2019-2020学年【课堂坐标】高中数学北师大版必修五学业分层测评:第一章 数列 6 Word版含解析

北师大版 2019-2020 学年数学精品资料

学业分层测评(六)
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 9 1 2 1.若等比数列的首项为8,末项为3,公比为3,则这个数列的项数为( A.3 C.5 【解析】 所以 n=4. 【答案】 B 2a+b =( 2c+d ) B.4 D.6 9 ?2?n-1 1 8 ?2? ?2? ?3? = ,所以?3?n-1= =?3?3, 因为8· 3 27 ? ? ? ? ? ? )

2.已知 a,b,c,d 是公比为 2 的等比数列,则 A.1 1 C.4 【解析】 所以 2a+b 2c+d 1 B.2 1 D.8 由题意知 b=2a,c=4a,d=8a, = 2a+2a 2×4a+8a 1 =4.

【答案】

C

3 6 3.(2016· 淮安高二检测)设等比数列的前三项依次为 2, 2, 2,则它的 第四项是( A.1 9 C. 2 ) 8 B. 2 D. 12 12

【解析】

∵a1= 2,a2= 2,则 q=

3

3

2 , 2

2 ∴a4=a1· q3= 2· =1. 2 2 【答案】 A

4.(2016· 吉安高二检测)已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7=( ) B.81 D.243 ∵{an}是等比数列,a1+a2=3,a2+a3=6,

A.64 C.128 【解析】

∴设等比数列的公比为 q, 则 a2+a3=(a1+a2)q=3q=6,∴q=2, ∴a1+a2=a1+a1q=3a1=3,∴a1=1, ∴a7=a1q6=26=64. 【答案】 A )

5.若等比数列{an}满足 an· an+1=16n,则公比为( A.2 C.8 【解析】 B.4 D.16

令 n=1,得 a1a2=16①,令 n=2,得 a2a3=162②,

② a3 得 =16,所以 q2=16,所以 q=± 4,又由①知 q>0, ① a1 ∴q=4. 【答案】 二、填空题 6.三个数 a,b,c 成等比数列,公比 q=3,又 a,b+8,c 成等差数列, 则这三个数依次为________. 【解析】 由题意知 b=3a,c=9a,又 a,b+8,c 成等差数列 B

所以 2(b+8)=a+c,即 2(3a+8)=a+9a, 解得 a=4,∴b=12,c=36. 【答案】 4,12,36

7.已知数列{an}为等比数列,若 a5-a1=15,a4-a2=6,则 a3=________. 【解】
4 ? ?a1q -a1=15, 由已知得? 3 ? ?a1q -a1q=6,

① ②

2 ① q +1 5 由 得 q =2, ②

1 1 ∴q= 或 q=2.当 q= 时,a1=-16,a3=a1q2=-4; 2 2 当 q=2 时,a1=1,a3=a1q2=4. 【答案】 4 或-4

a4+a5 1 8.各项都是正数的等比数列{an}中,a2,2a3,a1 成等差数列,则 = a3+a4 ________. 【导学号:67940014】 【解析】 1 设{an}公比为 q,∵a2,2a3,a1 成等差数列,

∴a3=a1+a2, ∴a1q2=a1+a1q, ∵a1≠0, ∴q2-q-1=0, 1± 5 解得 q= 2 . ∵数列各项都是正数,∴q>0,∴q= a4+a5 1+ 5 =q= 2 . a3+a4 1+ 5 2 1+ 5 2 ,



【答案】 三、解答题

1 9.已知等比数列{an}中,a1=27,a7=27,求 an. 【解】 1 6 由 a7=a1q6,得 27=27· q,

∴q6=272=36,∴q=± 3. 1 当 q=3 时,an=a1qn-1=27×3n-1=3n-4; 1 当 q=-3 时,an=a1qn-1=27×(-3)n-1 =-(-3)-3· (-3)n-1=-(-3)n-4. 故 an=3n-4 或 an=-(-3)n-4. 1 10.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=4(an+1)(n∈N+). (1)求 a1,a2; (2)求证:数列{an}是等比数列. 【解】 1 ∴a1=3. 1 1 又 S2=4(a2+1),即 a1+a2=4(a2+1), 1 解得 a2=-9. 1 1 (2)证明:当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4(an+1)-4(an-1+1), 3 1 解得4an=-4an-1, 即 an 1 1 1 a2 1 1 =-3,当 n=1 时 a1=3,a2=-9,∴a =-3,故{an}是以3为首项,
1

1 1 (1)由 S1=4(a1+1),得 a1=4(a1+1)

an-1

1 公比为-3的等比数列. [能力提升] 1.(2014· 天津高考)设{an}是首项为 a1,公差为-1 的等差数列,Sn 为其前 n

项和.若 S1,S2,S4 成等比数列,则 a1=( A.2 1 C.2

)

B.-2 1 D.-2

n?n-1? 【解析】 因为等差数列{an}的前 n 项和为 Sn=na1+ 2 d, 所以 S1, S2,
2 S4 分别为 a1,2a1-1,4a1-6.因为 S1,S2,S4 成等比数列,所以 S2 =S1· S4,即(2a1

1 -1)2=a1 4a1-6 ,解得 a1=-2.

(

)

【答案】

D

2.已知数列{xn}满足 lgxn+1=1+lgxn(n∈N+),且 x1+x2+x3+…+x100=1, 则 lg(x101+x102+…+x200)=( A.200 C.-200 【解析】 ) B.100 D.-100 由 lgxn+1=1+lgxn(n∈N+)得 lgxn+1-lgxn=1,

xn+1 所以 x =10,所以数列{xn}是公比为 10 的等比数列, n 所以 xn+100=xn· 10100,所以 x101+x102+…+x200 =10100(x1+x2+…+x100)=10100,所以 lg(x101+x102+…+x200) =lg10100=100. 【答案】 B

3.(2016· 苏州高二检测)在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1(n∈N+), 则数列{an}的通项公式为________. 【解析】 由题设 an+1=4an-3n+1,

得 an+1-(n+1)=4(an-n)(n∈N+). 又 a1-1=1, 所以数列{an-n}是首项为 1,且公比为 4 的等比数列,所以 an-n=4n-1,

于是数列{an}的通项公式为 an=4n-1+n. 【答案】 an=4n-1+n

4. (2016· 南昌高二检测)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 数列{bn}中, b1=a1, bn=an-an-1(n≥2),且 an+Sn=n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式. 【解】 (1)证明:∵an+Sn=n,①

∴an+1+Sn+1=n+1.② ②-①得 an+1-an+an+1=1, ∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1, ∴ an+1-1 1 = ,∴{an-1}是等比数列. an-1 2

∵首项 c1=a1-1,又 a1+a1=1, 1 1 1 ∴a1=2,∴c1=-2,公比 q=2. 又 cn=an-1, 1 1 ∴{cn}是以-2为首项,公比为2的等比数列. ? 1? ?1?n-1 ?1? ?2? =-?2?n, (2)由(1)可知 cn=?-2?· ? ?? ? ? ? ?1? ∴an=cn+1=1-?2?n, ? ? ∴当 n≥2 时,bn=an-an-1 ?1? ? ?1? ? =1-?2?n-?1-?2?n-1? ? ? ? ? ? ? ?1? ?1? ?1? =?2?n-1-?2?n=?2?n. ? ? ? ? ? ? 1 又 b1=a1=2代入上式也符合,

?1? ∴bn=?2?n. ? ?


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