2017-2018学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明不等式的基本方法 1.5.3 反证法和放缩法 新人教B版选_图文

第 一 章

1 . 5 不 等 式 证 明 的 基 本 方 法

1 . 5. 3 反 证 法 和 放 缩 法

理解教材新知

读教材·填要点
小问题·大思维 考点一

把握热点考向

考点二 考点三

应用创新演练

1.5

不等式证明的基本方法

1.5.3

反证法和放缩法

[读教材· 填要点]
1.反证法 首先假设 要证明的命题 是不正确的, 然后利用公理, 已有的定 义、定理,命题的条件逐步分析,得到和命题的条件(或已证明过的 定理,或明显成立的事实) 矛盾 的结论,以此说明 假设 的结论不成 立,从而原来结论是正确的,这种方法称为反证法. 2.放缩法
放大 在证明不等式时, 有时需要将所需证明的不等式的值适当_____

(或 缩小 )使它由 繁 化 简 ,达到证明目的,这种方法称为放缩法.

[小问题· 大思维]

1.用反证法证明不等式应注意哪些问题?

提示:用反证法证明不等式要把握三点: (1)必须先否定结论,对于结论的反面出现的多种可能要逐一 论证,缺少任何一种可能,证明都是不完全的. (2)反证法必须从否定结论进行推理,且必须根据这一条件进 行论证;否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行论证,就 不是反证法. (3)推导出来的矛盾可以是多种多样的,有的与已知条件相矛 盾,有的与假设相矛盾,有的与定理、公理相违背,有的与已知 的事实相矛盾等,但推导出的矛盾必须是明显的.

2.运用放缩法证明不等式的关键是什么?

提示: 运用放缩法证明不等式的关键是放大 ( 或缩小 ) 要适 当.如果所要证明的不等式中含有分式,那么我们把分母放大时 相应分式的值就会缩小;反之,如果把分母缩小,则相应分式的 值就会放大.有时也会把分子、分母同时放大,这时应该注意不 等式的变化情况,可以与相应的函数相联系,以达到判断大小的 目的,这些都是我们在证明中的常用方法与技巧,也是放缩法中 的主要形式.

用反证法证明否定性结论

[例 1]

设 a,b,c,d 都是小于 1 的正数,求证:4a(1-

b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)这四个数不可能都大于 1.
[思路点拨] 本题考查反证法的应用. 解答本题若采用直接

法证明将非常困难,因此可考虑采用反证法从反面入手解决.

[精解详析 ]

假设 4a(1-b)>1,4b(1- c)>1,4c(1-d)>1,

4d(1-a)>1,则有 1 1 a(1-b)> ,b(1-c)> , 4 4

1 1 c(1-d)> ,d(1-a)> . 4 4 1 1 ∴ a?1-b?> , b?1-c?> , 2 2 1 1 c?1-d?> , d?1-a?> . 2 2 a+?1-b? b+?1-c? 又∵ a?1-b?≤ , b?1-c?≤ , 2 2 c+?1-d? d+?1-a? c?1-d?≤ , d?1-a?≤ , 2 2 a+1-b 1 b+1-c 1 ∴ > , > , 2 2 2 2

c+1-d 1 d+1-a 1 > , > . 2 2 2 2 将上面各式相加得 2>2,矛盾. ∴4a(1-b), 4b(1-c),4c(1-d), 4d(1-a)这四个数不可 能都大于 1.

(1)当证明的结论中含有“不是”,“不都”,“不存在” 等词语时,适于应用反证法,因为此类问题的反面比较具体. (2)用反证法证明不等式时,推出的矛盾有三种表现形式① 与已知相矛盾,②与假设矛盾,③与显然成立的事实相矛盾.

1.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+Sn=2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.

解:(1)当 n=1 时,a1+S1=2a1=2,则 a1=1. 又 an+Sn=2,所以 an+1+Sn+1=2, 1 两式相减得 an+1= an, 2 1 所以{an}是首项为 1,公比为 的等比数列, 2

所以 an=

. 2n-1

1

(2)反证法:假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为 ap+1, aq+1,ar+1(p<q<r,且 p,q,r∈N+), 1 1 1 - - 则 2·q= p+ r,所以 2· 2r q=2r p+1.① 2 2 2 又因为 p<q<r,所以 r-q,r-p∈N+. 所以①式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立,所以假设不 成立,原命题得证.

用反证法证明“至多”、“至少”型命题
π π 2 [例 2] 若 a,b,c 均为实数,且 a=x -2y+ ,b=y -2z+ , 2 3
2

π c=z -2x+ ,求证:a,b,c 中至少有一个大于 0. 6
2

[思路点拨] 由于问题是“至少型”命题, 故可用反证法证明.

[精解详析] 假设 a,b,c 都不大于 0,即 a≤0,b≤0,c≤0, 则 a+b+c≤0, π 2 π 2 π 而 a+b+c=x -2y+ +y -2z+ +z -2x+ =(x-1)2+(y 2 3 6
2

-1)2+(z-1)2+π-3

∴a+b+c>0 这与 a+b+c≤0 矛盾. 因此,a,b,c 中至少有一个大于 0.

(1)在证明中含有“至少”、“至多”、 “最多”等字眼时, 或证明否定性命题、惟一性命题时,可使用反证法证明.在证 明中常见的矛盾可以与题设矛盾,也可以与已知矛盾,与显然 的事实矛盾,也可以自相矛盾. (2)在用反证法证明的过程中,由于作出了与结论相反的假 设,相当于增加了题设条件,因此在证明过程中必须使用这个 增加的条件,否则将无法推出矛盾.

2.实数 a,b,c,d 满足 a+b=c+d=1,ac+bd>1.求证:a, b,c,d 中至少有一个是负数.
证明:假设 a,b,c,d 都是非负数, 即 a≥0,b≥0,c≥0,d≥0, 则 1=(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)≥ac+bd. 这与已知中 ac+bd>1 矛盾, ∴原假设错误, 故 a,b,c,d 中至少有一个是负数.

用放缩法证明不等式

[ 例 3] n≥2).

3 1 1 1 1 求证: - < 1 + 2 +…+ 2 < 2 - n (n ∈ N* 且 2 n+ 1 2 n

[思路点拨]

本题考查放缩法在证明不等式中的应用,解答

本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式,但我们不能利用求 和公式或其他方法求和,因此可考虑将分母适当放大或缩小成可 以求和的形式,进而求和,并证明该不等式.
[精解详析] ∵k(k+1)>k2>k(k-1),

1 1 1 ∴ < 2< . k?k+1? k k?k-1?

1 1 1 1 1 即k- < 2< -k(k∈N+且 k≥2). k+1 k k-1 分别令 k=2,3,…,n 得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - < <1- , - < 2< - , 2 3 22 2 3 4 3 2 3 … 1 1 1 1 1 n-n+1<n2<n-1-n,将这些不等式相加得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - + - + …+n - < 2 + 2 + … + 2 < 1- + - 2 3 3 4 n 2 2 3 n+ 1 2 3 1 1 +…+ - , n- 1 n

1 1 1 1 1 1 即 - < + +…+ 2<1-n. 2 n+1 22 32 n 1 1 1 1 1 1 ∴1+ - <1+ 2+ 2+…+ 2<1+1-n. 2 n+ 1 2 3 n 3 1 1 1 1 1 即 - < 1 + 2 + 2 + … + 2 < 2 - n (n ∈ N + 且 2 n+ 1 2 3 n n≥2)成立.

(1) 放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变 换,即欲证 a>b,可换成证 a>c 且 c>b,欲证 a<b,可换成证 a<c 且 c<b. (2)放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩 必须有目标.而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考 察.常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用 不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩 等.比如:

? 1?2 3 ? 1?2 舍去或加上一些项:?a+2? + >?a+2? ; 4 ? ? ? ?

1 1 1 将分子或分母放大(缩小): 2< , > k k?k-1? k2 1 1 2 1 2 , < , > (k∈R,k> k?k+1? k k k+ k-1 k+ k+1 1)等.

1 1 1 1 3.设 n 是正整数,求证: ≤ + +…+ <1. 2 n+1 n+2 2n

1 1 1 证明:由 2n≥n+k≥n(k=1,2…,n),得 ≤ < . 2n n+k n 1 1 1 当 k=1 时, ≤ < ; 2n n+1 n 1 1 1 当 k=2 时, ≤ < ; 2n n+2 n … 1 1 1 当 k=n 时, ≤ < , 2n n+n n 1 n 1 1 1 n ∴ = ≤ + +…+ <n=1. 2 2n n+1 n+2 2n

一、选择题 1.否定“自然数 a、b、c 中恰有一个为偶数”时正确的反设为 ( A.a、b、c 都是奇数 B.a、b、c 都是偶数 C.a、b、c 中至少有两个偶数 D.a、b、c 中至少有两个偶数或都是奇数 )

解析:三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二 奇一偶”4 种,而自然数 a、b、c 中恰有一个为偶数包含“二奇 一偶”的情况,故反面的情况有 3 种,只有 D 项符合.

答案:D

1 1 1 1 2.设 M= 10+ 10 + 10 +…+ 11 ,则 2 2 +1 2 +2 2 -1 A.M=1 C.M>1 B.M<1

(

)

D.M 与 1 大小关系不定

解析:∵210+1>210,210+2>210,…,211-1>210, 1 1 1 1 ∴M= 10+ 10 + 10 +…+ 11 2 2 +1 2 +2 2 -1

1 1 1 < 10 ? 10 ? · · · ? 10 =1. 2 2 2
210 个

答案:B

1 1 1 3.设 a,b,c∈(-∞,0),则三数 a+ ,b+ ,c+ 的值( b c a A.都不大于-2 B.都不小于-2 C.至少有一个不大于-2 D.至少有一个不小于-2

)

解析:假设都大于-2, 1 1 1 则 a+b+b+ c+c+a>-6,∵a,b,c<0, 1 1 1 ∴a+a≤-2,b+b≤-2,c+c ≤-2, 1 1 1 ∴a+ +b+ +c+ ≤-6,这与假设矛盾,则选 C. a b c

答案:C

1 4.已知 p=a+ ,q=-a2+4a(a>2),则 a-2 A.p>q C.p≥q B.p<q D.p≤q

(

)

1 解析:∵p=(a-2)+ +2,又 a-2>0, a-2 ∴p≥2+2=4,而 q=-(a-2)2+4, 由 a>2,可得 q<4,∴p>q.

答案:A

二、填空题 5.给出下列两种说法:①已知 p3+q3=2,求证 p+q≤2,用反 证法证明时,可假设 p+q≥2;②已知 a,b∈R,|a|+|b|<1, 求证方程 x2+ax+b=0 的两根的绝对值都小于 1, 用反证法证 明时,可假设方程有一根 x1 的绝对值大于或等于 1,即假设 |x1|≥1.以上两种说法正确的是________.

解析:反证法的实质是否定结论,对于①,其结论的反面是 p +q>2,所以①错误;对于②,其假设正确.
答案:②

6.用反证法证明“已知平面上有 n(n≥3)个点,其中任意两点 的距离最大为 d,距离为 d 的两点间的线段称为这组点的直 径,求证直径的数目最多为 n 条”时,假设的内容为 ________.

解析:对“至多”的否定应当是“至少”,二者之间应该是 完全对应的,所以本题中的假设应为“直径的数目至少为 n +1 条”.

答案:直径的数目至少为 n+1 条

1 1 1 7 . A = 1 + + + … + 与 n (n∈N + ) 的 大 小 关 系 是 2 3 n ________.

1 1 1 1 1 1 1 解析: A = + + + … + ≥ = + +· · · + 1 2 3 n n n n
n项

n = n. n

答案:A≥ n

a+b a b 8.设 a>0,b>0,M= ,N= + ,则 M 与 N 的 a+b+2 a+2 b+2 大小关系是________.

解析:∵a>0,b>0, a b a b ∴N= + > + a+2 b+2 a+b+2 a+b+2 a+b = = M. a+b+2 ∴M<N.
答案:M<N

三、解答题 9.已知 0<x<2,0<y<2,0<z<2,求证:x(2-y),y(2-z),z(2-x)不 都大于 1.

证明: 法一: 假设 x(2-y)>1 且 y(2-z)>1 且 z(2-x)>1 均成立, 则三式相乘有:xyz(2-x)(2-y)(2-z)>1. 由于 0<x<2, ∴0<x(2-x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1. 同理:0<y(2-y)≤1,且 0<z(2-z)≤1, ∴三式相乘得:0<xyz(2-x)(2-y)(2-z)≤1 ② ①

②与①矛盾,故假设不成立. ∴x(2-y),y(2-z),z(2-x)不都大于 1. 法二:假设 x(2-y)>1 且 y(2-z)>1 且 z(2-x)>1. ∴ x?2-y?+ y?2-z?+ z?2-x?>3. 又 x?2-y?+ y?2-z?+ z?2-x? x+?2-y? y+?2-z? z+?2-x? ≤ + + =3 2 2 2 ④与③矛盾,故假设不成立, ∴原题设结论成立. ④ ③

10. 已知实数 x、 y、 z 不全为零, 求证: x2+xy+y2+ + 3 z +zx+x > (x+y+z). 2
2 2

y2+yz+z2

证明: x2+xy+y2 =
? y ?2 3 2 ?x+ ? + y ≥ 2? 4 ? ? y ?2 ?x+ ? 2? ?

y y =|x+ |≥x+ . 2 2 z 同理可得: y +yz+z ≥y+ , 2
2 2

x z +zx+x ≥z+ . 2
2 2

由于 x、y、z 不全为零,故上述三式中至少有一式取不到等 号,所以三式累加得: x +xy+y + y +yz+z + z +zx+x
? x? 3 ?z+ ?= (x+y+z). 2? 2 ?
2 2 2 2 2 2

? y? ? z ? > ?x+2? + ?y+2? + ? ? ? ?

11.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=nan-2n(n-1). (1)求数列{an}的通项公式 an;
? ? 1 ? ? (2)设数列?a a ?的前 ? n n+1? ? ?

n 项和为 Tn,

1 1 求证: ≤Tn< . 5 4

解:(1)由 Sn=nan-2n(n-1)得 an+1=Sn+1-Sn=(n+1)an+1-nan-4n, 即 an+1-an=4. ∴数列{an}是以 1 为首项,4 为公差的等差数列, ∴an=4n-3. 1 1 1 (2)证明:Tn= + +…+ a1a2 a2a3 anan+1 1 1 1 1 = + + +…+ 1×5 5×9 9×13 ?4n-3?×?4n+1? 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? = ?1-5+5-9+9-13+…+4n-3-4n+1? ? 4? ?

1 ? 1? ? ? 1 1 - = ? 4n+1?< . 4? ? 4 1 又易知 Tn 单调递增,故 Tn≥T1= , 5 1 1 得 ≤Tn< . 5 4


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