2016山西信息职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)


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2016 山西信息职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的). 1、设集合 M ? ?x | x( x ? 1) ? 0? ,N= x | x 2 ? 4 ,则( A、 M ? N ? ? 2、化简 B、 M ? N ? M ). B、 1 ? 2i C、 1 ? 2i ). C、11 D、10 D、 ? 1 ? 2i

?

?

). D、 M ? N ? R

C、 M ? N ? M

i?3 =( 1? i
A、 ? 1 ? 2i

3、等差数列 ?an ? 中,a3 ? 7, a9 ? 19, 则a5为( A、13 B、12

4、原命题:“设 a、b、c ? R, 若a ? b, 则ac2 >bc 2 ”以及它的逆命题,否命题、逆 否命题中,真命题共有( A、0
??

)个. B、1 C、2
?? ??

D、4 )

b ? (    ,    cos x)   , 且 a // b ,则锐角 ? 为( 5、设 a ? (sin x, ),  
A、

3 4

??

1 1 3 2

? 6

B、

? 4

C、

? 3

D、 )

5 ? 12

开始

6、如图 1,该程序运行后输出的结果为( A、1 B、2 C、4

D、16

a ? 1, b ? 1

a ? 3?



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输出 b

b ? 2b

结束

a ? a ?1

(图 1)

7、一个正方体的体积是 8,则这个正方体的内切球的表面积是( A、 8? B、 6? C、 4? D、 ?



8、若焦点在 x 轴上的椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 m=( 2 2 m
C、

).

A、

3 2

B、 3

8 3

D、

2 3


9、不等式组 ?

?( x ? y ? 1)(x ? y ? 1) ? 0 所表示的平面区域是( ?? 1 ? x ? 2
B、一个梯形 C、直角三角形

A、一个三角形 三角形

D、等腰直角

,  f ( x) ? x 2 ? a x ,当x ? (?1  ,1     )时均有 f ( x) ? 10、已知 a ? 0且a ? 1 
取值范围是( )

1   ,  则实数 a  的 2

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A、 ? 0 , ? ? ?2, ? ??

? ?

1? 2?

B、 ?   ,1   ,  4? ? ? ?1 

?1 ?4

? ?

C、 ?   ,1     2? ? ? ?1 ,

?1 ?2

? ?

D、

? 1? ,  ? ? ?4, ? ?? ? 0  ? 4?
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11、函数 y ? ln x ? 1( x ? 0) 的反函数为

12、定义运算 a ? b ? a 2 ? ab ? b 2 , 则 sin

?
6

? cos

?
6

?

13、设 m、n 是两条不同的直线, ?、? 是两个不同的平面,下面给出四个命题; ①若 m // ? ,   n // ?且? // ?  ,  则m // n ; ②若 m ? ? ,   n ? ?且? ? ?  ,  则m ? n ③若 m ? ? ,   n // ?且? // ?  ,  则m ? n ④若 ? ? ? ,   ? ? ? ? m且n ? m  ,  则n ? ? 其中真命题的序号是 ▲选做题:在下面两道题中选做一题,两道题都选的只计算前一题的得分。

(  2  ,  3  ) 的直线的参数方程 ? 14、过点 A 

?x ? 2 ? t ,若此直线与直线   (t为参数) ? y ? 3 ? 2t

x ? y ? 3 ? 0 相交于点 B,则|AB|=
15、如图 2,∠1=∠B,AD=5cm, AB=10cm,则 AC 的长度 为

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(图 2)

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 16、(本题满分 12 分) 将 A、B 枚骰子各抛掷一次,观察向上的点数,问: (1)共有多少种不同的结果? (2)两枚骰子点数之和是 3 的倍数的结果有多少种? (3)两枚骰子点数之和是 3 的倍数的概率为多少?

17、(本题满分 12 分)
?? ?? ?? ??

b ? (  cos x ? sin x,?2 sin x)   , 且f ( x) ? a ? b   . 已知 a ? (cos x ? sin x, sin x),  
(1)求 f ( x) 的解析式,并用 f ( x) ? A sin(wx ? ? ) 的形式表示; (2)求方程 f ( x) =1 的解.

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18、(本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x . 3

(1)求函数的单调区间. (2)求函数 f ( x) 的极值.

19、(本题满分 14 分) 设数列 ?an ? ?Sn ?是以c(c ? 0) 为公比的等比数列. 的前n项和为S n , a1 ? 1, 且数列 (1)求数列 an 的通项公式; (2)求 a2 ? a4 ? ?? a2n .

? ?

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20、(本题满分 14 分)如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别是

BB1 、CD 的中点.
(1)证明: AD ? D1 F ; (2)求 AE与D1F 所成的角; (3)证明:面 AED ? 面A1FD1 ; (4)设 AA1=2 ,求三棱维 E-AA1F的体积VE-AA1F

21、(本题满分 14 分)已知O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),

OM ? t1 OA? t 2 AB

??

??

??

.

(1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当 t1 ? 1 时,不论 t 2为何实数, A、B、M三点都共线; (3)若 t1 ? a 2 , 求当OM ? AB 且 ?ABM的面积为12时a的值.
?? ??

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参考答案
一.选择题
题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 C 5 B 6 D 7 C 8 A 9 D 10 C

1 、由 x( x ? 1) ? 0 得   0 ? x ? 1;   由x 2 ? 4 得 ? 2 ? x ? 2 ∴ M ? N ? M ,   选B 2、

i ? 3 (i ? 3)(1 ? i) ? 2 ? 4i ? ? ? ?1 ? 2i, 选A 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2
∴ a6 ? 13 由a6 ? a3 ? 3d 得d ? 2

3、 a3 ? a9 ? 7 ? 19 ? 26 ? 2a6 , ∴ a 5 ? 11 选C

4、考虑 C=0 的情形,只有逆命题和逆否命题正确,选 C 5、∵ a // b
?? ??

∴ sin ? cos ? ?

1 2

3 1 ? ?    sin 2? ? 1,    ? ? 4 3 4

选B

时,b ? 21 =2;当 a ? 2 时,b ? 2 2 ? 4;  当a ? 3 时,b ? 2 4= 6、 当a ? 1 16
选D 7、设正方体的内切球的半径为 r ,由正方体的体积是 8,知其棱长是 2,得 r =1

 故S球 ? 4? r 2 =4 ? .选 C

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8、 e ?

2?m 2

?

1 3  解得m ? ,  选A 2 2

9、(略) 10、 x 2 ? a x ?
1 1 即 x 2 ? a x ? 恒成立,由数形结合, 选C 2 2

二、填空题 11、 f ?1 ( x) ? e x?1   (x ? R) 13、② 、③ 12、

?2? 3 4
15、 5 2

14、 2 5

11、由 y ? ln x ? 1 得x ? e y?1 , 12、 sin

∴f
cos

?1

( x) ? e x?1 ( x ? R)
?
6

?
6

? cos

?
6

? sin 2

?
6

? sin

?
6

?
6

? cos 2

? ? cos

? 1 ? ? sin 3 2 3

1 3 ?? ? 2 4
13、略
x ? 2?t =0 ?2x ? y ? 1 14、由 ? 得2 x ? y ? 1 ? 0, 解方程组? ? ? y ? 3 ? 2t ? x ? y+3=0

得点 B(4,7),

| AB |? (4 ? 2) 2 ? (7 ? 3) 2 ? 2 5

15、∵ ?1 ? ?B,  ?A ? ?A

∴ ?ACD ∽ ?ABC

∴ AD ? AC     AC 2 ? AD ? AB ? 50    AC ? 5 2
AC AB

三、解答题

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16、解: ① 共有 6 ? 6 ? 36 种结果 ………………4 分

② 若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数,则点数之和是 3 的倍数的结果有 (1,2), ( 2,1),( 1,5),( 5,1),( 2,4),( 4,2),(3,3),( 4,5),(5,4), (3,6),(6,3),(6,6) 共 12 种 ………………8 分

③两枚骰子点数之和是 3 的倍数的概率是:P= 17、解:(1) f ( x) ? a ? b
?? ??

12 1 ? 36 3

…………12 分

= (cosx ? sin x, sin x) ? (cosx ? sin x, ? 2 sin x) = (cosx ? sin x) 2 ? 2 sin 2 x = cos2 x ? 2 sin x cos x ? sin 2 x = cos 2 x ? sin 2 x = 2 sin( 2 x ? ………………4 分

?
4

)

………………8 分

(2)由 f ( x) ? 1 得 ∴ 或 所以

2 sin( 2 x ?

?
4

) =1 ,

? 2 sin(2 x ? ) ? 4 2
………10 分

………9 分

2x ?

?
4

?

?
4

? 2k?   (K?Z)

2x ?

?
4

?

3? ? 2k?   (K?Z) 4

………………11 分 (K?Z)为方程的解. ………12

x ? k?   或   x?


?
4

+k?

18、解:(1)由 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x 3

得 ………………2 分

f ' ( x) ? x 2 ? 2x ? 3 ? ( x ? 3)(x ? 1)

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当 f ' ( x) ? 0 得 ( x ? 3)(x ? 1) ? 0

x ? 3 或 x ? ?1 ,即函数 f ( x) 的单调增区间为(- ?, ?1 )和( 3, ? ?) ……5
分 当 f’ ( x) ? 0得 ? 1 ? x ? 3 ∴函数 f ( x)的单调减区间为(- 1,3 ) (2)令 f‘ ( x) ? 0 得 x ? 3 或 x ? ?1 ………………7 分 ………………9 分 ……9

由(1)知,函数 f ( x)在(??,?1) 内单调递增,在(-1,3)内单调递减, 分 ∴当 x ? ?1时, f ( x)有极大值, f ( x) 极大 =f (?1) ?

5 3

………………12 分

∵函数 f ( x)在 (?1,3) 内单调递减,在(3,??) 内单调递增 ∴当 x ? 3时,f ( x) 有极小值, f ( x)极小 ? f (3) ? ?9 ………………14 分

19、解:(1)∵数列 ?S n ? 是以c(c ? 0)为公比的等比数列 , 且S1 ? a1 ? 1 ∴ S n ? s1c n?1 ? c n?1 ∴ S n?1 ? c n?2   (n ? 2) ∴ an ? S n ? S n?1 ? c n?1 ? c n?2 ? (c ? 1)c n?2 (n ? 2) ∴ an ? ? ………………6 分 ………………8 分 ………………3 分

?1,        n ? 1
n?2 ?(c ? 1)C ,    n ? 2, 且n ? N ?

(2)由(1)知 a2 , a4 , a6 ,?, a2n, 是以 a2 为首项,C2 为公比的等比数列,…… 11 分

a2 ? a4 ? ? ? a2n ?

(c ? 1)(1 ? c 2 n ) c 2 n ? 1 ? c ?1 1? c2

……………14 分

20、(1)解: ∵ AC1 是正方体

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∴ AD ? 面DC1 又 D1 F ? 面DC1 ∴ AD ? D1 F (2)证明:取 AB 中点 G,连结 A1G, FG, F是CD的中点 ∴ GF ? AD,  A1 D1 = AD ∴ GF ? A1 D1 ∴四边形 GFD1 A1 是平行四边形 ∴ A1G // D1 F 设 A1G ? AE ? H , 则?AHA 1是AE与D1 F所成的角 又 E 是 BB1 的中点 ∴ Rt?A1 AG ≌Rt△ABE ∴ ?GA1 A ? ?GAH ∴ ?AHA 1 ? 90? 即直线 AE与D1所成的角为直角 ………………7 分
// // //

………………3 分

(3)证明: 由(1)知 AD ? D1 F ,由(2)知AE ? D1F 又 AD ? AE ? A, ∴ D1 F ? 面AED  又   D1 F ? 面A1FD1 ∴面 AED ? 面A1 FD 分 (4) 解:连结 GE  、GD ∵体积 V E ? AA F ? V F ? AA1E
1 1

………………10

………………11 分

又 FG⊥面 ABB 1A 1 ,三棱锥 F- AA 1 E 的高 FG= AA 1 ? 2

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∴面积 S ?AA1E ? 12 分 ∴ VE ? AA 1 F ? VF ? AA 1 E ? 分

1 S 2

□ ABB A 1 1

?

1 ? 22 ? 2 2

………………

1 4 ? FG ? S ?AA 1 E ? 3 3

………………14

21、(1)解: OM ? t1 OA ? t 2 AB = t1 (0,2) ? t 2 (4,4) = (4t 2 ,2t1 ? 4t 2 ) 当点 M 在第二或第三象限时,有 ? 故所求的充要条件为 分 (2)证明:当 t1 ? 1 时,由 (1)知OM ? (4t 2 ,4t 2 ? 2) ∵

? ?4t 2 ? 0 ? ?2t1 ? 4t 2 ? 0
………………4

t 2 ﹤0

且t1 ? 2t 2 ? 0

AB ? OB ? OA ? (4,4) AM ? OM ? OA ? (4t 2 ,4t 2 ) ? t 2 (4,4) ? t 2 AB

∴ 分

A、B、M 三点都共线

………………8

(3)解:当 t1 ? a 2时, OM=( 4t 2 ,4t 2 ? 2a 2 ) 又 AB ? (4,4),    OM ? AB



4t 2 ? 4 ? (4t 2 ? 2a 2 ) ? 4 ? 0 1     t 2 ? ? a 2 4
………………10 分

故 OM ? (?a 2 , a 2 )

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又 AB ? 4 2 点 M 到直线 AB: x ? y ? 2 ? 0的距离 

d?
∵ ∴ 解得

| ?a 2 ? a 2 ? 2 | 2

? 2 | a2 ?1|

………………12 分

S ?ABM ? 12
1 1 | AB | ?d ? ? 4 2 ? 2 | a 2 ? 1 | 2 2
a ? ?2
………………14 分

a ? ?2 故所求 a的值为:


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