2014届高考数学一轮复习 第7章 第5节《直线、平面垂直的判定及性质》名师首选练习题 新人教A版

第七章

第五节 直线、平面垂直的判定及性质

一、选择题 1.给出以下命题,其中错误的是 ( ) A.如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线 垂直于这个平面 B.垂直于同一平面的两条直线互相平行 C.垂直于同一直线的两个平面互相平行 D.两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面 2.设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是 ( ) A.若 l⊥m,m? α ,则 l⊥α B.若 l⊥α ,l∥m,则 m⊥α C.若 l∥α ,m? α ,则 l∥m D.若 l∥α ,m∥α ,则 l∥m 3. 若 m、 n 是两条不同的直线, α 、 β 、 γ 是三个不同的平面, 则下列命题中的真命题是( ) A.若 m? β ,α ⊥β ,则 m⊥α B.若 α ∩γ =m,β ∩γ =n,m∥n,则 α ∥β C.若 m⊥β ,m∥α ,则 α ⊥β D.若 α ⊥γ ,α ⊥β ,则 β ⊥γ 4.已知 α ,β ,γ 是三个不同的平面,命题“α ∥β ,且 α ⊥γ ? β ⊥γ ”是真命题, 如果把 α ,β ,γ 中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的 所有新命题中,真 命题有 ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 5.已知两条直线 m,n,两个平面 α ,β ,给出下面四个命题: ①m∥n,m⊥α ? n⊥α ; ②α ∥β ,m? α ,n? β ? m∥n; ③m∥n,m∥α ? n∥α ; ④α ∥β ,m∥n,m⊥α ? n⊥β . 其中正确命题的序号是 ( ) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 6.如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,BC 的中点,现在沿 DE,DF 及 EF 把△ADE,△ CDF 和△BEF 折起,使 A,B,C 三点重合,重合后的点记作 P,那么在四面体 P-DEF 中必有 ( )

A.DP⊥平面 PEF B.DM⊥平面 PEF C.PM⊥平面 DEF D.PF⊥平面 DEF 二、填空题 7.已知直线 l,m,n,平面 α ,m? α ,n? α ,则“l⊥α ”是“l⊥m 且 l⊥n”的________ 条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”)

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8.正四棱锥 S-ABCD 的底面边长为 2,高为 2,E 是边 BC 的中点,动点 P 在表面上运动, 并且总保持 PE⊥AC,则动点 P 的轨迹的周长为________. 9.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧 棱 AA1⊥底面 ABC,底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D 是 A1C1 的中点,点 F 在线 段 AA1 上,当 AF=________时,CF⊥平面 B1DF.

三、解答题 10.三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AC=BC=AA1=2, ∠ACB=90°,E 为 BB1 的中点,∠A1DE=90°,求证:CD⊥平面 A1ABB1.

11.如图,三棱锥 A-BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD, AE AF ∠ADB=60°,E,F 分别是 AC,AD 上的动点,且 = =λ (0<λ <1). AC AD (1)求证:不论 λ 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC; (2)当 λ 为何值时,平面 BEF⊥平面 ACD .

12. 如图, 梯形 ABCD 和正△PAB 所在平面互相垂直, 其中 AB∥DC, 1 AD=CD= AB,且 O 为 AB 的中点. 2 (1)求证:BC∥平面 POD; (2)求证:AC⊥PD.

详解答案 一、选择题 1.解析:一条直线可以垂直于一个平面内的无数条平行直线,但这条直线不垂直这个平面.

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答案:A 2.解析:根据定理:两条平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面可知 B 正确. 答案:B 3.解析:对于 A,由 m? β ,α ⊥β 显然不能得知 m⊥α ;对于 B,由条件也不能确定 α ∥ β ;对于 C,由 m∥α 得,在平面 α 上必存在直线 l∥m.又 m⊥β ,因此 l⊥β ,且 l? α , 故 α ⊥β ;对于 D,垂直于同一平面的两个平面不一定垂直,因此 D 也不正确. 答案:C 4 .解析:若 α ,β 换为直线 a,b,则命题化为“a∥b,且 a⊥γ ? b⊥γ ”,此命题为真 命题;若 α ,γ 换为直线 a,b,则命题化为“a∥β ,且 a⊥b? b⊥β ”,此命题为假命题; 若 β ,γ 换为直线 a,b,则命题化为“a∥α ,且 b⊥α ? a⊥b”,此命题为真命题,故选 C. 答案:C 5.解析:对于①,由于两条平行线中的一条直线与一个平面垂直,则另一条直线也与该平 面垂直,因此①是正确的;对于②,分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点,但 它们不一定平行,因此②是错误的;对于③,直线 n 可能位于平面 α 内,此时结论显然不 成立,因此③是错误 的;对于④,由 m⊥α 且 α ∥β 得 m⊥β ,又 m∥n,故 n⊥β ,因此 ④是正确的. 答案:C 6.解析:在正方形中,DA⊥EA,DC⊥FC, ∴在折叠后的四面体 P-DEF 中有 DP⊥EP,DP⊥FP. 又 EP∩FP=P, ∴DP⊥平面 PEF. 答案:A 二、填空题 7.解析:若 l⊥α ,则 l 垂直于平面 α 内的任意直线,故 l⊥m 且 l⊥n,但若 l⊥m 且 l⊥ n,不能得出 l⊥α . 答案:充分不必要 8.解析:如图,取 CD 的中 点 F、SC 的中点 G,连接 EF,EG,FG,设 EF 交 AC 于点 H, 易知 AC⊥EF, 又 GH∥SO, ∴GH⊥平面 ABCD. ∴AC⊥GH.又 GH∩EF=H, ∴AC⊥平面 EFG. 故点 P 的轨迹是△EFG,其周长为 2+ 6. 答案: 2+ 6 9.解析:由题意易知,B1D⊥平面 ACC1A1,所以 B1D⊥CF. 要使 CF⊥平面 B1DF,只需 CF⊥DF 即可. 令 CF⊥DF,设 AF=x,则 A1F=3a-x. 由 Rt△CAF∽Rt△FA1D, AC AF 2a x 得 = ,即 = , A1F A1D 3a-x a 整理得 x2-3ax+2a2=0,

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解得 x=a 或 x=2a. 答案:a 或 2a 三、解答题 10. 证明:∵AC=BC=2,∠ACB=90°, ∴AB=2 2. 设 AD=x,则 BD=2 2-x, ∴A1D2=4+x2,DE2=1+(2 2-x)2, A1E2=(2 2)2+1. ∵∠A1DE=90°, ∴A1D2+DE2=A1E2.∴x= 2. ∴D 为 AB 的中点.∴CD⊥AB. 又 AA1⊥CD 且 AA1∩AB=A, ∴CD⊥平面 A1ABB1. 11. 解:(1)∵AB⊥平面 BCD,∴AB⊥CD. ∵CD⊥BC,且 AB∩BC=B,∴CD⊥平面 ABC. AE AF 又∵ = =λ (0<λ <1), AC AD ∴不论 λ 为何值,恒有 EF∥ CD. ∴EF⊥平面 ABC,EF? 平面 BEF. ∴不论 λ 为何值恒有平面 BEF⊥平面 ABC. (2)由(1)知,BE⊥EF,∵平面 BEF⊥平面 ACD, ∴BE⊥平面 ACD.∴BE⊥AC. ∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°, ∴BD= 2,AB= 2tan 60°= 6. ∴AC= AB2+BC2= 7. 6 由 AB2=AE·AC,得 AE= . 7 AE 6 ∴λ = = . AC 7 6 故当 λ = 时,平面 BEF⊥平面 ACD. 7 1 12.证明:(1)因为 O 为 AB 的中点,所以 BO= AB, 2 1 又 AB∥CD,CD= AB, 2 所以有 CD=BO,CD∥BO, 所以四边形 OD CB 为平行四边形,所以 BC∥OD, 又 DO? 平面 POD,BC?平面 POD, 所以 BC∥平面 POD. (2)连接 OC. 因为 CD=BO=AO,CD∥AO,所以四边形 ADCO 为平行四边形, 又 AD=CD,所以 ADCO 为菱形, 所以 AC⊥DO, 因为△PAB 为正三角形,O 为 AB 的中点,

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所以 PO⊥AB, 又因为平面 ABCD⊥平面 PAB,平面 ABCD∩平面 PAB=AB, 所以 PO⊥平面 ABCD, 而 AC? 平面 ABCD,所以 PO⊥AC, 又 PO∩DO=O,所以 AC⊥平面 POD. 又 PD? 平面 POD,所以 AC⊥PD.

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