线 y ? kx? 2 与椭圆 2x2 ? 3y 2 ? 6 有两个公共点,则实数 k 的取值范围为



(二)弦长问题
已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆的右焦点,交椭圆于 A、B 两点, 求 AB 的弦长

.

3.

设椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 的左右两个焦点分别为 F1 、 F2

,过右焦点 F2

且与 x

轴垂直的直线 l 与椭圆 C 相交,其中一个交点为 M ( 2,1) 。

(1)

求椭圆的方程;

(2)

设椭圆 C 的一个顶点为 B(0,-b),直线 BF2 交椭圆 C 于另一点 N,

求 ?F1BN 的面积。

(三)点差法

1. 已知一直线与椭圆 4x2 ? 9 y 2 ? 36 相交于 A 、 B 两点,弦 AB 的中点坐标为 (1,1) ,求
直线 AB 的方程. 2. 椭圆 C 以坐标轴为对称轴,并与直线 l:x+2y=7 相交于 P、Q 两点,点 R 的坐标为(2,5),
若 ?PQR 为等腰三角形, ?PQR ? 90? ,求椭圆 C 的方程。
3.
(四)向量结合

1.
(五)对称问题

C : x2 ? y2 ?1 1. 已知椭圆 4 3 ,试确定 m 的取值范围,使得椭圆上有两个不同的点关于直

y ? 4x ? m

线

对称。

2.


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