2019-2020学年【课堂坐标】高中数学北师大版必修五学业分层测评:第一章 数列 7 Word版含解析

北师大版 2019-2020 学年数学精品资料

学业分层测评(七)
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.在正项等比数列{an}中,a3· a5=4,则 a1· a2· a3· a4· a5· a6· a7=( A.64 C.256 【解析】 B.128 D.512 a3· a5=a1· a7=a2· a6=a2 4=4,∵an>0,∴a4=2, )

2 3 7 ∴a1· a2· a3· a4· a5· a6· a7=(a4 )· a4=a7 4=2 =128.

【答案】

B

2.公差不为零的等差数列{an}中,2a3-a2 7+2a11=0,数列{bn}是等比数列, 且 b7=a7,则 b6· b8=( A.2 C.8 【解析】 ) B.4 D.16
2 2 ∵2a3-a7 +2a11=2(a3+a11)-a2 7=4a7-a7=0,

2 ∵b7=a7≠0,∴b7=a7=4,∴b6· b8=b7 =16.

【答案】

D

3.(2015· 福建高考)若 a,b 是函数 f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的 零点,且 a,b,-2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比 数列,则 p+q 的值等于( A.6 C.8 【解析】 ) B.7 D.9 ? ?a+b=p>0, 不妨设 a>b,由题意得? ∴a>0,b>0, ? ab = q >0 , ?

则 a,-2,b 成等比数列,a,b,-2 成等差数列,
2 ? ? ?ab=?-2? , ?a=4, ∴? ∴? ∴p=5,q=4,∴p+q=9. ? ? a - 2 = 2 b , b = 1 , ? ?

【答案】

D

4. 等比数列{an}的各项均为正数, 且 a5· a6+a4· a7=18, 则 log3a1+log3a2+… +log3a10 等于( A.12 C.8 【解析】 ) B.10 D.2+log35 因为 a5· a6=a4· a7,又 a5· a6+a4· a7=18

所以 a5· a6=9,∴a1· a10=a2· a9=a3· a8 =a4· a7=9, log3a1+log3a2+…+log3a10=log3a1a2a3…a10 =log3(a1· a10· a2· a9· a3· a8· a4· a7· a5· a6) =log395=log3310 =10. 【答案】 B
5

a15 5.(2016· 福州高二检测)在等比数列{an}中,a5a11=3,a3+a13=4,则 a = ( ) A.3 1 C.3 或3 【解析】 1 B.3 1 D.-3 或-3 ∵a5a11=a3a13=3,又 a3+a13=4,

? ? ?a3=1 ?a3=3 a15 a13 a15 1 ? ∴ 或? ,又 a =q10= a ,∴ a 的值为 3 或3. 5 3 5 ? ? ?a13=3 ?a13=1 【答案】 C

二、填空题 6.(2015· 广东高考)若三个正数 a,b,c 成等比数列,其中 a=5+2 6,c =5-2 6,则 b=________. 【解析】 ∵a,b,c 成等比数列,∴b2=a· c

=(5+2 6)(5-2 6)=1. 又 b>0,∴b=1. 【答案】 1

7.(2016· 南昌高二检测)已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N+,则 S10 的值为________. 【解析】 由 a2 7=a3a9,d=-2,

可得[a1+6×(-2)]2=[a1+2×(-2)]· [a1+8×(-2)], 即(a1-12)2=(a1-4)(a1-16), 解得 a1=20, 10×9 所以 S10=10×20+ 2 ×(-2)=110. 【答案】 110

8.已知{an}是公差不为零的等差数列,且 a7,a10,a15 是等比数列{bn}的连 续三项,若 b1=3,则 bn=________. 【解析】 ∵{an}是公差不为零的等差数列,设首项为 a1,公差为 d,∵a7, a10,a15 是等比数列{bn}的连续三项, 2 ∴(a1+9d)2=(a1+6d)(a1+14d),整理可得 d=-3a1. a10 a1+9d 5 设数列{bn}的公比为 q,则 q= a = = , 7 a1+6d 3 ?5? ∴bn=b1qn-1=3×?3?n-1. ? ? 【答案】 ?5? 3×?3?n-1 ? ?

三、解答题 9.(2016· 淮北高二检测)设{an}是各项均为正数的等比数列,bn=log2an,若 b1+b2+b3=3, b1· b2· b3=-3, 求此等比数列的通项公式 an. 【导学号: 67940017】 【解】 由 b1+b2+b3=3,

得 log2(a1· a2· a3)=3, ∴a1· a2· a3=23=8, ∵a2 a3,∴a2=2,又 b1· b2· b3=-3, 2=a1· 设等比数列{an}的公比为 q,得 ?2? log2?q?· log2(2q)=-3, ? ? 1 解得 q=4 或4, ∴所求等比数列{an}的通项公式为 an=a2· qn-2=22n-3 或 an=25-2n. 10.已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2= 2,b3-a3=3. (1)若 a=1,求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}唯一,求 a 的值. 【解】 (1)设{an}的公比为 q,则 b1=1+a1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,

b3=3+aq2=3+q2. 由 b1,b2,b3 成等比数列得(2+q)2=2(3+q2), 即 q2-4q+2=0, 解得 q1=2+ 2,q2=2- 2, 故{an}的通项公式为 an=(2+ 2)n-1 或 an=(2- 2)n-1. (2)设{an}的公比为 q,则由(2+aq)2=(1+a)· (3+aq2),得 aq2-4aq+3a-1

=0, 由 a>0 得,Δ=4a2+4a>0,故方程 aq2-4aq+3a-1=0 有两个不同的实 1 根.由{an}唯一,故方程必有一根为 0,代入上式得 a=3. [能力提升] 1.在数列{an}中,a1=2,当 n 为奇数时,an+1=an+2;当 n 为偶数时,an
+1

=2an-1,则 a12 等于( A.32 C.66 【解析】

) B.34 D.64

依题意,a1,a3,a5,a7,a9,a11 构成以 2 为首项,2 为公比的

等比数列,故 a11=a1×25=64,a12=a11+2=66.故选 C. 【答案】 C

2.(2016· 西安高二检测)数列{an}中,a1,a2,a3 成等差数列,a2,a3,a4 成 等比数列,a3,a4,a5 的倒数成等差数列,那么 a1,a3,a5( A.成等比数列 B.成等差数列 C.每项的倒数成等差数列 D.每项的倒数成等比数列 【解析】 由题意可得 a ?a =a + ? a2 ??a = a ② ?2=1+1 ?a a a
1 3 2 4 2 3 2 4 3 5

)

? ?a =a a ? 2 1 1 ? ?a =a +a
2 3 2 4 4 3

2a2=a1+a3



5



2 a1+a3 将①代入②得a = a2 ,④
4 3

将④代入③得:a2 3=a1a5,即 a1,a3,a5 成等比数列. 【答案】 A

3.设{an}是由正数组成的等比数列,公比 q=2,且 a1· a2· a3· …· a30=230,那 么 a3· a6· a9· …· a30 等于________. 【解析】 设 A=a1· a4· a7…a28,

B=a2· a5· a8· a29, C=a3· a6· a9…a30,则 A、B、C 成等比数列, 公比为 q10=210,由条件得 A· B· C=230,∴B=210, ∴C=B· 210=220. 【答案】 220

4.(2016· 蚌埠高二检测)已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等 比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和, 是否存在正整数 n, 使得 Sn>60n+800?若 存在,求 n 的最小值;若不存在,说明理由. 【解】 (1)设数列{an}的公差为 d,

依题意得,2,2+d,2+4d 成等比数列, 故有(2+d)2=2(2+4d)化简得 d2-4d=0,解得 d=0 或 d=4. 当 d=0 时,an=2; 当 d=4 时,an=2+(n-1)· 4=4n-2. 从而得数列{an}的通项公式为 an=2 或 an=4n-2. (2)当 an=2 时,Sn=2n,显然 2n<60n+800, 此时不存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立. n[2+?4n-2?] 当 an=4n-2 时,Sn= =2n2. 2 令 2n2>60n+800,即 n2-30n-400>0,

解得 n>40 或 n<-10(舍去), 此时存在正整数 n, 使得 Sn>60n+800 成立, n 的最小值为 41. 综上,当 an=2 时,不存在满足题意的正整数 n; 当 an=4n-2 时,存在满足题意的正整数 n, 其最小值为 41.


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