2019版高中数学北师大版必修3课件:第一章 §4 4.1

北师大版数学课件 2019 版 教 学 精 品 数据的数字特征 4.1 & 4.2 平均数、中位数、众数、极差、方差 标准差 预习课本 P25~31,思考并完成以下问题 (1)什么是平均数、中位数、众数? (2)什么是极差、方差、标准差? (3)方差、标准差的计算公式是什么? [新知初探] 1.平均数、中位数、众数 (1)平均数 如果有 n 个数 x1,x2,…,xn,那么 x = 叫作这 n 个数的平均数. (2)中位数 把一组数据按从小到大的顺序排列,把处于 最中间位置的那个 数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数. (3)众数 一组数据中重复出现次数 最多 的数称为这组数的众数,一组数 据的众数可以是 一个 ,也可以是 多个 . x1+x2+…+xn , n [点睛] 如果有几个数据出现的次数相同,并且比其 他数据出现的次数都多,那么这几个数据都是这组数据 的众数;若一组数据中,每个数据出现的次数一样多, 则认为这组数据没有众数. 2.极差、方差、标准差 (1)极差 一组数据中 最大值与最小值的差 称为这组数据的极差. (2)方差 标准差的平方 s2 叫作方差. 1 2 s = [(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2] n . 其中,xn 是样本数据,n 是样本容量, x 是样本平均数. (3)标准差 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表 1 2 2 2 示.s= . [ ? x 1- x ? +?x2- x ? +…+?xn- x ? ] n [点睛] (1)标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波 动的大小,标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、 方差越小,数据的离散程度越小. (2)标准差、方差为 0 时,表明样本数据全相等,数据没有 波动幅度和离散性. (3)标准差的大小不会超过极差. [小试身手] 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平均数反映了一组数据的平均水平, 任何一个样本数据的改 变都会引起平均数的变化. ( √ ) (2)一组数据中,有一半的数据不大于中位数,而另一半则不小 于中位数,中位数反映了一组数据的中心的情况.中位数不 受极端值的影响. (√ ) (3)一组数据的众数的大小只与这组数据中的部分数据有关. (√ ) (4)数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定. (√ ) (5)数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定. (√ ) 2.在某次考试中,10 名同学的得分如下:84,77,84,83,68, 78,70,85,79,95.则这一组数据的众数和中位数分别为( A.84,68 C.84,81 B.84,78 D.78,81 ) 解析:选 C 将所给数据按从小到大排列得 68,70,77,78,79,83,84,84,85,95,显然众数为 84,而本组数 据共 10 个,中间两位是 79,83,它们的平均数为 81,即 中位数为 81. 3.某学生几次数学测试成绩的茎叶图如图所示, 则该学生这几次数学测试的平均成绩为____. 解析: 根据茎叶图提供的信息知,这几次测试成绩为 1 53,60,63,71,74,75,80.所以所求的平均成绩为 ×(53+ 60+ 7 63+71+74+75+80)=68. 答案:68 4. 如图所示是某学校一名篮球运动员在五场 比赛中所得 分数的茎叶图,则该运动员 在这五场比赛中得分的方差为________. 解析: 依题意知,运动员在 5 次比赛中的分数依次为 8+9+10+13+15 8,9,10,13,15,其平均数为 =11. 5 1 由方差公式得 s = [(8-11)2+(9-11)2+(10-11)2+(13- 5 2 1 11) +(15-11) ]= (9+4+1+4+16)=6.8. 5 2 2 答案:6.8 中位数、众数、平均数的计算及应用 [典例] 如下: 据报道,某公司的 33 名职工的月工资(以元为单位) 职务 人数 工资 董事 长 1 5 500 副董事 长 1 5 000 董事 2 3 500 总经 理 1 3 000 经理 5 2 500 管理 员 3 2 000 职员 20 1 500 (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数; (2)假设副董事长的工资从 5 000 元提升到 20 000 元,董事 长的工资从 5 500 元提升到 30 000 元,那么新的平均数、中位 数、众数又是什么?(精确到元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平, 结合此问题谈一谈你的看法. [解] (1)平均数是 1 x =1 500+ (4 000+3 500+2 000× 2+1 500+1 000× 5 33 +500× 3+0×20)≈1 500+591=2 091(元), 中位数是 1 500 元,众数是 1 500 元. (2)平均数是 1 x ′=1 500+ (28 500+18 500+2 000× 2+1 500+1 000× 5 33 +500× 3+0×20)≈1 500+1 788=3 288(元). 中位数是 1 500 元,众数是 1 500 元. (3)在这个问题中,中位数或众数均能反映该公司员工的工 资水平,因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别 较大,这样导致平均数与中位数偏差较大,所以平均数不能反 映这个公司员工的工资水平. 刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数 和众数等,它们作为一组数据的代表各有优缺点,也各 有各的用处,从不同的角度出发,不同的人会选取不同 的统计量来表达同一组数据的信息,不同的统计量会侧 重突出某一方面的信息. [活学活用] 1.某学习小组在一次数学测验中,得 100 分的有 1 人,95 分的 有 1 人,90 分的有 2 人,

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