有一个约束条件的三元函数的条件极值_图文

Santa II, p.158

有一个约束条件的条件极值

推导三元函数在一个约束条件 下取得极值的必要条件

四川大学数学学院

徐小湛

30 March 2012

Santa II, p.158

设函数 u=f(x,y,z) 在点 (x, y, z) 处取得满足约 束条件 ? ( x, y, z ) ? 0 的极值。 由隐函数知识,该约束条件的方程可以确定 一个二元函数 z=z(x, y)。将这个二元函数代入 目标函数,则二元函数u=f(x, y, z(x, y))=u(x, y) 在点 (x, y) 处取得极值。由二元函数极值的必 要条件,

?u ?z ? fx ? fz ?0 ?x ?x ?u ?z ? f y ? fz ?0 ?y ?y
四川大学数学学院 徐小湛

(1)
(2)
30 March 2012

Santa II, p.158

另一方面,将二元函数 z=z(x, y)代入约束条 件方程,得恒等式:

? ( x, y, z( x, y)) ? 0
以上等式两端分别对 x和y 求偏导数,得

?z ?x ? ?z ? 0 ?x
?z ? y ?? z ? 0 ?y
四川大学数学学院 徐小湛

(3)
(4)
30 March 2012

Santa II, p.158

由 (1), (2), (3), (4) 式得

fy ?y f x ?x ?z ?z ? ?? ? ?? f z ?z ?x f z ?z ?y fx f y fz ? ? 由此得到:

?x

?y

?z

即两个梯度

?f ? { f x , f y , f z } 和 ?? ? {? x ,? y ,? z }
在取得条件极值的点处平行。 这就是函数 u=f(x,y,z) 在 (x,y,z) 处取得满足约 束条件的极值的必要条件。
徐小湛 30 March 2012

四川大学数学学院

Santa II, p.158

命题

u ? f ( x, y, z) 取得满足 约束条件 ? ( x, y, z ) ? 0
函数 的极值的必要条件是:?f 即

// ??

?x

fx

?

fy

?y

?

?z

fz

四川大学数学学院

徐小湛

30 March 2012

Santa II, p.158

四川大学数学学院

徐小湛

华阳30 南湖 2012.3.18 March 2012


相关文档

关于三元函数条件极值的充分条件
三元函数条件极值的充分条件
三元函数条件极值的推广
三元函数双条件极值的一个必要条件
三元函数极值的一个充分条件
等约束条件下多元函数条件极值的充分条件
有两个约束条件的条件极值
多元函数取局部极值的一个充分条件
约束条件极值1
第一章 第五节 有约束条件的极值问题
学霸百科
电脑版 | 学霸百科