【创新设计】2013届高中数学 2-2-2事件的相互独立性课件 新人教A版选修2-3_图文

2.2.2 事件的相互独立性
【课标要求】
在具体情境中,了解两个事件相互独立的概念. 1. 能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的 2.

实际问题.
【核心扫描】 1. 相互独立事件的概念.(重点) 用相互独立事件同时发生的概率公式求概率.(难点) 2. 3. 互斥、对立、相互独立之间的区别.(易混点)

自学导引
相互独立的概念 1.
(1)相互独立的定义 P(A)P(B) ,则称事件A 设A,B为两个事件,如果P(AB)= ________ 与事件B相互独立. (2)相互独立事件 没有影响 ,这 事件A(或B)发生对事件B(或A)发生的概率_________ 样的两个事件叫做相互独立事件.

想一想:如果A、B相互独立,则有P(AB)=P(A)P(B)吗?
提示 如果 A 与 B 相互独立, 则有 P(B|A)=P(B), 又 P(B|A)

P(AB) = , 从而 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B), 即 P(AB) P(A) =P(A)P(B)是事件 A、B 相互独立的充要条件.

2.相互独立的性质
- - - A 与___ B A B , ___ 若事件A与B相互独立,则___与___, ___ A与 - B 也相互独立. ___

试一试:甲、乙两人射击同一目标,甲、乙击中目标的概 率分别为0.6,0.3,两人各射击一次,试求目标被击中的 概率.
提示 A=“甲射击一次,击中目标”;B=“乙射击一次, 击中目标”.由题意可知,A、 B 相互独立,且 P(A)= 0.6, P(B)= 0.3, ∴ P(- A )=0.4,P(- B )= 0.7. - - ∴目标被击中的概率 P= 1- P(- A- B )= 1- P( A )P( B )= 1- 0.4× 0.7= 0.72.

名师点睛
相互独立事件的理解 1. 相互独立的两个事件实质上是一个事件发生与否对另一个 事件的发生没有影响,也就是若事件A与B相互独立,则 P(B|A)=P(B)且P(A|B)=P(A),因而有P(AB)=P(A)· P(B|A) =P(A)P(B). 互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别 2.
对于事件 A、B,在一次试验中, A、B 如果不能同时发生, 则称 A、B 互斥.一次试验中, A、B 两个事件互斥且 A、B 中必然有一个发生,则称 A、B 对立,显然 A+- A 为一个必然 事件.A、B 互斥则不能同时发生,但可能同时不发生.如掷 一枚骰子,“点数为 1”为事件 A,“点数为 2”为事件 B, 则 A、B 可能都不发生,而掷出的点数可能为 5.两事件相互

独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有 影响. 3.公式P(AB)=P(A)P(B)的推广

公式P(AB)=P(A)P(B)可以推广到一般情形:如果事件
A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概 率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2,…An)=

P(A1)· P(A2)…P(An).

题型一

相互独立事件的判断

【例1】 判断下列各对事件是否是相互独立事件: (1)甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从 甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出 1名男生”与“从乙组中选出1名女生”; (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任

意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出
1个,取出的还是白球”;

(3)一筐内有6个苹果和3个梨,“从中任意取出1个,取出 的是苹果”与“把取出的苹果放回筐内,再从筐内任意取出 1个,取出的是梨”. [思路探索] 解答本题可先看两个事件中其中一个事件发生 与否对另一个事件发生的概率是否有影响,再判断两事件 是否相互独立. 解 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“

从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所
以它们是相互独立事件.

5 (2)“从 8 个球中任意取出 1 个, 取出的是白球”的概率为 , 8 若这一事件发生了,则“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个, 4 取出的仍是白球”的概率为 ;若前一事件没有发生,则后 7 5 一事件发生的概率为 ,可见,前一事件是否发生,对后一 7 事件发生的概率有影响,所以二者不是相互独立事件.

(3)由于把取出的苹果又放回筐内,故对“从中任意取出1 个,取出的是梨”的概率没有影响,所以二者是相互独立

事件.

规律方法 对于事件 A,B,在一次试验中,A,B 如果不能 同时发生,则称 A,B 互斥.一次试验中,如果 A,B 两个 事件互斥且 A,B 中必然有一个发生,则称 A,B 对立,显 - 然 A∪ A 为一个必然事件.A,B 互斥则不能同时发生,但 有可能同时不发生.两事件相互独立是指一个事件的发生与 否对另一个事件发生的概率没有影响.

【变式1】 判断下列各题中给出的各对事件是否是相互独立事 件:

(1)甲盒中有6个白球,4个黑球,乙盒中有3个白球,5个黑
球.事件A1表示“从甲盒中取出的是白球”,事件B1表示 “从乙盒中取出的是白球”. (2)盒中有4个白球,3个黑球,从盒中陆续取出两个球, 用A2表示事件“第一次取出的是白球”,把取出的球放回盒 中,用B2表示事件“第二次取出的是白球”. (3)盒中有4个白球,3个黑球,从盒中陆续取出两个球, 用A3表示“第一次取出的是白球”,取出的球不放回,用B3

表示“第二次取出的是白球”.



(1)事件A1和B1是否发生,相互之间没有影响,故事件

A1与事件B1是相互独立事件. (2)在有放回的取球中,事件A2和B2是否发生,相互之间没 有任何影响,因而它们是相互独立事件. (3)在不放回的取球中,事件A3发生后,事件B3发生的概率 发生了改变,因此A3与B3不是相互独立事件.

题型二

相互独立事件同时发生的概率

【例2】 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次,甲射中

的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求:
(1)2人都射中目标的概率; (2)2人中恰有1人射中目标的概率; (3)2人至少有1人射中目标的概率; (4)2人至多有1人射中目标的概率.

[思路探索] 利用相互独立事件的概率公式求解.



设“甲射击 1 次,击中目标”为事件 A.“乙射击 1 次,击中 目标”为事件 B,则 A 与 B,- A 与 B,A 与- B ,- A 与- B 为相互独立 事件. (1)2 人都射中目标的概率为:P(AB)=P(A)· P(B)= 0.8× 0.9= 0.72. (2)“ 2 人各射击 1 次,恰有 1 人射中目标”包括两种情况: 一种是 - 甲射中、乙未射中(事件 A B 发生 ),另一种是甲未射中、乙射中(事 - - - 件 A B 发生 ).根据题意,事件 A B 与 A B 互斥,根据互斥事件的 概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,所求的概率为: P(A- B )+ P(- A B)=P(A)· P(- B )+ P(- A )· P(B) = 0.8× (1- 0.9)+ (1- 0.8)× 0.9= 0.08+ 0.18= 0.26. (3)“ 2 人至少有 1 人射中”包括“ 2 人都中”和“ 2 人有 1 人射中” - - 2 种情况,其概率为 P= P(AB)+ [P(A B )+ P( A B)]=0.72+ 0.26= 0.98.

(4)“2 人至多有 1 人射中目标”包括“有 1 人射中”和“2 人都 未射中”, -- - - 故所求概率为:P=P( A B )+P(A B )+P( A B) = P(- A )· P (- B ) + P(A)· P( - B ) + P( - A )· P(B) = 0.02+ 0.08 + 0.18 = 0.28.
规律方法 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的 意义,若 A、B 相互独立,则- A 与 B,A 与- B ,- A 与- B 也是相 互独立的,代入相互独立事件的概率公式求解.

1 【变式2】 甲、乙两人破译一密码, 他们能破译的概率分别为 和 3 1 .求 4 (1)两人都能破译的概率; (2)两人都不能破译的概率; (3)恰有一人能破译的概率; (4)至多有一人能破译的概率.

解 设“甲能破译”为事件 A,“乙能破译”为事件 B,则 A、 - - - - B 相互独立,从而 A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B 均相互独立. 1 1 (1)“两个都能破译”为事件 AB, 则 P(AB)=P(A)· P(B)= × = 3 4 1 . 12

(2)“两人都不能破译”为事件- A- B ,则
? ? - - ?- ? - P( A B )= P?? A ) · [1- P(B)] P( B ??= [1-P(A)]·

? 1? ? 1? 1 =?1- ?×?1- ?= . 3? ? 4? 2 ?

(3)“恰有一人能破译”为事件 (A- B )∪(- A B), 又 A- B 与- A B 互斥, - - - - - 则 P((A B )∪ ( A B))=P(A B )+ P( A B)= P(A)· P( B ) - + P( A )· P(B) 1 ? 1 ? ? 1? 1 5 = ×?1- ?+?1- ?× = . 3 ? 4 ? ? 3? 4 12

(4)“至多一人能破译”为事件 (A- B )∪(- A B)∪ (- A- B ),且 - - -- A B 、 A B、 A B 互斥,故 P((A- B )∪ (- A B)∪ (- A- B )) = P(A- B )+P(- A B)+P(- A- B) - - - - = P(A)· P( B )+ P( A )· P(B)+P( A )· P( B ) 1 ? 1? ? 1? 1 ? 1? ? 1? 11 = ×?1- ?+?1- ?× +?1- ?×?1- ?= . 3 ? 4? ? 3? 4 ? 3? ? 4? 12

题型三

相互独立事件概率的实际应用

【例3】 某学生语、数、英三科考试成绩,在一次考试中排

名全班第一的概率:语文为0.9,数学为0.8,英语为
0.85,问一次考试中 (1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少? (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少?

[规范解答] 分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一 的事件为A,B,C,则A、B、C两两相互独立且P(A)=

0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85

(2分)

(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用:- A- B - C 表示 P(- A- B - C )= P(- A )P(- B )P(- C) = [1- P(A)][1-P(B)][1- P(C)] = (1- 0.9)(1- 0.8)(1- 0.85) = 0.003 所以三科成绩均未获得第一名的概率是 0.003.

(6 分 ) - - (2)“ 恰 有 一 科 成 绩 未 获 得 第 一 名 ” 可 以 用 ( A BC)∪ (A B C)∪ (AB- C )表示. 由于事件- A BC, A- B C 和 AB- C 两两互斥, - 根据概念加法公式和相互独立事件的意义,所求的概率为 P( A - - BC)+ P(A B C)+ P(AB C )

- - - =P( A )P(B)P(C)+P(A)P( B )P(C)+P(A)P(B)P( C ) = [1 - P(A)]P(B)P(C) + P(A)[1 - P(B)]P(C) + P(A)· P(B)[1 - P(C)] = (1 - 0.9)×0.8×0.85 + 0.9×(1 - 0.8)×0.85 + 0.9×0.8×(1 - 0.85)=0.329, 所以恰有一科成绩未获得第一名的概率是 0.329. (12 分)

【题后反思】 求复杂事件的概率,应先列出题中涉及的
各事件,并用适当的符号表示,再理清各事件之间的关 系,最后根据事件之间的关系选取相应的公式进行计算.

【变式3】 某机械厂制造一种汽车零件,已知甲机床的正品率
是0.96,乙机床的次品率是0.05,现从它们制造的产品中 各任意抽取一件,试求: (1)两件产品都是正品的概率;

(2)恰有一件是正品的概率;
(3)至少有一件正品的概率.

解 用 A 表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”,用 B 表示“从乙机床生产的产品中抽得正品”,用 C 表示“抽 得的两件产品中恰有一件是正品”,用 D 表示“抽得的两 ? ? ? ? ? -? ?- ? 件产品中至少有一件正品”,则 C=?A B ?∪? A B?,D=C∪
? ? ? ? ? ?

AB ??.

(1)由题意知, A 与 B 是相互独立事件 P(B)= 1- P(- B )= 1- 0.05= 0.95, P(A)= 0.96, 所以两件都是正品的概率为 P(AB)=P(A)P(B)= 0.96× 0.95= 0.912. - - (2)由于事件 A B 与 A B 互斥,所以恰有一件是正品的概率为 ? ? ? ? ? -? ?- ? P(C)= P??A B ??∪?? A B??= P(A- B )+P(- A B) - - = P(A)P( B )+ P( A )P(B)= 0.96× 0.05+ 0.04× 0.95= 0.086. (3)由于事件 AB 与 C 互斥, 所以 P(D)= P(AB)∪ (C)= P(AB)+P(C) = 0.912+ 0.086= 0.998.

方法技巧

正难则反思想在概率计算中的应用

正难则反的思想方法在求解概率问题中应用广泛,

尤其在解概率问题的综合题中,出现“至少”或“至多”等事
件的概率求解问题,如果从正面考虑问题,它们是诸多事 件的和或积,求解过程繁杂,而且容易出错,但如果考虑 “至少”或“至多”事件的对立事件往往会很简单,其概率很 容易求出,此时可逆向分析问题,先求出其对立事件的概

率,再利用概率的和或积的互补公式求出原来事件的概
率.

【示例】已知 A,B,C 三个相互独立事件,若事件 A 发生的概率 1 1 1 为 ,事件 B 发生的概率为 ,事件 C 发生的概率为 ,求下列 2 3 4 事件发生的概率; (1)事件A,B,C都发生的概率; (2)事件A,B,C都不发生的概率; (3)事件A,B,C不都发生的概率;

(4)事件A,B,C至少有一个发生的概率;
(5)事件A,B,C恰有一个发生的概率; (6)事件A,B,C恰有两个发生的概率;

(7)事件A,B,C至多有两个发生的概率.

[思路分析] 问题中给出的7问,关键是要弄清“发生”还是 “不发生”,发生几个,还要明确事件之间的关系,是彼此 互斥,还是相互独立,合理运用概率的加法公式和乘法公 式求解.
解 (1)记事件 A1 为“事件 A,B,C 都发生”,因为 A,B, C 是三个相互独立事件, 1 1 1 1 所以 P(A1)=P(A)P(B)P(C)= × × = . 2 3 4 24 (2)记事件 A2 为“事件 A,B,C 都不发生”,因为 A,B, C 是三个相互独立事件,故- A ,- B ,- C 也相互独立 1 2 3 1 - - - 所以 P(A2)=P( A )P( B )P( C )= × × = . 2 3 4 4

- (3)记事件 A3 为“事件 A,B,C 不都发生”,则 A 3=A1, 1 23 从而 P(A3)=1-P(- A 3)=1-P(A1)=1- = . 24 24 - (4)记事件 A4 为“事件 A,B,C 至少有一个发生”,则 A 4=A2, 1 3 - 从而 P(A4)=1-P( A 4)=1-P(A2)=1- = . 4 4 (5)记事件 A5 为“事件 A,B,C 恰有一个发生”则有三种情况: - 第一种,事件 A 发生,事件 B,C 不发生,即 A· B ·- C; 第二种,事件 B 发生,事件 A,C 不发生,即- A ·B·- C; 第三种,事件 C 发生,事件 A,B 不发生,即- A ·- B ·C; - - - - 而这三种情况不可能同时发生,即 A· B · C , A ·B· C , - - A · B ·C 彼此互斥,

- 所以 P(A5)=P(A· B ·- C )+P(- A ·B·- C )+P(- A ·- B ·C) 1 1 1 11 = + + = . 4 8 12 24

(6)记事件 A6 为“事件 A, B, C 恰有两个发生”则有三种情况: - 第一种,事件 A, B 发生,事件 C 不发生,即 A· B· C; - 第二种,事件 A, C 发生,事件 B 不发生,即 A· B · C; - 第三种,事件 B, C 发生,事件 A 不发生,即 A ·B· C; - - 而这三种情况不可能同时发生,即 A· B· C , A· B · C, - A · B· C 彼此互斥, 1 1 1 - - - 所以 P(A6)= P(A· B· C )+P(A· B ·C)+ P( A ·B·C)= + + 8 12 24 1 = . 4 (7)法一 记事件 A7 为“事件 A,B,C 至多有两个发生”,则 有三种情况: 第一种,事件 A, B, C 都不发生,即 A2, 第二种,事件 A, B, C 恰有一个发生,即 A5

第三种,事件 A, B, C 恰有两个发生,即 A6 1 11 1 23 所以 P(A7)= P(A2)+P(A5)+ P(A6)= + + = . 4 24 4 24 法二 记事件 A7 为“事件 A, B, C 至多有两个发生”,则 - A =“事件 A, B, C 都发生”,即- A =A ,
7 7 1

1 23 - P(A7)= 1-P( A 7)= 1- P(A1)= 1- = . 24 24

方法点评

(1)解决这类问题时,一般都是将问题划分为

若干个彼此互斥的事件,然后运用加法公式和乘法公式求

解,当然在运用乘法公式时一定要注意事件是否满足彼此
相互独立. (2)遇到“至少”,“至多”等事件的概率问题时,如果从正面 考虑,求解过程比较繁琐,我们一般采用逆向思想来分析 问题,先求出其对立事件的概率,然后求解,会简化思考 过程.


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