ip113:高中数学知识点_图文

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高中数学 基础知识扫描

一、集合与简易逻辑 二、函数 三、不等式 四、三角函数 五、数列 六、向量 七、解析几何 八、立体几何 九、排列、组合、二项式、概率 十、导数

一、理解集合中的有关概念 (1)集合中元素的特征: 确定性 , 互异性 , 无序性 。

(2)集合与元素的关系用符号 ? , ? 表示。

(3)常用数集的符号表示:自然数集 ;正整数集 、 整数集 ;有理数集 、实数集 。



(4)集合的表示法: 列举法 ,

描述法 ,

韦恩图



注意:区分集合中元素的形式:如:
A ? {x | y ? x 2 ? 2 x ? 1} B ? { y | y ? x 2 ? 2 x ? 1} C ? {( x, y ) | y ? x 2 ? 2 x ? 1} D ? {x | x ? x 2 ? 2 x ? 1} E ? {( x, y ) | y ? x 2 ? 2 x ? 1, x ? Z , y ? Z } F ? {( x, y ' ) | y ? x 2 ? 2 x ? 1} G ? {z | y ? x 2 ? 2 x ? 1, z ? y } x

(5)空集是指不含任何元素的集合。 ( {0} 、 ? 和 {?} 的区别;0 与三者间的关系) 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 注意:条件为 A ? B ,在讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况。 如: A ? {x | ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0} ,如果 A ? R ? ? ? ,求 a 的取值。

二、集合间的关系及其运算 (1)符号“ ?,? ”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现 点与直线 (面)的关系 ; 符号“ ?, ? ”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现 面与直 线(面)的关系 。 (2) A ? B ? {_________ } ; A ? B ? {_________} ;CU A ? {_________} (3)①若 n 为偶数,则 n ? ;若 n 为奇数,则 ; n? ②若 n 被 3 除余 0 ,则 n ? ;若 n 被 3 除余 1 ,则 ;若 n 被 3 除余 2,则 n ? ; n?

(4)对于任意集合 A, B ,则: ① A ? B ___ B ? A ; A ? B ___ B ? A ; A ? B ___ A ? B ; ② A?B ? A ? CU A ? B ? U ? CU A ? B ? ? ? ③ CU A ? CU B ? ; ; ? CU ( A ? B) ; ; A? B ? A ? ; ;

三、集合中元素的个数的计算: (1)若集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 的所有不同的子 集 个 数 为 _________ , 所 有 真 子 集 的 个 数 是 __________ , 所 有 非 空 真 子 集 的 个 数 是 。 ( 2 ) A? B 中 元 素 的 个 数 的 计 算 公 式 为 : Card ( A ? B ) ? (3)韦恩图的运用: ;

四、 A ? {x | x 满足条件 p} , B ? {x | x 满足条件 q} , 若 若 若 若 ;则 p 是 q 的充分非必要条件 ? A _____ B ; ;则 p 是 q 的必要非充分条件 ? A _____ B ; ;则 p 是 q 的充要条件 ? A _____ B ;

;则 p 是 q 的既非充分又非必要条件 ? _________

五、原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有相同的

如: “ sin ? ? sin ? ”是“ ? ? ? ”的

条件。

六、反证法: 步骤:1、假设结论反面成立; 2、从这个假设出发,推理论证,得出矛盾; 3、由矛 盾判断假设不成立,从而肯定结论正确。 矛盾的来源:1、与原命题的条件矛盾;2、导出与假设相矛盾的命题;3、导出一个恒 假命题。 适用与待证命题的结论涉及“不可能” 、 “不是” 、 “至少” 、 “至多” 、 “唯一”等字眼时。 至多有一 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 个 否定 正面词语 否定 至少有一 个 任意的 所有的 至多有 n 个 任意两个

一、映射与函数:

(1)映射的概念: A, B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中 的 一个元素,在集合 B 中都有 的元素与它对应;记作:



(2)一一映射: A, B 是两个集合, f : A ? B 是集合 A 到集合 B 的映射,如果在 这个映射下, 对于集合 A 中的 ; 在集合 B 中有 ; 而且 B 中



(3) 函数的概念: 如果 A, B 都是 到 B 的函数,记作 ;

, 那么 A 到 B 的映射 f : A ? B 就叫做 A

如:若 A ? {1,2,3,4} , B ? {a, b, c};问: A 到 B 的映射有 映射有 映射有 个; A 到 B 的函数有 个。

个, B 到 A 的

个,若 A ? {1,2,3} ,则 A 到 B 的一一

函数 y ? ? ( x) 的图象与直线 x ? a 交点的个数为

个。

二、函数的三要素: , 相同函数的判断方法:① (两点必须同时具备) (1)函数解析式的求法:

, ;②



1 1 2 ①定义法(拼凑) :如:已知 f ( x ? ) ? x ? 2 ,求: f ( x) ; x x ②换元法:如:已知 f (3x ? 1) ? 4 x ? 3 ,求 f ( x) ; ③待定系数法:如:已知 f { f [ f ( x)]} ? 1 ? 2 x ,求一次函数 f ( x) ; 1 ④赋值法:如:已知 2 f ( x) ? f ( ) ? x ? 1( x ? 0) ,求 f ( x) ; x

(2)函数定义域的求法: f ( x) ①y? ,则 g ( x) ③ y ? [ f ( x)]0 ,则 ; ② y ? 2 n f ( x) ( n ? N * ) 则 ; ④如: y ? log f ( x ) g ( x) ,则 ;



⑤含参问题的定义域要分类讨论; ⑥对于实际问题,在求出函数解析式后;必须求出其定义域,此时 的定义域要根据实际意义来确定。如:已知扇形的周长为 20,半 径为 r ,扇形面积为 S ,则 S ? f (r ) ? ;定义域为 。

(3)函数值域的求法:

①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化

为型如: f ( x) ? ax 2 ? bx ? c, x ? (m, n) 的形式; 2.导数法。求出最大值和最小值。

③判别式法:转化一个关于 x 的一元二次方程(其中 y 为参数) ,利用存在 x 使

ax 2 ? bx ? c 得方程成立,找方程有解的充要条件;适用题型: y ? 2 ( a, b 不 dx ? ex ? f
全为 0) ;有两种情况: x 无具体范围:直接套用 ? ? 0 ;

注意:若得到的一元二次方程,二次项系数是含有 y 的多项式,此时要分类讨 论。

④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想;适用 题型 y ? ax ? bx ? c ;

k ⑥基本不等式法:转化成型如: y ? x ? (k ? 0) ,利用平均值不等 x 式公式来求值域; ⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。

求下列函数的值域: a ? bx ①y? ; ( a ? 0, b ? 0, a ? b, x ? [ ?1,1]) (2 种方法) a ? bx

x2 ? x ? 3 , x ? (??,0) (2 种方法) ②y? ; x x2 ? x ? 3 , x ? (??,0) (2 种方法) ③y? ; x ?1

x2 ? x ? 3 , x ? (??,0) ; ④y? 2 x ? x ?1
x2 ? x ? 3 , x ? (??,0) (2 种方法) ⑤y? ; 2 x
⑥ y ? ?2 x ? 3 4 ? x ;⑦ y ? ?2 x ? 3 4 ? x ;⑧ y ?
2

4 ? x2 ? 4 ; x

三、函数的性质: (1)函数的单调性:对于给定区间上的函数 f ( x) ,如果对于 定义域 内任意的 x1 , x 2 ;若 有 ,都有 ,则称 f ( x) 为增函数; 都

,则称 f ( x) 为减函数;

注意: (1)函数单调性的定义是证明函数单调性的基本方法。若 函数是一个关于 x 的多项式, 还可以通过求导证明: 当 时 为增函数,当 时为减函数。 (2)单调性一般用区间表示,不能用集合表示。

三、函数的性质:

( 2 )函数的奇偶性:对于函数 f ( x) , 如果定义域内任意的 x1 , 都 有 , 则称 f ( x) 为奇函数; 都有

, 则称 f ( x) 为偶函数;

奇函数的图象关于 ,偶函数的图象关于 注意: (1) 研究函数的奇偶性, 首先要研究函数的定义域 (2) 若函数 y ? f ( x) ,x ? D 是奇函数, 且0? D, 则 如:判断 y ? ( x ? 1) 1? x 的奇偶性。 1? x

; ;



关于函数的单调性和奇偶性的的结论:

1、若奇函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上单调递增(减) ,则 f ( x) 在区间

[?b,?a ] 上是单调递



2、若偶函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上单调递增(减) ,则 f ( x) 在区间

[?b,?a ] 上是单调递



关于函数的单调性和奇偶性的的结论: 3、既是奇函数又是偶函数的函数的解析式为 样的函数有 个。

;这

4、 任意定义在 R 上的函数 f ( x ) 都可唯一地表示成一个奇函数 与一个偶函数的和:f ( x) ? g ( x) ? h( x) ; 其中 g ( x) ? 偶函数, h( x) ? 是奇函数; 是

(3)函数对称性的结论: 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,且满足条件: f (a ? x) ? f (b ? x ) ,则

函数 y ? f ( x ) 的图象关于直线

对称;

如:由 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 成立,则 f ( x) 关于

对称;

注意: y ? f (a ? x) 与 y ? f (b ? x) 关于

对称;

(4)函数的周期性:对于函数 f ( x ) ,如果存在不为零的常数 T,对于定义域 内的每一个值, 都有 关于函数周期性的结论: 若 函 数 y ? f ( x) 既 关 于 直 线 x ? a 对 称 , 又 关 于 x ? b(a ? b) 对 称 , 则 y ? f ( x) 一定是周期函数,且 T ? 是它的一个周期; 则函数 y ? f ( x ) 为周期函数,

叫周期;

四、图形变换: (1)平移变换: ①形如: y ? f ( x ? a) :把函数 y ? f ( x) 的图象沿 平移 个单位,就得到 y ? f ( x ? a) 的图象。 方向向 或 方向向 或

②形如: y ? f ( x) ? a :把函数 y ? f ( x) 的图象沿 平移 个单位,就得到 y ? f ( x) ? a 的图象。

(2)对称翻转变换: ①形如: y ? f (? x) :其函数图象与函数 y ? f ( x) 的图象关于 ②形如: y ? ? f ( x) :其函数图象与函数 y ? f ( x) 的图象关于 ③形如:y ? f
?1

对称。 对称。 对称。 对称。

其函数图象与函数 y ? f ( x) 的图象关于 ( x) :

④形如: 其函数图象与函数 y ? f ( x) 的图象关于 y ? ? f ( ? x) :

⑤形如 y ? f (| x |) :这是偶函数。其图象是关于 y 轴对称的,所以只要 先 ; 再 ; 就得到了 y ? f (| x |) 的图象。 ;就得到函数

⑥形如: y ?| f ( x) | :将函数 y ? f ( x) 的图象

y ?| f ( x) | 的图象。

(3)伸缩变换:

①形如: y ? f (?x)(? ? 0) :将函数 y ? f ( x ) 的图象横坐标(纵坐标不 变)缩小( ? ? 1 )或伸长( 0 ? ? ? 1 )到原来的 1

?

倍得到。

②形如: y ? Af ( x)( A ? 0) :将函数 y ? f ( x ) 的图象纵坐标(横坐标不 变)伸长( A ? 1 ) 或压缩( 0 ? A ? 1)到原来的 A 倍得到。 如: y ? f ( x ) 的图象如图,作出下列函数 图象: (1)y ? f (? x) ; (2)y ? ? f ( x ) ; (3) y ? f (| x |) ; (4) y ?| f ( x) | ; ( 5) y ? f ( 2 x ) ; (6) y ? f ( x ? 1) ; (7)y ? f ( x) ? 1 ; (8)y ? ? f (? x) ; ( 9) y ? f
?1

y

y=f(x)

O (2,0) (0,-1)

x

( x) 。

五、反函数:

(1)定义:设 y ? f ( x) 表示 y 是自变量 x 的函数,它的定义域为 A ,值域为

C ,由式子 y ? f ( x) 解出 x ,得到式子 x ? ? ( y ) ,如果对于 y 在 C 中的

任何一个值, 通过式子 x ? ? ( y ) ,x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应,

那么式子 x ? ? ( y) 就表示 x 是自变量 y 的函数,这样的函数 x ? ? ( y) ,

叫做 y ? f ( x) 的反函数,记为 x ? f ?1 ( y ) ,即 x ? ? ( y ) ? f ?1 ( y ) ,习惯上 仍用 x 表示自变量, y 表示函数,把它改写成 y ? f ?1 ( x) 。 (2)函数存在反函数的条件: (3)互为反函数的定义域与值域的关系: ; ;

(4) 求反函数的步骤: ①将 y ? f ( x) 看成关于 x 的方程, 解出 x ? f 若有两解, 要注意解的选择; ②将 x, y 互换, 得y? f ③写出反函数的定义域(即 y ? f ( x) 的值域) 。

?1

( y) ,

?1

( x) ;

(5)互为反函数的图象间的关系: ; (6)原函数与反函数具有相同的单调性; (7)原函数为奇函数,则其反函数仍为奇函数;原函数为偶函数,它一 定不存在反函数。
x 2 如:求下列函数的反函数: f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 3( x ? 0) ; f ( x) ? x ; 2 ?1

x f ( x ) ? log 2 ? 2( x ? 0 ) x ?1

六、复合函数: (1)定义:如果 y 是 u 的函数,记为 y ? f (u) , u 又是 x 的函数,记为

u ? g ( x) ,且 g ( x) 的值域与 f (u ) 的定义域的交集不空,则
确定了一个 y 关于 x 的函数 y ? f [ g ( x)] ,这时 y 做 x 的复合 函数, 其中 u 叫做中间变量, y ? f (u) 叫做外层函数, u ? g ( x) 叫做内层函数。 (2)复合函数单调性: ;

七、常用的初等函数: (1)一元一次函数: y ? ax ? b(a ? 0) 当 a ? 0 时,是增函数;当 a ? 0 时,是减函数; (2)一元二次函数: 一般式: y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) ;对称轴方程是 两点式: y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ;对称轴方程是 顶点式: y ? a ( x ? k ) 2 ? h ;对称轴方程是 ①一元二次函数的单调性: 当 a ? 0 时: 为增函数; 当 a ? 0 时: 为增函数; ;顶点为 ;与 x 轴的交点为 ;顶点为 ; 为减函数; 为减函数; ;



②二次函数求最值问题:首先要采用配方法,化为 y ? a( x ? k ) 2 ? h 的

形式, Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上,则 a ? 0 时:在顶点处取得最小值,最大值在距离对称轴较远的端 点处取得; a ? 0 时:在顶点处取得最大值,最小值在距离对称轴较远的端 点处取得; Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上,则 a ? 0 时:最小值在距离对称轴较近的端点处取得,最大值在距 离对称轴较远的端点处取得; a ? 0 时:最大值在距离对称轴较近的端点处取得,最小值在距 离对称轴较远的端点处取得;

②二次函数求最值问题:首先要采用配方法,化为 y ? a( x ? k ) 2 ? h 的形式, 有三个类型题型: (1)顶点固定,区间也固定。如: y ? x 2 ? x ? 1, x ? [?1,1] (2)顶点含参数(即顶点变动),区间固定,这时要讨论顶点横坐标 何 时 在 区 间 之 内 , 何 时 在 区 间 之 外 。 如 : y ? x 2 ? ax ? 1, x ? [?1,1] (3)顶点固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数. y ? x 2 ? x ? 1, x ? [a, a ? 1]

a c (3)反比例函数: y ? ( x ? 0) ? y ? a ? x x?b a a y ? ( x ? 0) y ?c? ( x ? b) x x?b





定义域 值 域 a?0 单调 性 a?0 对称中心 渐近线

(4)指数函数: y ? a x (a ? 0, a ? 1) 指数运算法则: ; ; 0 ? a ?1 图 象 。 a ?1

定义域 值 域 x?0 函数 值 x?0 单调性

(5)对数函数: y ? log a x (a ? 0, a ? 1) 指数运算法则: ; (1) log a n b m ? (2)换底公式: (3)对数恒等式: 0 ? a ?1 图 象 ; ; ; ; a ?1 ;

0 ? a ?1
定义域 值 域 x?0 函数 值 x?0 单调性

a ?1

注意: (1) y ? a x 与 y ? log a x 的图象关系是



(2)比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相 应的指数或对数函数, 若底数不相同时转化为同底 数的指数或对数,还要注意与 1 比较或与 0 比较。 (3)已知函数 f ( x ) ? log 1 ( x 2 ? kx ? 2) 的定义域为 R ,
2

求 k 的取值范围。 已知函数 f ( x ) ? log 1 ( x 2 ? kx ? 2) 的值域为 R ,求
2

k 的取值范围。

k 六、 y ? x ? ( k ? 0) x

图象: ; ; ; 是增函数; 是减函数。

定义域: 值域: 奇偶性: 单调性:

七、补充内容: (1)抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型: ① f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 正比例函数 f ( x) ? kx(k ? 0) ② f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ③ f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ; f ( ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x2 x1 ? x 2 x1 ? x 2 ④ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 f ( )? f ( )? 2 2 ; ; ;

(2)不等式恒成立的条件: (1)已知 f ( x) ? ax ? b, a, b ? R, 且 a ? 0, m1 , m2 ? R ;则 (a) f ( x) ? 0 在 x ? (m1 , m2 ) 时恒成立 ? (b) f ( x) ? 0 在 x ? (m1 , m2 ) 时恒成立 ? (2)已知 f ( x ) ? ax 2 ? bx ? c, a, b, c ? R (a) f ( x) ? 0 在 x ? R 时恒成立 ? (b) f ( x) ? 0 在 x ? R 时恒成立 ? (c) f ( x) ? 0 在 x ? R 时恒成立 ? 或 或 或 ; ;

; 可借助一次函数得到。

; (可借助一次函数) ;或二次函数得到) 。

(3) f ( x ) ? a 恒成立 ? [ f ( x )]min ? a ; f ( x ) ? a 恒成立 ? [ f ( x)]max ? a

一、不等式的基本性质为: ① ; ② ; ③ ; ④ ; ⑤ ; ⑥ ; ⑦ ; ⑧ ; 注意:特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法,此 法尤其适用于不成立的命题。

二、均值不等式:两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 a?b 若 a, b ? 0 ,则 ? ab (当且仅当 a ? b 时取等号) 2 a?b 2 基本变形:① a ? b ? ;( ) ? ; 2 2ab ② ? ______ ? _______ ? a?b
2 2

a2 ? b2 2

a 2 ? b2 a?b 2 ③若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2ab , ?( ) 2 2
a?b 2 ④ _______ ? ( ) ? _________ 2

基本应用:①放缩,变形;②求函数最值: 注意:①一正二定三取等;②积定和小,和定积大。 当 ab ? p (常数) ,当且仅当 时, ; ; 。

当 a ? b ? S (常数) ,当且仅当 时, 常用的方法为:拆、凑、平方; 9 1 ( x ? ) 的最小值 如:①函数 y ? 4 x ? 2 ? 4x 2

1 1 ④若正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则 ? 的最小值 x y



四、常用的基本不等式: (1)设 a, b ? R ,则 a 2 ? 0, (a ? b) 2 ? 0 (当且仅当 (2) | a |? a (当且仅当 时取等号) 时取等号)

时取等号) ; | a |? ?a (当且仅当

(3)若 a ? 0, b ? 0 ,则 a 3 ? b 3 ? a 2 b ? ab 2 (4)若 a, b, c ? R ,则 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca

四、常用的基本不等式:

(5)若 a, b, c ? R ,则 3(ab ? bc ? ca) ? (a ? b ? c) 2 ? 3(a 2 ? b 2 ? c 2 )
2 2 2 2

(6)柯西不等式:设 a1 , a 2 , b1 , b2 ? R ,则 (a1b1 ? a 2 b2 ) 2 ? (a1 ? a 2 )(b1 ? b2 ) 注意:可从向量的角度理解:设 a ? (a1 , a 2 ), b ? (b1 , b2 ) ,则 (a ? b) ? a b
2 2 2

1 1 1 1 (7) a ? b, ab ? 0 ? ? ; ? ? ; a b a b b b b?m b b b?m ? (8) a, b ? 0, m ? R ,若 ? 1 ,则 ? ;若 ? 1 ,则 ? ; a a a?m a a a?m

五、证明不等式常用方法: (1)比较法:①作差比较: A ? B ? 0 ? A ? B A ②作商比较: ? 1( B ? 0) ? A ? B B 作差比较的步骤: ⑴作差:对要比较大小的两个数(或式)作差。 ⑵变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和。 ⑶判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意: 若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小。 (2)综合法:由因导果。 (3)分析法:执果索因。基本步骤:要证??只需证??,只需证?? (4)反证法:正难则反。 (5)放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。

六、不等式的解法: (1)如果两个不等式的解集相等,那么这两个等式就叫做同解不等式, 解不等式主要是依据不等式的性质和同解变形原理,求解原不等式 的同解不等式。 (2)不等式的同解原理主要有: 1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得不等式 与原不等式同解。 2、不等式两边都乘上(或除以)同一个正数或同一个大于零的整式, 所得不等式与原不等式同解。 3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数或同一个小于零的整式, 并把不等号改变方向后,所得不等式与原不等式同解。 (3)一元一次不等式: Ⅰ、 ⑴若 a ? 0 , 则 ax ? b(a ? 0) : Ⅱ、 ⑴若 a ? 0 , 则 ax ? b(a ? 0) : ; ⑵若 a ? 0 , 则 ; ⑵若 a ? 0 , 则





(4)一元二次不等式: 一元二次不等式二次项系数小于零的, 同解变形为二次项系数大于零; 注:要对 ? 进行讨论: Ⅰ、 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) : ⑴ ;⑵ ;⑶ ;

Ⅱ、 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) : ⑴ ;⑵ ;⑶



(5)绝对值不等式: 若 a ? 0 ,则 | x |? a ? ⑴ | f ( x) |? g ( x) ? ⑶ | f ( x) |?| g ( x) |? ; | x |? a ? ;⑵ | f ( x) |? g ( x) ? ; ; ;

⑷含有多个绝对值符号的不等式可用 “按零点分区间讨论” 的方 法来解。 注意:Ⅰ、几何意义: | x | ;| x ? m | : ;

Ⅱ、解有关绝对值的问题,考虑去绝对值,去绝对值的方 法有: ⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值; ①若 a ? 0 则 | a |? ③若 a ? 0 则 | a |? ;②若 a ? 0 则 | a |? ; ;

⑵通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。

(6)高次不等式:化成标准型 P( x ) ? ( x ? x1 )( x ? x 2 )( x ? x3 ) ? ( x ? x n ) ? 0(? 0) , 利用表解法和序轴表根法写出解集。 序轴表根法求解的步骤: ⑴将每个因式的根标在数轴上; ⑵从右上方依次通过每个点画出曲线, 注意:



⑶根据曲线显示的 P( x) 值的符号变化写出不等式的解集。 注意:每个因式中 x 前的系数都为正值。

(7)分式不等式的解法:通解变形为整式不等式; ⑴

f ( x) ?0? g ( x)

;⑵

f ( x) ?0? g ( x)



f ( x) ⑶ ?0? g ( x)

f ( x) ;⑷ ?0? g ( x)



(8)无理不等式的解法:通解变形为有理不等式; ⑴ ⑵ ⑶ f ( x) ? g ( x) ? ; ; ;

f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

注意:⑴保证根式有意义;⑵取根号的方法是平方、换元, 通过两边平方去根号,不等式两边要为非负值。

(9)指数不等式: ⑴ a f ( x ) ? b(b ? 0, a ? 0且a ? 1) ? ⑵ a f ( x ) ? a g ( x ) ( a ? 0且a ? 1) ? ; ;

⑶ A ? a 2 f ( x ) ? B ? a f ( x ) ? C ? 0(? 0) 利用换元法,令 t ? a f ( x ) 将不等式化为一元二次不等式来解。 注意:对底数的讨论。

( 10)对数不等式: ⑴ log a f ( x) ? b ? ;

⑵ log a f ( x) ? log a g ( x) ? 注意:⑴对底数的讨论;⑵真数大于零; ⑶解指数、 对数不等式的一般步骤: 统一底数 ? 同 解变形 ? 分类讨论(底数) ;

( 11)不等式组的解法:分别求出不等式组中,每个不等式的解集,然 后求其交集,即是这个不等式组的解集,在求交集中,通常把每 个不等式的解集画在同一条数轴上,取它们的公共部分。 (12)解含有参数的不等式: 一般是对含参数的不等式进行恰当的分类和讨论: ⑴对二次项系数含有参数的一元二次不等式, 要注意二次项系数为 零转化为一元一次不等式的问题。 ⑵对含参数的一元二次不等式,还要分 ? ? 0 、 ? ? 0 、 ? ? 0 讨论。 ⑶对一元二次不等式和分式不等式转化为整式不等式后有根,且根

为 x1 , x 2(或更多)但含参数,要分 x1 ? x2 、 x1 ? x2 、 x1 ? x2 讨论。 ⑷对指数、对数不等式要注意对底数分 a ? 1 、 0 ? a ? 1 进行讨论。 a( x ? 1) a?x 如: (1) ? 1(a ? 1) ; (2) 2 ?0 x?2 a ? x?2

一、角的概念和弧度制: (1)在直角坐标系内讨论角: 角的顶点在原点,始边在 x 轴的正半轴上,角的终边在第几 象限,就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上, 就说这个角不属于任何象限,它叫象限界角。

(2)①与 ? 角终边相同的角的集合: {? | ? ? 360k ? ? , k ? Z } 与 ? 角终边在同一条直线上的角的集合: 与 ? 角终边关于 x 轴对称的角的集合: 与 ? 角终边关于 y 轴对称的角的集合: 与 ? 角终边关于 y ? x 轴对称的角的集合: ②一些特殊角集合的表示: 终边在坐标轴上角的集合: ; 终边在一、 三象限的平分线上角的集合: 终边在二、四象限的平分线上角的集合: 终边在四个象限的平分线上角的集合:

; ; ;



; ; ;

(3)区间角的表示: ①象限角:第一象限角: ;第三象限角: 第一、三象限角: ②写出图中所表示的区间角:③④⑤⑥
y y

; ;

O

x

O

x

(4)正确理解角: 要正确理解“ 0 o ~ 90 o 间的角”= “第一象限的角”= “小于 90o 的角”= (5)由 ? 的终边所在的象限,通过 ; “锐角”= ; 来判断 ; ;

?

2 (6)弧度制:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度 l 数为零;任一已知角 ? 的弧度数的绝对值 | ? |? ,其中 l 为以角 ? 作 r 为圆心角时所对圆弧的长, r 为圆的半径。 (7)弧长公式: ;半径公式: ; 扇形面积公式: ;

所在的象限。

二、任意角的三角函数: (1)任意角的三角函数定义: 以角 ? 的顶点为坐标原点, 始边为 x 轴正半轴建立直角坐标 系, 在角 ? 的终边上任取一个异于原点的点 P( x, y) , 点P到 原点的距离记为 r ,则 sin ? ? ; cot ? ? tan ? ? ; csc ? ? ; cos ? ? ; sec ? ?

; ;

如 : 角 ? 的 终 边 上 一 点 (a,? 3a ) , 则 cos ? ? 2 sin ? ? 。

(2)在图中画出角 ? 的正弦线、余弦线、正切线;
y y a O y a O y x O

O

a

x

x

a

? 比较 x ? (0, ) , sin x , tan x , x 的大小关系: 2



(3)特殊角的三角函数值:

?
sin ? cos ? tan ?

0

?
6

?
4

?
3

?
2

?

3? 2

cot ?

三、同角三角函数的关系与诱导公式: (1)同角三角函数的关系 平方关系是 倒数关系是 商式关系是 , , , , , ; ; 。

作用: 已知某角的一个三角函数值, 求它的其余各三角函数值。

(2)诱导公式: 2k? ? ? ? ? : ? ?? ?? : ?? ? ? : ? ?? ? ? : 2? ? ? ? ? :

, , , , , , ,

, , , , , , , , , ,

; ; ; ; ; ; ; ; ; 。

? ?

2

?? ? ? : ?? ?? :

2 3? ?? ? ? : , 2 3? ?? ?? : , 2 诱导公式可用概括为: 作用:求任意角的三角函数值。

(3)同角三角函数的关系与诱导公式的运用: ①已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值。 注意:用平方关系,有两个结果,一般可通过已知角所在的象限加以取 舍,或分象限加以讨论。 ②求任意角的三角函数值。 步骤:
任意负角的 三角函数 公式三、一 任意正教的 公式一 三角函数 0o~360o 角的 三角函数 0o~90o 角的 三角函数 公式二、 四、五、 六、七、 八、九

求值

③已知三角函数值求角:注意:所得的解不是唯一的,而是有无 数多个. 步骤: ①确定角 ? 所在的象限;

②如函数值为正, 先求出对应的锐角 ? 1 ; 如函数值为负, 先求出与其绝对值对应的锐角 ? 1 ; ③根据角 ? 所在的象限,得出 0 ~ 2? 间的角——如果适合 已知条件的角在第二限;则它是 ? ? ? 1 ;如果在第三或 第四象限,则它是 ? ? ? 1 或 2? ? ? 1 ;

③已知三角函数值求角: 注意:所得的解不是唯一的,而是有无数多个. 步骤: ④如果要求适合条件的所有角,再利用终边相同的角的表 达式写出适合条件的所有角的集合。 如 tan ? ? m , 则 sin ? ? , cos ? ? ; 3? 15? sin( ??) ? ; cot( ? ? ) ? _________。 2 2 注意:巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度: ( 3,4,5) ; (6,8,10) ; (5,12,13) ; (8,15,17) ;

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在 三角函数中正余弦是基础,通常化切、割为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为 三角函数值,例如常数“1”的代换变形有: 1 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? sec 2 ? ? tan 2 ? ? tan ? cot ? ? sin 90 o ? tan 45 o (4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式, 一 般 采 用 降 幂 处 理 的 方 法 。 常 用 降 幂 公 式 有: ; 。降幂并非绝对,有时需要 升幂,如对无理式 1 ? cos ? 常用升幂化为有理式,常用升幂公式 有: ; ;

(6)三角函数式的化简运算通常从: “角、名、形、幂”四方面入手;

基本规则是:切割化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次 化低次,特殊值与特殊角的三角函

六、三角函数的图象和性质:

(1)正弦函数 y ? sin x 、余弦函数 y ? cos x 及正切函数 y ? tan x 的性质: y ? sin x 图 作法: 象 ; y ? cos x y ? tan x

定义域 值域 最值(指 最大值 出此时 x 的值) 最小值 周期 奇偶性 对称性 单调性 对称轴 中心 增区间 减区间

(2) y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0) 与 y ? A cos(?x ? ? )( A ? 0) ① y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0) 可由 y ? sin x 怎样变化得到: (a)先平移后伸缩: y ? sin x (
( ) y ? sin( x ? ? ) ( ) ( ) y ? sin( ?x ? ? )( ) ( ) y ? A sin(?x ? ? ) )

(b)先伸缩后平移:

y ? sin x

( (

( ) y ? sin ?x ( )

) y ? sin( ?x ? ? )( ) (

) y ? A sin(?x ? ? ) )

注意:对于由三角函数图象求 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 的解析式的问题:即确定 ? , ? ; 1 得到,在图象中,相邻的最大值和最小值间的距离为周期的 ;相 ? 2 1 邻的最大值或最小值与零点间的距离为周期的 。 4

? :可由 T ?

2?

? :可运用 xo ? ?

? 得到,其中 x o 为最大值左侧和原点最近的第一个零点的横坐标。 ?

② y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0) 与 y ? A cos(?x ? ? )( A ? 0) 的性质: y ? A sin( ?x ? ? )( A ? 0) 定义域 值域 最值 最大值 (指出 此时 x 最小值 的值) 周期 奇偶性 对称性 对称轴 中心 增区间 单调性 减区间 如:函数 y ? 2 cos( 2 x ? 函数 y ? 2 cos( y ? A cos(?x ? ? )( A ? 0)

?
3

) 的单调增区间为

; ; ;

?
3

? 2 x) 的单调增区间为

函数 y ? log a sin( 3 x ?

?
6

) 的单调减区间为

③ 函 数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B(其中A ? 0,? ? 0)的 最 大 值 是 是 初相是 线 中心。 ,最小值是 ,周期 , 频率是 , 相位是 , ;其图象的对称轴是直 ,点 是该图象的对称

九、解斜三角形: (1)正弦定理: = = = 2R ( R 为 ) (2)余弦定理: ; ; ; (3)求角公式: cos A ? ; cos B ? ; cos C ? ; 注意:正余弦定理适用的题型: (一)余弦定理适用的题型: ①已知三边,求三个角; ②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角; (二)正弦定理适用的题型: ①已知两角和任一边,求其他两边和一角; ②已知两边和一边的对角,求第三边和其他两个角; (解 常不唯一)

(4)三角形解的个数: 已知两边和其一边的对角解三角形,有两解、一解、无解三种情况: (一) A 为锐角:
C C C

b
A

a
A

b

a
B A

b
B1

C

a

a
B2 A

b

a
B

① a ? b sin A 无解

② a ? b sin A 一解

③ b sin A ? a ? b 两解

④ a ? b 一解

(二) A 为直角或钝角: ① a ? b 无解; ② a ? b 一解; 亦可以用下面的方法来解题: b sin A ①先计算 sin B ? a

C

a b
A B

b sin A ②若 a ? b 且 ? (0,1) ,有唯一解,且 B ? 90o a ?? 1 b sin A ? 若a ? b由 ?? 1 a ? ?? 1 无解 有一解B ? 90 o 有两解,且B1 ? B2 ? 180 o

(5)面积公式: S ?ABC

1 ? 底?高 ? 2 ?

=

= abc ? r?p 4R

p ( p ? a )( p ? b)( p ? c ) ?

1 其中 p ? (a ? b ? c) , R 、 r 分别为 ?ABC 的外接圆和内切圆的半径。 2 (6)三角形中常用的结论: ①任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。 ②边角之间的不等式关系: A ? B ? a ? b ③ A ? B ? C ? ? ; A ? B ? ? ? C ; A ? ? ? ( A ? B) A? B ④ sin ? 2 ⑤ sin( A ? B ) ? ⑥ sin(2 A ? 2 B) ? A? B ; cos ? 2 ; cos( A ? B) ? ; cos(2 A ? 2 B) ? ; ; ;

一、数列定义: 数列是按照一定次序排列的一列数,那么它就必定有开头的数, 有相继的第二个数,有第三个数,??,于是数列中的每一个数都对 应一个序号;反过来,每一个序号也都对应于数列中的一个数。因此, 数列就是定义在正整数集 N * (或它的有限子集 {1,2,3,?, n} )上的函 数 f (n) ,当自变量从 1 开始由小到大依次取正整数时,相对应的一列 函数值为 f (1), f (2),?; 通常用 a n 代替 f (n ) ,于是数列的一般形式

常记为 a1 , a 2 , ? 或简记为 {a n } ,其中 a n 表示数列 {a n } 的通项。

注意: (1) {a n } 与 a n 是不同的概念, {a n } 表示数列 a1 , a2 ,?,而 a n 表 示的是数列的第 n 项; (2)数列的项与它的项数是不同的概念,数列的项是指这个数 列中的某一个确定的数,它是一个函数值;而项数是指这 个数在数列中的位置序号,它是自变量的值。 ? S1 (n ? 1) (3) a n 和 S n 之间的关系: a n ? ? ?S n ? S n?1 (n ? 2) 如:已知 {a n } 的 S n 满足 lg( S n ? 1) ? n(n ? N * ) ,求 a n 。

二、等差数列、等比数列的性质: 等差数列 定义 如果一个数列从第 2 项起,每一 项与它的前一项的差等于同一个 常数,这个数列就叫等差数列

等比数列 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比 等于同一个常数,这个数 列就叫做等比数列 an 或 ? q ( n ? N * , n ? 2) , a n ?1 a n ?1 ; ? q(q ? 0) an

公差 (比)

a n ? a n ?1 ? d ( n ? N * , n ? 2) ,或

a n ?1 ? a n ? d ;

通项公 式

an ?

? am ? =

an ? 由错项相减法推得

? am

d?

求和公 式

由倒序相加法推得 Sn ? =

① q ? 1, Sn ? ② q ? 1, Sn ?

=

若 {a n } 为等差数列 用函数的 思想理解 通项公式 a n ? an ? b ,则 a? , ; b? 等差数列的图象是直 线上的均匀排开的一 群孤立的点 若 {a n } 为等比数列 a n ? ca n ,则 a? c? , ;

若 {a n } 为等比数列, 等 差 数 列 {a n } , S n ? An 2 ? Bn ? C , 用函数 的思想 理解求 和公式 则C ? ; ; A? ; B? 若 C ? 0 ,说明: ( n, S n ) 在 二 次 函 数 的图象上, 是一群孤立 的点。 S n ? Aa n ? B ,则 a? ;A? ; B? ; (其中 的系数 与 为互为相反 数,这是公式一很 重要特点,注意前 ; 提 条 件 q ? 0, q ? 1 。 ) 若 B ? ? A ,说明: 等 比 数 列 {a n } , S n ? 3 n ? a ,则 a ? ;

{a n } 为递增数列 ? 增减 性 {a n } 为递减数列 ? {a n } 为常数列 ?

{a n } 为递增数列 ? ; {a n } 为递减数列 ? ; {a n } 为常数列 ? 。 {a n } 为摆动数列 ? ; ;

; ;

等差 (比 )中 项

任意两个数 a, b 有且只 有 一 个 等 差 中 项 , 即 两 个 数 a, b 的 等 比 中 项 为 ;两个数的 为 ; ( ab ? 0 ) 等差中项就是这两个数 的算术平均数。

a1 ? an ? a2 ? ____? _____ ? an?m ? ? ? 2a中

a1 ? an ? a2 ? ____ ? _____ ? an?m ? ? ? a中
2

若 m ? n ? p ? q ,则_ _____; 若 m ? n ? p ? q ,则___ __; 等差 (比) 特 别 当 m ? n ? 2 p , 数列 则 ; 的性 在等差数列中, 每隔相同的项 质 抽出来的项按照原来顺序排 列, 构成的新数列仍然是等差 数列, 但剩下的项按原顺序构 成的数列不一定是等差数列。 如: a1 , a3 , a5 ,? ;问公差为 特别当 m ? n ? 2 p , 则 ; 在等比数列中,每隔相同的项抽 出来的项按照原来的顺序排列, 构成的新数列仍然是等比数列, 剩下的项按原顺序构成的数列也 不一定是等比数列。 如: a1 , a3 , a5 ,? ;问公比为

等比数列中还有以下性质须注意: (1) 若 {a n } 是等比数列, 则 {?a n }(? ? 0) ,{| a n |} 也是等比数列, 公比分别 ; ;

1 (2)若 {a n } 是等比数列,则 { } ,{a n 2 } 也是等比数列,公比分 an 别 ; ;

三、判定方法: (1)等差数列的判定方法: ①定义法: a n?1 ? a n ? d 或 a n ? a n ?1 ? d (n ? 2) ( d 为常数) ? {a n } 是等差 数列 ②中项公式法: 2a n?1 ? a n ? a n? 2 ? {a n } 是等差数列 ③通项公式法: a n ? pn ? q ( p, q 为常数) ? {a n } 是等差数列 ④前 n 项和公式法: S n ? An 2 ? Bn ( A, B 为常数) ? {a n } 是等差数列 注意:①②是用来证明 {a n } 是等差数列的理论依据。

(2)等比数列的判定方法: a n?1 an ①定义法: ?q或 ? d (n ? 2) ( q 是不为零的常数) ? {a n } 是等比数列 an a n?1 ②中项公式法: a n?1 ? a n ? a n? 2 (a n a n?1a n? 2 ? 0) ? {a n } 是等差数列 ③通项公式法: a n ? cq n ( c, q 是不为零常数) ? {a n } 是等差数列 ④前 n 项和公式法: S n ? kq 2 ? k ( k ? a1 是常数) ? {a n } 是等差数列 q ?1
2

注意:①②是用来证明 {a n } 是等比数列的理论依据。

四、数列的通项求法: (1) 观察法: 如: (1) 0.2, 0.22, 0.222, ?? (2) 21, 203, 2005, 20007, ?? (2)化归法:通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。 ①递推式为 a n?1 ? a n ? d 及 a n?1 ? qa n ( d , q 为常数) : 直接运用等差(比)数列。 ②递推式为 a n?1 ? a n ? f (n) :迭加法 如:已知 {a n } 中 a1 ? 1 1 , a n?1 ? a n ? 2 ,求 a n 2 4n ? 1

③递推式为 a n?1 ? f (n)a n :迭乘法 如:已知 {a n } 中 a1 ? 2 , a n?1 n ?1 ? a n ,求 a n n

④递推式为 a n?1 ? pa n ? q ( p, q 为常数) : ? a n?1 ? pa n ? q 构造法:Ⅰ、由 ? ?a n? 2 ? pa n ?1 ? q 相减得 (a n? 2 ? a n ?1 ) ? p(a n ?1 ? a n ) ,则 {a n?1 ? a n } 为等比数列。 Ⅱ、设 (a n?1 ? t ) ? p(a n ? t ) ,得到 pt ? t ? q , t ?

q , p ?1

q 则 {an ? } 为等比数列。 p ?1
如:已知 a1 ? 1, a n ?1 ? 2a n ? 5 ,求 a n

⑤递推式为 a n?1 ? pa n ? q n ( p, q 为常数) : 两边同时除去 q
n ?1

a n ?1 p a n 1 an 得 n?1 ? ? n ? , 令 bn ? n , 转 化 为 q q q q q

bn?1 ?

p 1 bn ? ,再用④法解决。 q q

5 1 1 n?1 如:已知 {a n } 中, a1 ? , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 a n 6 3 2 ⑥递推式为 a n? 2 ? pa n?1 ? qa n ( p, q 为常数) : 将 a n? 2 ? pa n?1 ? qa n 变形为 a n? 2 ? ta n?1 ? s(a n ?1 ? ta n ) , ?s ? t ? p 可得出 ? 解出 s , t ,于是 {a n ?1 ? ta n } 是公比为 s 的等比数列。 ? st ? ?q

? S1 , n ? 1 (3)公式法:运用 a n ? ? ?S n ? S n ?1 , n ? 2 ①已知 S n ? 3n 2 ? 5n ? 1 ,求 a n ②已知 {a n } 中, S n ? 3 ? 2a n ,求 a n 2S n ③已知 {a n } 中, a1 ? 1, a n ? ( n ? 2) ,求 a n 2S n ? 1
2

五、数列的求和法: (1)公式法: ①等差(比)数列前 n 项和公式: ②1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ; n(n ? 1)(2n ? 1) ③ 12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ? ; 6 n(n ? 1) 2 ④ 13 ? 2 3 ? 33 ? ? ? n 3 ? [ ] 2 (2)倒序相加(乘)法:
0 1 2 n 如:①求和: S n ? C n ? 2C n ? 3C n ? ? ? (n ? 1)C n ;

②已知 a, b 为不相等的两个正数,若在 a, b 之间插入 n 个正数,使它 们构成以 a 为首项, b 为末项的等比数列,求插入的这 n 个正数 的积 Pn ; (3)错位相减法:如:求和: S ? x ? 2 x 2 ? 3 x 3 ? ? ? nx n

1 (4)裂项相消法: a n ? ? n( n ? k )

; an ?

1 n?k ? n


?



1 1 1 1 如:① S ? ? ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ? (n ? 1) 1 1 1 1 ②S ? ? ? ??? ? 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n ? ( n ? 2)
③若 a n ?



1 n ? n ?1

,则 S n ?



(5)并项法:如:求 S100 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 99 ? 100 (6)拆项组合法:如:在数列 {a n } 中, a n ? 10 n ? 2n ? 1 ,求 S n ,

六、数列问题的解题的策略: (1)分类讨论问题:①在等比数列中,用前 n 项和公式时,要 对公比 q 进行讨论; 只有 q ? 1 时才能用 前 n 项和公式, q ? 1 时 S1 ? na1 ②已知 S n 求 a n 时,要对 n ? 1, n ? 2 进行讨论; 最后看 a1 满足不满足 a n (n ? 2) ,若满足 a n 中的 n 扩展到 N * ,不满足分段写成 a n 。

(2)设项的技巧: ①对于连续偶数项的等差数列,可设为

?, a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,? ,公差为 2d ;
对于连续奇数项的等差数列,可设为

?, a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d ,? ,公差为 d ;
②对于连续偶数项的等比数列,可设为 ?, 公比为 q 2 ; 对于连续奇数项的等比数列,可设为 ?, 公比为 q ; a a 2 , , a , aq , aq ,? 2 q q a a 3 , , aq , aq ,? , 3 q q

一、基本概念: ( 1) 向量的定义: 叫做向量, 可用字母表示, 如: ; 也可用向量的有向线段的起点和终点字母表示, 如: ; (2)向量的两个要素: 、 ;其中向量的大 小又称为 ;记为: ; (3)向量与数量的区别:向量不同于数量,它是一种新的量, 数量是只有大小的量,其大小可以用正数、负数或 0 来表 示;它是一个代数量,可以进行各种代数运算;数量之间 可以进行大小比较, “大于” 、 “小于”的概念对数量是适用 的。向量是既有大小又有方向的量;向量的模是正数或 0, 是可以进行大小比较的; 由于方向不能比较大小, 因此 “大 于” 、 “小于”对向量来说是没有意义的。

(4)特殊形式的向量: ①零向量: ;记为: ;方向为 ;规定:零 向量与任一向量 ; ②单位向量: ; ③自由向量:一个向量只要不改变它的大小和方向,它的起 点和终点可以任意平行移动的向量, 叫做自由向量(本书研 究的都是自由向量). ④平行向量: 叫做平行向量(也称为共线向量); 向量 a 与向量 b 平行,记作: ;

(4)特殊形式的向量: ⑤相等向量: 叫做相等向量;向量 a 与向量 b 相等,

记作: ; 注:①零向量与零向量相等; ②任意两个相等的非零向量, 都可以用一条有向线段 表示,并且与有向线段的起点无关。 ③两个向量相等是一个很重要的概念, 从几何意义上 看, 就是这两个向量的长度相等且方向相同; 从代 数表达式考虑, 就是它们对应的系数相等; 对于用 坐标表示的向量来说,就是这两个向量的坐标相 等,这一点在解题中有很重要的作用。 ⑥相反向量: 记作: 叫做相反向量, 向量 a 与向量 b 相反, ;

二、向量的表示法 (1)几何表示法:用有向线段表示,如: AB ; (2)字母表示法:用一个小写字母表示,如: a ; 注意:解题时,向量中的箭头不可省。 (3)坐标表示法:在直角坐标系内,分别取 的两个单位自量

则对任一向量 a 有且只有一对实数 x, y ,使 a ? xi ? y j , i, j 作基底, 就把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 ;

注意:① x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标。 ② i ? (1,0) ; j ? (0,1) ; 0 ? (0,0) ;

三、向量的运算: (1)向量的加法: ①向量法:三角形法则,平行四边形法则

a?b b a

a?b b a

②坐标法:若 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x 2 , y 2 ) ,则 a ? b ? ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) ; ③重要结论: Ⅰ围成一周顺次始终相结的向量的和为 0 ; Ⅱ当两向量平行时,平行四边形法不适用,可用三角形法则。

(2)向量的减法 ①向量法:三角形法则、平行四边形法 a

a ?b b

a b

a ?b

②坐标法:若 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x 2 , y 2 ) ,则 a ? b ? ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) ; ③重要结论: ? (? a ) ? a ; a ? (? a ) ? 0 ; a ? b ? a ? (?b) ; ④从几何图形的角度理解: || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b |

(3)实数与向量的积(数乘) ①定义:一般地,实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a , 它的长度和方向规定如下: Ⅰ、 | ? a |?| ? || a | Ⅱ、当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同, 当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反。 ②坐标法:若 a ? ( x, y ) ,则 ? a ? (? x, ?y ) ; ③运算律:设 ? , ? 为实数, a, b 为向量: 结合律: ? ( ? a) ? (?? ) a ;

第一分配律: (? ? ? ) a ? ? a ? ? a ;第二分配律: ? (a ? b) ? ? a ? ? b ;

(4)平面向量的数量积 ①数量积: 已知两个非零向量 a 和 b , 它们的夹角为 ? , 则数量 | a || b | cos? 叫 做 a 和 b 的数量积(或内积),记作: a ? b ; 注意:Ⅰ、夹角的范围: 0 o ? ? ? 180 o ;其中当 ? ? 0 o 时 a ? b ?| a || b | ;当

? ? 180 o 时 a ? b ? ? | a || b | ;当 ? ? 90 o 时 a ? b ? 0 ;
当两个向量的夹角是锐角时,它们的数量积大于 0; 当两个向量的夹角是钝角时,它们的数量积小于 0; 零向量与任何向量的数量积等于 0。 Ⅱ、投影: | b | cos ? 叫做向量 b 在 a 方向上的投影。 ②坐标法运算:若 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x 2 , y 2 ) ,则 a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2 ;

③运算律:交换律: a ? b ? b ? a ;

结合律: (? a ) ? b ? a ? (? b) ? ? (a ? b) ; 注意: (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

分配律: (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c ; ④重要性质:

Ⅰ、设 a, b 都是非零向量, e 是与 b 方向相同的单位向量, ? 是 a 与 e 的夹角, a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x 2 , y 2 ) 则: e ? a ? a ? e ?| a | cos ? ; Ⅱ、 a ? b ? a ? b ? 0 ; Ⅲ、当 a 与 b 同向时, a ? b ?| a || b | ;当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? | a || b | ; 特别是: a ? a ?| a | 2 ,或 | a |? a ? a ? Ⅳ、向量的夹角公式: cos ? ? Ⅴ、 a ? b ?| a || b | a ?b | a || b | ? x1 ? y1
2 2 2 2

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1 x2 ? y 2
2 2



四、定理与公式: (1)平面向量基本定理(也叫做平面向量分解定理): 如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么该平面内任一向 量 a ,只有一对实数 ?1 , ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 ;我们把不共线的向量
e1 和 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

(2)两个向量平行的充要条件: 设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x 2 , y 2 ) , ? 为实数 ①向量式: a // b(b ? 0) ? a ? ? b ; ②坐标式: a // b(b ? 0) ? x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0 ;

(3)两个向量垂直的充要条件: 设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x 2 , y 2 ) ①向量式: a ? b ? a ? b ? 0 ; ②坐标式: a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 ; (4)两点间距离公式: 设 P1 ? ( x1 , y1 ), P2 ? ( x2 , y2 ) ,则 | P1 P2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ; 如:求函数 y ? x 2 ? 1 ? x 2 ? 4 x ? 8 的最小值。

? ?x ? ②坐标式:中点对应向量公式 ? ?y ? ?

x1 ? ?x 2 1? ? ; y1 ? ?y 2 1? ?

x1 ? x 2 ? ?x ? 2 当 ? ? 1 时,中点坐标公式 ? ; y ? y2 ?y ? 1 ? 2 如:已知直线 l : y ? mx ? 7 及两点 A(3,2), B(1,4) 当 l 与线段 AB 相交时求 (还可以从斜率的角度,通过数形结合解题) m 的取值范围。

注意:①要分清内分点和外分点 当分点 P 在线段 P 1P 2 上时,点 P 叫 P 1P 2 的内分点,这时 ? 值为 ? ? 0 ;

当分点 P 在线段 P 1P 2或P 2P 1 的延长线时,点 P 叫外分点, ? 值为 ? ? 0 ; 点P在P 1P 2 延长线上时,这时 ? 值为 ? ? ?1 ; 点 P 在 P2 P 1 延长线上时,这时 ? 值为 ? 1 ? ? ? 0 ; ②P 1 P ? ? PP 2 不能写成 ? ? 有时可写成 ? ? P 1P ; PP2 P 1P PP2 (没有定义两向量的除法) ,

x1 ? x 2 ? x3 ? x ? ? 3 ③三角形重心公式:? 其中 ( x1 , y1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) 、( x3 , y 3 ) 为 y1 ? y 2 ? y 3 ?y ? 3 ? 三角形三顶点的坐标。

(6)平移公式: 平移:设 F 是坐标平面上的一个图形,将 F 上所有点按照同一方向,移 动同长度,得到图形 F ' ,这个过程就是图形的平移。 平移公式:P( x, y) 是图形 F 的任意一点, 按照 a ? (h, k ) 平移后图形 F ' 上 ? x' ? x ? h 的对应点为 P' ( x ' , y ' ) ,则 ? ; (注: PP' ? a ) ? y' ? y ? k 注意:用平移公式,求平移后的解析式的一般步骤:①设平移后图形 F ? x ? x '? h 的任意一点 P' ( x ' , y ' ) ,②把平移公式变形为 ? ,③代入 ? y ? y '?k 原解析式中,得到了平移后的解析式。 (此法在函数平移变换和 解几的求轨迹方程中得以充分的体现)

五、运用向量证明平面几何问题: (1)由平面向量的基本定理可知:平面的任意向量都可用两个 基向量(不共向)来表示;这样在解题的一开始,设出两 个不公线的向量,其他所有涉及的向量用这两个基向量来 表示; (2)从要证明的结论出发,充分挖掘向量将的几何关系: ①垂直关系; ②平行关系(常隐含于条件中,如:有三个以上的点共线) ③角的关系:用向量夹角公式

六、向量中常见问题的处理: (1) a ? b ? a ? b ? 0 ; ?ABC ? 90 o ? AB ? BC ? 0 ; (2) a // b ? a ? ? b ; AB // CD ? AB ? ? CD ; (3) P 在线段 AB 上或 A, B, P 三点共线 ? AP ? ? PB ; (4) | ma ? nb |?| ma ? nb | ? m a ? 2mna ? b ? n b ;
2 2 2 2 2

(5) | a |?| b |? a ? b ? a ? b ? 0 ? (a ? b) ? (a ? b) ? 0 (思考:其几何含义) ? a ? b 与 a ? b 垂直; (6) | a ? b |?| a ? b |? a ? 2a ? b ? b ? a ? 2a ? b ? b ? a ? b ? 0 ; (思考:其几何含义) (7)理解 0 ? a ? 0 ; 0 ? a ? 0 ; k ? 0 ? 0 ;
2 2 2 2

2

2

2

2

直线部分

一、直线的倾斜角和斜率: (1) 直线的倾斜角: 在平面直角坐标系中, 对于一条与 x 轴相交的直线,如果把 x 轴绕着交点按逆时 针方向旋转到和直线重合时所转的最小正 角记为 ? ,那么 ? 就叫做直线的倾斜角。 注意:规定当直线和 x 轴平行或重合时,其倾斜角 为 0o , 所 以 直 线 的 倾 斜 角 ? 的 范 围 是 0 o ? ? ? 180 o ;

(2)直线的斜率:倾斜角不是 90 o 的直线,它的倾斜角的正切叫做这条 直线的斜率, k ? tan ? ①斜率是用来表示倾斜角不等于 90o 的直线对于 x 轴的倾斜程度的。 ②每一条直线都有唯一的倾斜角, 但并不是每一条直线都存在斜率 (直 线垂直于 x 轴时,其斜率不存在),这就决定了我们在研究直线的有 关问题时,应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况,否则会产生 漏解。 ③斜率计算公式: 设经过 A( x1 , y1 ) 和 B( x 2 , y 2 ) 两点的直线的斜率为 k , 则当 x1 ? x 2 时, k ? tan? ? y1 ? y2 ;当 x1 ? x 2 时, ? ? 90 o ;斜率不存在; x1 ? x2

二、直线方程的几种形式:

(1)点斜式:过已知点 ( x 0 , y 0 ) ,且斜率为 k 的直线方程: y ? y 0 ? k ( x ? x0 ) ; 注意:①当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为 x ? x 0 ; ②
y ? y0 ? k 表示: y ? y 0 ? k ( x ? x0 ) 直线上除去 ( x 0 , y 0 ) 的图形 。 x ? x0

( 2 )斜截式:若已知直线在 y 轴上的截距为 b ,斜率为 k ,则直线方程: y ? kx ? b ;

注意:正确理解“截距”这一概念,它具有方向性,有正负之分,与 “距离”有区别。

(3)两点式:若已知直线经过 ( x1 , y1 ) 和 ( x 2 , y 2 ) 两点,且 ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,则直线的方程:
y ? y1 x ? x1 ; ? y 2 ? y1 x 2 ? x1

注意:①不能表示与 x 轴和 y 轴垂直的直线; ②当两点式方程写成如下形式

(x2 ? x1 )(y ? y1 ) ? ( y2 ? y1 )(x ? x1 ) ? 0 时,方程可以
适应在于任何一条直线。

(4)截距式:若已知直线在 x 轴, y 轴上的截距分别是 a , b x y ( a ? 0, b ? 0 )则直线方程: ? ? 1 ; a b 注意:不能表示与 x 轴垂直的直线,也不能表示与 y 轴 垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线, 要谨慎使用。

(6) 一般式: 任何一条直线方程均可写成一般式:Ax ? By ? C ? 0 ; ( A, B 不同时为零) ;反之,任何一个二元一次方程都 表示一条直线。 注意:①直线方程的特殊形式,都可以化为直线方程的一般 式,但一般式不一定都能化为特殊形式,这要看系数

A, B, C 是否为 0 才能确定。
②指出此时直线的方向向量: ( B, ? A) , (? B, A) , ( B A ?B
2 2

,

?A A ?B
2 2

) (单位向量) ;

直线的法向量: ( A, B ) ; (与直线垂直的向量)

三、两直线的位置关系: l1 : y ? k1 x ? b1 位置关系 l 2 : y ? k 2 x ? b2 平行 ? k1 ? k 2 ,且 b1 ? b2

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C 2 A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C 2 A1 B1 ? A2 B2 A1 A2 ? B1 B2 ? 0

重合

?

k1 ? k 2 ,且 b1 ? b2

相交 垂直

? ?

k1 ? k 2 k1 ? k 2 ? ?1

设两直线的方程分别为: l1 : y ? k1 x ? b1 或 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ; l 2 : y ? k 2 x ? b2 l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 当 k1 ? k 2 或 A1 B2 ? A2 B1 时它们相交, y ? k1x ? b1 交点坐标为方程组 ? ?y ? k x ? b ? 2 2 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 或? ? A x ? B y ? C ? 0 解; ? 2 2 2

注意:①对于平行和重合,即它们的方向向量(法向量)平行; 如: ( A1 , B1 ) ? ? ( A2 , B2 ) 对于垂直,即它们的方向向量(法向量)垂直; 如 ( A1 , B1 ) ? ( A2 , B2 ) ? 0 ②若两直线的斜率都不存在,则两直线 平行 ;若一条直线 的斜率不存在,另一直线的斜率为 0 ,则两直线垂直。 ③对于 A1 A2 ? B1 B2 ? 0 来说,无论直线的斜率存在与否,该 式都成立。因此,此公式使用起来更方便. ④斜率相等时,两直线平行(重合);但两直线平行(重合)时, 斜率不一定相等,因为斜率有可能不存在。

四、两直线的交角 (1) l1 到 l 2 的角:把直线 l1 依逆时针方向旋转到与 l 2 重合时所转的角; 它是有向角,其范围是 0 ? ? ? ? ; 注意:① l1 到 l 2 的角与 l 2 到 l1 的角是不一样的;②旋转的方 向是逆时针方向; ③绕“定点”是指两直线的交点。 (2)直线 l1 与 l 2 的夹角:是指由 l1 与 l 2 相交所成的四个角的最小角(或

? 不大于直角的角),它的取值范围是 0 ? ? ? ; 2

五、点到直线的距离公式: 设 点 P( x0 , y 0 ) 和 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0 , 点 P 到 l 的 距 离 为 : d? | Ax0 ? By0 ? C | A ?B
2 2



两平行线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 的距离为: d? | C1 ? C 2 | A ?B
2 2



七、对称问题: (1)中心对称: ①点关于点的对称: 该点是两个对称点的中点, 用中点坐标公式求解, 点 A(a, b) 关于 C (c, d ) 的对称点 (2c ? a,2d ? b) ②直线关于点的对称: Ⅰ、在已知直线上取两点,利用中点公式求出它们关于已知点对称的两 点的坐标,再由两点式求出直线方程; Ⅱ、求出一个对称点,在利用 l1 // l 2 由点斜式得出直线方程; Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。 如:求与已知直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 关于点 P(1,?1) 对称的直线 l 2 的方程。

(2)轴对称: ①点关于直线对称: Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上,点与对称点连线斜率是已知直线 斜率的负倒数。 Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程,然后解方程组求出直线的交 点,在利用中点坐标公式求解。 如:求点 A(?3,5) 关于直线 l : 3x ? 4 y ? 4 ? 0 对称的坐标。 ②直线关于直线对称: (设 a, b 关于 l 对称) Ⅰ、若 a, b 相交,则 a 到 l 的角等于 b 到 l 的角;若 a // l ,则 b // l ,且 a, b 与 l 的距离相等。 Ⅱ、求出 a 上两个点 A, B 关于 l 的对称点,在由两点式求出直线的方程。 Ⅲ、设 P( x, y) 为所求直线直线上的任意一点,则 P 关于 l 的对称点 P ' 的坐 标适合 a 的方程。 如:求直线 a : 2 x ? y ? 4 ? 0 关于 l : 3 x ? 4 y ? 1 ? 0 对称的直线 b 的方程。

八、简单的线性规划: (1)设点 P( x 0 , y 0 ) 和直线 l : Ax ? By ? C ? 0 , ①若点 P 在直线 l 上,则 Ax0 ? By 0 ? C ? 0 ; ②若点 P 在直线 l 的上方,则 B( Ax0 ? By 0 ? C ) ? 0 ; ③若点 P 在直线 l 的下方,则 B( Ax0 ? By 0 ? C ) ? 0 ;

(2)二元一次不等式表示平面区域: 对于任意的二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0(? 0) ,

①当 B ? 0 时,则 Ax ? By ? C ? 0 表示直线 l : Ax ? By ? C ? 0 上方的区域; Ax ? By ? C ? 0 表示直线 l : Ax ? By ? C ? 0 下方的区域;

②当 B ? 0 时,则 Ax ? By ? C ? 0 表示直线 l : Ax ? By ? C ? 0 下方的区域; Ax ? By ? C ? 0 表示直线 l : Ax ? By ? C ? 0 上方的区域;

注意:通常情况下将原点 (0,0) 代入直线 Ax ? By ? C 中,根据 ? 0 或 ? 0 来 表示二元一次不等式表示平面区域。

(3)线性规划: 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划 问题。

满足线性约束条件的解 ( x, y) 叫做可行解, 由所有可行解组成的集合叫做可行域。 生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。

注意:①当 B ? 0 时,将直线 Ax ? By ? 0 向上平移,则 z ? Ax ? By 的值越来越大; 直线 Ax ? By ? 0 向下平移,则 z ? Ax ? By 的值越来越小; ②当 B ? 0 时,将直线 Ax ? By ? 0 向上平移,则 z ? Ax ? By 的值越来越小; 直线 Ax ? By ? 0 向下平移,则 z ? Ax ? By 的值越来越大; 如:在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分 且包括周界) ,目标函数 z ? x ? ay 取得最小值 的最优解有无数个,则 a 为 ;
O y C(4,2) B(5,1) x

A(1,1)

圆部分 一、曲线和方程: 在直角坐标系中,如果某曲线 C 上的点与一个二元方程

f ( x, y) ? 0 的实数解建立了:
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (纯粹性) ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点; (完备性) 那么这个方程叫做曲线方程,这条曲线叫做方程的曲线。

二、圆的定义及其方程. (1)圆的定义:平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆,定点叫做圆 心,定长就是半径; (圆心是定位条件,半径是定型条件)

(2)圆的标准方程: ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (r ? 0) ;圆心 (a, b) ,半径为 r ; ? x ? a ? r cos ? 圆的参数方程: ? (? 为参数);理解 ? 的含义; ? y ? b ? r sin ? D E 1 圆的一般方程: x2 ?y2 ?Dx ?Ey ?F ?0(D2 ?E2 ?4F ?0)圆心 (? ,? )半径为 D2 ?E2 ?4F ; 2 2 2 一般方程的特点:① x 2 和 y 2 的系数相同,且不等于零;②没有 xy 这样的 二次项;③ D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 ; ? x ? r cos? 特别地, 圆心在坐标原点, 半径为 r 的半圆的方程是 x 2 ? y 2 ? r 2 ;? ; ? y ? r sin ?

A(x1, y1), B(x2, y2),则以线段 AB 为直径的圆方程是: (x ? x1)(x ? x2 ) ? ( y ? y1)(y ? y2 ) ? 0

三、点与圆的位置关系(仅以标准方程为例,其他形式,则可化为 标准式后按同样方法处理) 设 P( x 0 , y 0 ) 与圆 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ;若 P 到圆心之距为 d ; ① P 在在圆 C 外 ? d ? r ? ( x 0 ? a ) 2 ? ( y 0 ? b) 2 ? r 2 ; ② P 在在圆 C 内 ? d ? r ? ( x 0 ? a) 2 ? ( y 0 ? b) 2 ? r 2 ; ③ P 在在圆 C 上 ? d ? r ? ( x 0 ? a ) 2 ? ( y 0 ? b) 2 ? r 2 ;

四、直线与圆的位置关系: 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 和圆 C : ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ,圆心 C 到直线 l 之距为 d ,由直线 l 和圆 C 联立方程组消去 x (或 y )后,所得一元二次方程 的判别式为 ? ,则它们的位置关系如下:

相离 ? d ? r ? ? ? 0 ;相切 ? d ? r ? ? ? 0 ;相交 ? d ? r ? ? ? 0 ; 注意:这里用 d 与 r 的关系来判定,称为几何法,只有对圆才实用,也是 最简便的方法;利用 ? 判定称为代数法,对讨论直线和二次曲线的 位置关系都适应。

五、两圆的位置关系: (1)代数法:解两个圆的方程所组成的二元二次方程组;若方程组有两组 不同的实数解,则两圆相交;若方程组有两组相同的实数解, 则两圆相切;若无实数解,两圆相离。 (2)几何法:设圆 O1 的半径为 r1 ,圆 O2 的半径为 r2 ①两圆外离 ?| O1O2 |? r1 ? r2 ; ②两圆外切 ?| O1O2 |? r1 ? r2 ; ③两圆相交 ?| r2 ? r1 |?| O1O2 |? r1 ? r2 ; ④两圆内切 ?| O1O2 |?| r2 ? r1 | ; ⑤两圆内含 ?| O1O2 |?| r2 ? r1 | ;

六、与圆的切线有关的问题: ( 1 ) 若 点 P( x 0 , y 0 ) 在 圆 x 2 ? y 2 ? r 2 ; 则 过 点 P 点 的 切 线 方 程 为 : xx0 ? yy 0 ? r 2 ; 若点 P( x 0 , y 0 ) 在圆 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ;则过点 P 点的切线方程为: ( x ? a )( x0 ? a) ? ( y ? b)( y 0 ? b) ? r 2 ; 若点 P( x 0 , y 0 ) 在圆 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ;则过点 P 点的切线方程为: xx0 ? yy 0 ? D x ? x0 y ? y0 ?E ?F ?0; 2 2

(2)斜率为 k 且与圆 x 2 ? y 2 ? r 2 相切的切线方程为: y ? kx ? r 1 ? k 2 ; 斜率为 k 且与圆 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 相切的切线方程的求法,可设切 线为 y ? kx ? m ,然后利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求 m ;

(3)当点 P( x 0 , y 0 ) 在圆外面时,可设切方程为 y ? y 0 ? k ( x ? x 0 ) ,利用圆心到 直线之距等于半径即 d ? r ,求出 k 即可,或利用 ? ? 0 ,求出 k ,若求得 k 只有一值,则还应该有一条斜率不存在的直线 x ? x 0 ,此时应补上。

(4)当直线 l 和圆 C 相切时,切点的坐标为 l 的方程和圆 C 的方程联立的方程 组的解,或过圆心与切线 l 垂直的直线与切线 l 联立的方程组的解。

(5)若点 P( x 0 , y 0 ) 在圆 x 2 ? y 2 ? r 2 外一点;则过点 P 点的切线的切点弦方程 为: xx0 ? yy 0 ? r 2 ; 若点 P( x 0 , y 0 ) 在圆 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ;则过点 P 点的切线的切点弦方 程为: ( x ? a)( x 0 ? a ) ? ( y ? b)( y 0 ? b) ? r 2 ;

七、圆的弦长的求法: (1)几何法:当直线和圆相交时,设弦长为 l ,弦心距为 d ,半径为 r , l 2 则有: ( ) ? d 2 ? r 2 ; 2 (2)代数法:设 l 的斜率为 k , l 与圆交点分别为 A( x1 , y1 ),B( x2 , y 2 ) ,则 1 | AB |? 1 ? k | x A ? x B |? 1 ? 2 | y A ? y B | k
2

(其中 | x1 ? x2 |, | y1 ? y 2 | 的求法是将直线和圆的方程联立消去 y 或 x , 利用 韦达定理求解。 )

八、圆系方程: (1)经过两个圆 x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与 x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的交点的圆系方程是 x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E 2 y ? F2 ) ? 0 ; 当 ? ? ?1 时,表示过两个圆交点的直线; ( 2 )经过直线 l:Ax ? By ? C ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的交点的圆系方程是 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C ) ? 0 ;

圆锥曲线部分 一、椭圆: (1)椭圆的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数(大于

| F1 F2 | )的点的轨迹。
第二定义:平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比 是常数 e(0 ? e ? 1) 的点的轨迹。 其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距;定直 线叫做准线。 常数叫做离心率。 注 意 : 2a ?| F1 F2 | 表 示 椭 圆 ; 2a ?| F1 F2 | 表 示 线 段 F1 F2 ;

2a ?| F1 F2 | 没有轨迹;

(2)椭圆的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在 x 轴上 中心在原点,焦点在 y 轴上 标准 方程 参数 方程 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b ? x ? a cos? (? 为参数) ? ? y ? b sin ? y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b ? x ? b cos ? (? 为参数) ? ? y ? a sin ?
B2 B2 O F2 B1 A2 x P A1 y F2 O F1 B1 A2 x

图 形

P A1

y

F1

(2)椭圆的标准方程、图象及几何性质: A1 (?a,0), A2 (a,0) 顶 点 B1 (0,?b), B2 (0, b) 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 准 线

A1 (?b,0), A2 (b,0) B1 (0,?a), B2 (0, a)

x 轴, y 轴;短轴为 2b ,长轴为 2a

F1 (?c,0), F2 (c,0)
| F1F2 |? 2c(c ? 0)

F1 (0,?c), F2 (0, c) c2 ? a2 ? b2

c e ? (0 ? e ? 1) (离心率越大,椭圆越扁) a a2 x?? c a2 y?? c

(2)椭圆的标准方程、图象及几何性质: 通 径 焦 半 径 焦 点 弦 焦 准 距 2b 2 ? 2ep ( p 为焦准距) a | PF1 |? a ? ex 0 | PF2 |? a ? ex0 | PF1 |? a ? ey 0 | PF2 |? a ? ey 0
| AB |? 2a ? e( y A ? y B )

| AB |? 2a ? e( x A ? x B )
仅与它的中点的横坐标有 关

仅与它的中点的纵坐标有关

a2 b2 p? ?c ? c c

二、双曲线: (1)双曲线的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于 常数(小于 | F1 F2 | )的点的轨迹。 第二定义:平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比 是常数 e(e ? 1) 的点的轨迹。 其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距;定 直线叫做准线。 常数叫做离心率。 注意: | PF1 | ? | PF2 |? 2a 与 | PF2 | ? | PF1 |? 2a ( 2a ?| F1 F2 | )表 示双曲线的一支。

2a ?| F1 F2 | 表示两条射线; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹;

(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在 x 轴上 标准方 程 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 中心在原点,焦点在 y 轴上 y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
P x O A2 F2 yF2 B2 O B1 F1 x

P

y





F1 A1





A1 ( ?a ,0), A2 ( a ,0)

B1 (0,? a ), B2 (0, a )

对称轴

x 轴, y 轴;虚轴为 2b ,实轴为 2a

(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质: 焦 焦 点 距 e? F1 (?c,0), F2 (c,0) F1 (0,?c ), F2 (0, c ) c2 ? a2 ? b2

| F1 F2 |? 2c(c ? 0)

离心率 准 线

c (e ? 1) (离心率越大,开口越大) a a2 y?? c y?? a x b

a2 x?? c y?? b x a

渐近线

(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质: 通 径 2b 2 ? 2ep ( p 为焦准距) a P 在左支 | PF1 |? ?a ? ex0 | PF2 |? a ? ex 0 P 在右支 | PF1 |? a ? ex0 | PF2 |? ?a ? ex 0 P 在下支 | PF1 |? ?a ? ey 0 | PF2 |? a ? ey 0 P 在上支 | PF1 |? a ? ey 0 | PF2 |? ?a ? ey 0

焦半径

焦准距

a2 b2 p?c? ? c c

( 3)双曲线的渐近线: x2 y 2 ① 求双曲线 2 ? 2 ? 1 的 渐近 线,可令 其右边 的 1 为 0 ,即得 a b x2 y2 ? 2 ? 0 ,因式分解得到。 2 a b x2 y 2 x2 y 2 ②与双曲线 2 ? 2 ? 1 共渐近线的双曲线系方程是 2 ? 2 ? ? ; a b a b ( 4)等轴双曲线为 x 2 ? y 2 ? t 2 ,其离心率为 2

三、抛物线: ( 1)抛物线的定义:平面内与一个定点的距离 等于 到一条定直 线的距 离点的轨迹。 其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做 准线。

( 2)抛物线的标准方程、图象及几何性质: p ? 0 焦点在 x 轴上, 焦点在 x 轴上, 焦点在 y 轴上, 焦点在 y 轴上, 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 标准 方程 l 图 形
O

y 2 ? 2 px
y P x F

y 2 ? ?2 px
P F y

x 2 ? 2 py l
x P

x 2 ? ?2 py l
x P y O F x

y F

O

l 顶 点 焦 点 O( 0,0) p F ( ,0) 2 F (? p ,0) 2

O

p F (0, ) 2

p F ( 0,? ) 2

( 2)抛物线的标准方程、图象及几何性质: p ? 0 对称 轴 焦 点 离心 率 准 线 通 径 焦半 径 焦点 弦 焦准 距
x轴

y轴 F (? p ,0) 2 e ?1 p F (0, ) 2 p F ( 0,? ) 2

p F ( ,0) 2

x??

p 2

x?

p 2 2p

y??

p 2

y?

p 2

p p | PF |?| y 0 | ? 2 2 2p ? x1 ? x 2 ? p ? (当 ? ? 时,为 2 p ——通径) 2 sin ? 2 | PF |?| x0 | ? p

如: AB 是过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 焦点 F 的弦, M 是 AB 的

中点,

l 是抛物线的准线, MN ? l , N 为垂足, BD ? l , AH ? l , D , H 为垂足, 求证: y l A ( 1) HF ? DF ; H ( 2) AN ? BN ; ( 3) FN ? AB ; ( 4)设 MN 交抛物线于 Q ,则 Q 平分 MN ; ( 5 ) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 则 y1 y2 ? ? p 2 , 1 2 x1 x 2 ? p ; 4
N D Q O F B M x E

如: AB 是过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 焦点 F 的弦, M 是 AB 的

中点, l 是

抛物线的准线, MN ? l , N 为垂足, BD ? l , AH ? l , D , H 为垂足, 求证: 1 1 2 ( 6) ? ? ; | FA | | FB | p ( 7) A, O, D 三点在一条直线上 ( 8)过 M 作 ME ? AB , ME 交 x 轴于 E , 1 求证: | EF |? | AB | , | ME | 2 ?| FA | ? | FB | ; 2 l
H N D Q O F B y A M x E

四、圆锥曲线的统一定义: 若平面内一个动点 M 到一个定点 F 和一条定直线 l 的距离之比等于一个常数 e( e ? 0) ,则动点的轨迹为 圆锥曲线。其中定点 F 为焦点,定直线 l 为准线,e 为 离心率。 当 0 ? e ? 1 时,轨迹为椭圆;当 e ? 1 时,轨迹为抛物 线;当 e ? 1 时,轨迹为双曲线。

五、轨迹方程的求法: ( 1)直接法:如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等 量关系,或这些几何条件简单明了且易于表达,我们只 需把这种关系“翻译”成含 x, y 的等式就得到曲线的轨 迹方程。 如:已知 ?ABC 底边 BC 的长为 8,两底角之和为 135o ,求 顶点且的轨迹方程。

五、轨迹方程的求法: ( 2)定义法:其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义,则根据定 义直接求出动点的轨迹方程。
2 2

如: 已知圆 x ? y ? 16 , 定点 A( 2,0) , 若 P 是圆上的动点, AP 的垂直平分线交 OP 于 R ,求 R 的轨迹方程。

五、轨迹方程的求法: ( 3)几何法:若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分 线,角平分线的性质等) ,可以用几何法,列出几何式,再代 人点的坐标较简单。 如: AB 是 O 的直径,且 | AB |? 2 a , M 为圆上一动点,作

MN ? AB , 垂 足 为 N , 在 OM 上 取 点 P , 使 | OP |?| MN | ,求点 P 的轨迹。

五、轨迹方程的求法: ( 4)相关点法(代人法) :有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出, 但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的;如果相关点所满足 的条件是明显的,或是可分析的,这时可以用动点坐标表示相关点坐标, 根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程。

x2 y2 如:在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线上分别取点 A 和 B , a b 使 | OA | ? | OB |? c 2 (其中 O 为坐标原点, C 为双曲线的半焦距) , 求 AB 中点的轨迹。

( 5)交轨法:在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线 交点的轨迹问题,这类问题常常通过解方程 组得出交点 (含参数 )的坐标,再消去参数得 出所求轨迹的方程。常与参数法并用。

如:己知两点 P( ?2, 2) , Q (0,2) 以及一直线 l : y ? x , 设长为 2 的线段 AB 在直线 l 上运动,求直线 PA 和 QB 的交点 M 的轨迹方程。

( 6)整体法(设而不求法) :当探求的轨迹较复杂时,可扩 大考察视角,将问题中的条件、结论的各种关 系看成一个整体,从整体出发运用整体思想, 注重整体结构的挖掘和分析。 如:以 P( 2,2) 为圆心的圆与椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? m 交于 A, B 两点,求 AB 中点 M 的轨迹方程。

( 7)参数法:有时求动点应满足的几何条件不易得出,也无明显的相关 点,但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到 另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约,即动

点坐标 ( x, y) 中的 x, y 分别随另一变量的变化而变化,称这个变

量为参数,建立轨迹的参数方程,这种方法叫参数法, 如果需要得到轨迹的普通方程,只要消去参数即可; 在选择参数时,选用的参变量要以具有某种物理或几何的性质,如 时间、速度、距离、角度,有向线段的数量、直线的斜率,点的横、 纵坐标等,也可以没有具体的意义,选定参变量还要特别注意它的 取值范围的对动点坐标取值范围的影响。 注意:所有的求轨迹的问题都要根据题意,求其中 x, y 的取值范围。

六、直线与圆锥曲线的位置关系: ( 1)会利用方程组解的状况确定直线与圆锥曲线的位置关系; 解此类问题一般从直线与圆锥曲线联立的方程组的解的个 数来入手。 (要注意考虑二次项系数为零,思考此时几何意 义) ,也通过图形进行讨论。 (要注意的是:与对称轴、渐 近线平行的情况) 如:试确定实数 A 的不同取值,讨论直线 y ? k ( x ? 1) 与双 曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 4 的公共点的个数。

( 2)会求直线被圆锥曲线所截的弦长,弦的中点坐标:解决此 类问题时,由于直线和圆锥曲线相交,故其方程组的 ? ? 0 (尤其含有待定的系数是否则会增解) ;涉及到中点坐标, 要注意韦达定理的应用,而韦达定理的前提条件是 ? ? 0 。

如: 设抛物线经过两点 ( ?1,6) 和 ( ?1,?2) , 对称轴与 x 轴平行, 开口向右,直线 y ? 2 x ? 7 被抛物线截得的线段长是 4 10 ,求抛物线方程。

( 3)当直线与圆锥曲线相交时,求在某些给定条件下 地直线线方程;解此类问题,一般是根据条件求 解,但要注意 ? ? 0 条件的应用。

如:已知抛物线方程为 y 2 ? 2 x 在 y 轴上截距为 2 的直线 l 与抛物线交于 M , N 两点,且以 M , N 为径的圆过原点,求直线 l 的方程。

( 4)圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题, 解此类题的方法:圆锥曲线上的两点所在直 线与已知直线垂直,则圆锥曲线上两点的中 点一定在对称直线上,得到关系式而求解。 如 : 抛 物 线 y ? ax ? 1( a ? 0) 上 有 关 于
2

x ? y ? 0 对称的相异两点,求 a 的取值范围。

一、立体几何网络图:
⑹ 公理 4 ⑴ 线线平行 ⑵ ⑶ ⑾ 三垂线定理 ⑺ 线线垂直 三垂线逆定理 ⑻ ⑿ ⑼ ⑽ 线面垂直 线面平行 ⑷ ⑸ ⒀ ⒂ ⒃ 面面平行

⒁ 面面垂直

( 1)线线平行的判断: ⑴平行于同一直线的两直线平行。 ⑶如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平 面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。 ⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它 们的交线平行。 ⑿垂直于同一平面的两直线平行。

( 2)线线垂直的判断: ⑺在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么 它也和这条斜线垂直。 ⑻在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这 条斜线的射影垂直。 ⑽若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所有直线。 补充:一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的 另一条。

( 3)线面平行的判断: ⑵如果平面外的一条直线和平面内的一条直 线平行,那么这条直线和这个平面平行。 ⑸两个平面平行,其中一个平面内的直线必平 行于另一个平面。

( 4)线面垂直的判断: ⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于 这个平面。 ⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂 直于这个平面。 ⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一 个平面。 ⒃如果两个平面垂直,那么在—个平面内垂直于交线的直线必 垂直于另—个平面。

( 5)面面平行的判断: ⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平 面,这两个平面平行。 ⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。 ( 6)面面垂直的判断: ⒂一个平面经过另一个平面的垂线,这两个平面互相 垂直。

二、其他定理: ( 1)确定平面的条件:①不公线的三点;②直线和直线外一点; ③相交直线; ( 2)直线与直线的位置关系: 相交 ; 平行 ; 异面 ; 直线与平面的位置关系: 在平面内 ; 平行 ; 相交(垂直是 它的特殊情况) ; 平面与平面的位置关系: 相交 ; ; 平行 ; ( 3)等角定理:如果两个角的两边分别平行且方向相同,那么这两 个角相等; 如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行,那 么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;

( 4)射影定理(斜线长、射影长定理) :从平面外一点向这个平 面所引的垂线段和斜线段中, 射影相等的两条

斜线段相等; 射影较长的斜线段也较长; 反之, 斜线段相等的射影相等; 斜线段较长的射影也 较长;垂线段比任何一条斜线段都短。 ( 5)最小角定理:斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是 与它在平面内射影所成的角。

( 6)异面直线的判定:①反证法; ②过平面外一点与平面内一点的直线,和平 面内不过该点的直线是异面直线。 ( 7) 过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线 垂直平面内。 ( 8)如果—直线平行于两个相交平面,那么这条直线平行于 两个平面的交线。 ( 9)如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交 线也垂直于第三个平面。

三、唯一性定理:

( 1)过已知点,有且只能作一直线和已知平面垂直。 ( 2)过已知平面外一点,有且只能作一平面和已知平 面平行。 ( 3) 过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另 一条平行。

四、空间角的求法: (所有角的问题最后都要转化为解三角形 的问题,尤其是直角三角形) ( 1)异面直线所成的角:通过直线的平移,把异面直线所成 的角转化为平面内相交直线所成的角。 异面直线所 成角的范围: 0 o ? ? ? 90 o ; 注意:若异面直线中一条直线是三角形的一边,则平移时 可找三角形的中位线。有的还可以通过补形,如:将三棱 柱补成四棱柱;将正方体再加上三个同样的正方体,补成 一个底面是正方形的长方体。

( 2)线面所成的角: ①线面平行或直线在平面内:线面所成的角为 0 o ; ②线面垂直:线面所成的角为 90 o ; ③斜线与平面所成的角:范围 0 o ? ? ? 90 o ;即也就是 斜线与它在平面内的射影所成的角。

( 3)二面角:关键是找出二面角的平面角。方法有: ①定义法;②三垂线定理法;③垂面法; S' 注意: 还可以用射影法: cos ? ? ; 其中 ? 为二面角 ? ? l ? ? S 的大小,S 为 ? 内的一个封闭几何图形的面积;S ' 为

? 内的一个封闭几何图形在 ? 内射影图形的面积。
一般用于解选择、填空题。

五、距离的求法: ( 1)点点、点线、点面距离:点与点之间的距离就是两点之间线段的 长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长。求它 们首先要找到表示距离的线段,然后再计算。 注意:求点到面的距离的方法: ①直接法:直接确定点到平面的垂线段长(垂线段一般在二面角 所在的平面上) ;

②转移法: 转化为另一点到该平面的距离 (利用线面平行的性质) ; ③体积法:利用三棱锥体积公式。

( 2)线线距离: 关于异面直线的距离,常用方法有: ①定义法,关键是确定出 a , b 的公垂线段; ②转化为线面距离,即转化为 a 与过 b 而平行于 a 的平面之 间的距离,关键是找出或构造出这个平面;③转化为面面 距离; ( 3)线面、面面距离:线面间距离面面间距离与线线间、点线 间距离常常相互转化;

六、常用的结论: ( 1)若直线 l 在平面 ? 内的射影是直线 l ? ,直 线 m 是平 面 ? 内经过 l 的斜 足的一条直 线, l 与 l ? 所成的角为 ? 1 , l ? 与 m 所成的 角为 ? 2 , l 与 m 所成的角为 ? ,则这三个 角之间的关系是 cos ? ? cos ? 1 cos ? 2 ;

(2)如何确定点在平面的射影位置: ①Ⅰ、如果一个角所在平面外一点到角两边距离相 等,那么这点在平面上的射影在这个角的平 分线上; Ⅱ、经过一个角的顶角引这个角所在平面的斜线, 如果斜线和这个角的两边夹角相等,那么斜 线上的点在平面上的射影在这个角的平分线 所在的直线上; Ⅲ、如果平面外一点到平面上两点的距离相等, 则这一点在平面上的射影在以这两点为端点 的线段的垂直平分线上。

②垂线法:如果过平面外一点的斜线与平面内的一条 直线垂直,那么这一点在这平面上的射影 在 过斜 足且 垂直于 平面 内直线 的直 线上 (三垂线定理和逆定理); ③垂面法:如果两平面互相垂直,那么一个平面内任 一点在另一平面上的射影在这两面的交线 上(面面垂直的性质定理); ④整体法:确定点在平面的射影,可先确定过一点的 斜线这一整体在平面内的射影。

(3)在四面体 ABCD 中: ①若 AB ? CD, BC ? AD ,则 AC ? BD ;且 A 在平面 BCD 上 的射影是 ?BCD 的垂心。 ②若 AB ? AC ? AD ,则 A 在平面 BCD 上的射影是 ?BCD 的 外心。 ③若 A 到 BC , CD, BD 边的距离相等, 则 A 在平面 BCD 上的射 影是 ?BCD 的内心。

(4)异面直线上两点间的距离公式:若异面 直线所成的角为 ? , 它们公垂线段 AA' 的长为 d ,在 a , b 上分别取一点 E, F ,设 A' E ? m , AF ? n ; 则 EF ? d 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos ?
A’

E

a

A ?

E’ F

?
b

(如果 ? E' AF 为锐角,公式中取负号,如果 ? E' AF 为钝, 公式中取正号)

七、多面体: (1)棱柱: ①定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每 相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。
侧棱不垂直于底面 侧棱垂直于底面

棱柱
底面是正多边形

斜棱柱

直棱柱

正棱柱;
底面是平行四边形 侧棱垂直于底面

四棱柱
底面是矩形

平行六面体
底面是正方形

直平行六面体
棱长都相等

长方体 正方体。

正四棱柱

②性质:Ⅰ、侧面都是平行四边形; Ⅱ、两底面是全等多边形; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等;对角面是平行 四边形; Ⅳ、 长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三 条棱的长的平方和。 ③面积: S 直棱柱侧 ? ch ( c 是底周长, h 是高) 1 ④体积: V棱柱 ? Sh ? S 侧面 d ( S 为底面积, h 为高, d 为 2 已知侧面与它对棱的距离)

(2)棱锥: ①定义:有一个面是多边形,其余各 面是有一个公共顶点的三角 形,由这些面围成的几何体 叫做棱锥; 正棱锥:底面是正多边形,并且顶点 在底面内的射影是底面中心,这样的棱锥 叫做正棱锥;

②性质: Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似, 截面的边长和底面的对应边边长的比等于 截得的棱锥的高与原棱锥的高的比; 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱 锥的高的平方比; 截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等 于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比;

Ⅱ、正棱锥性质:各侧面都是全等的等腰三角形;通过四 个直角三角形 Rt ?POH ,Rt ?POB ,Rt ?PBH ,Rt ?BOH 实现边,高,斜高间的换算 1 P ③面积: S正棱锥 ? ch' 2 ( c 为底周长, h ' 为斜高) 1 D C ④体积: V棱锥 ? Sh 3 O H ( S 为底面积, h 为高)
A B

(3 )正四面体: 对 于棱长 为 a 正四 面体的 问题可 将它 补成一 个 边长为
2 a 的正方体问题。 2 2 a (正方体的边长) 2

对棱间的距离为 正四面体的高

6 2 a ( ? l正方体体对角线 3 3



正四面体的体积为

2 3 a 12
1 ? V 正方体 ) 3

V ? 4 V 正方体 小三棱锥 (

正 四面 体的 中心 到底 面与 顶点 的距 离之 比为

1 1 ? l : l 正方体体对角线 正方体体对角线 1: 3 ( 6 2



外接球的半径为

6 a (是正方体的外接球, 4


1 ? l 正方体体对角线 则半径 2

6 a (是正四面体中心到四 内切球的半径为 12

1 ? l 正方体体对角线 个面的距离,则半径 6



(4)正多面体: ①定义:每个面都是有相同边数的正多边形,且以每个顶点为其一端都有 相同数目的棱的多面体叫做正多面体。 正十二 正二十 正四面体 正六面体 正八面体 面体 面体 面数 F 4 6 8 12 20 顶点数 V 4 8 6 20 12 棱数 E 6 12 12 30 30 正五边 正三角 面的形状 正三角形 正方形 正三角形 形 形 顶点的棱 3 3 3 4 5 数

②欧拉公式: V ? F ? E ? 2 ( V 为简单多面体 的顶点数, F 为面数, E 为棱数) n1 ? n2 ? ? ? n F m1 ? m2 ? ? ? mV E? ? 2 2 ( n i 表示各个面上的棱数, mi 表示过各个顶 点的棱数)

球 (1 ) 定义: ①球面: 半圆以它的直径为旋转轴, 旋转所成的曲面。 ②球体:球面所围成的几何体。 (2)面积公式: S 球面 ? 4?R ( R 为球半径)
2

4 3 (3)体积公式: V球 ? ?R ( R 为球半径) 3

(4)性质: ①任意截面是圆面 (经过球心的平面, 截得的圆叫 大圆,不经过球心的平面截得的圆叫小圆) 两点的球面距离,是指经过球面上这两点 的大圆在这两点间的一段劣弧的长。 ② 球心和 截面圆 心的连 线垂直于 截面, 并且 r ? R ? d ,其中 R 为球半径, r 为截面
2 2

半径, d 为球心的到截面的距离。

一、分类计数原理和分步计数原理: 分类计数原理:如果完成某事有几种不同的方法,这些 方法间是彼此独立的, 任选其中一种方法都能达到 完成此事的目的, 那么完成此事的方法总数就是这 些方法种数的和。 分步计数原理:如果完成某事,必须分成几个步骤,每 个步骤都有不同的方法, 而—个步骤中的任何一种 方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接, 只有 依次完成所有各步,才能达到完成此事的目的,那 么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。

区别:如果任何一类办法中的任何一种方 法都能完成这件事,则选用分类计 数原理,即类与类之间是相互独立 的, 即 “分类完成” ; 如果只有当 n 个 步骤都做完,这件事才能完成,则 选用分步计数原理,即步与步之间 是相互依存的,连续的,即“分步 完成” 。

二、排列与组合: ( 1)排列与组合的区别和联系:都是研究从一些不同的元素 中取出 n 个元素的问题; 区别:前者有顺序,后者无顺序。 ( 2)排列数、组合数: 排列数的公式: n! A ? n (n ? 1)( n ? 2) ? (n ? m ? 1) ? (m ? n ) ( n ? m)!
m n n 注意:①全排列: An ? n! ;

②记住下列几个阶乘数,1!=1,2!=2,3!=6,4!=24, 5!=120,6!=720;

排列数的性质:
m 1 ① An ? nAnm?? 1 (将从 n 个不同的元素中取出

m( m ? n) 个元素,分两步完成: 第一步从 n 个元素中选出 1 个排在指定的一个 位置上; 第二步从余下 n ? 1 个元素中选出 m ? 1 个排在 余下的 m ? 1 个位置上)

m 1 m ② An ? mAnm?? ? A 1 n ?1 ( 将 从 n 个 不 同 的 元 素 中 取 出

m( m ? n) 个元素,分两类完成: 第一类: m 个元素中含有 a ,分两步完成: 第一步将 a 排在某一位置上,有 m 不同的方法。 第 二步从 余下 n ? 1 个 元素中 选出 m ? 1 个 排在余 下的 m ? 1 个位置上) 即有 mA
m ?1 n ?1

种不同的方法。

第二类: m 个元素中不含有 a ,从 n ? 1 个元素中取出 m
m 个元素排在 m 个位置上,有 An ?1 种方法。

组合数的公式:
m A n( n ? 1)( n ? 2) ?( n ? m ? 1) n! m n Cn ? m ? ? ( m ? n) Am m! m!( n ? m)!

组合数的性质:
n? m ① Cnm ? C n (从 n 个不同的元素中取出 m 个元素后,剩下

n ? m 个元素,也就是说,从 n 个不同的元素中取出 m 个元 素的每一个组合,都对应于从 n 个不同的元素中取出 n ? m 个元素的唯一的一个组合。 )

m m ?1 m ?1 ② Cnm ? Cn ? C (分两类完成: 第一类: 含 a , 有 C ?1 n ?1 n ?1 m 种方法;第二类:不含 a ,有 C n ) ?1 种方法;

n m?1 ③ C ? Cn ?1 (第一步:先选出 1 个元素,第二步: m
m n

再从余下 n ? 1 个元素中选出 m ? 1 个,但有重复,如先 选出 a1 ,再选出 a 2 , a3 ,? , am 组成一个组合,与先选出 a 2 ,再选出 a1 , a 3 , ?, a m 组成一个组合是相同的,且重复 了 m 次)

④C ? C
m n

m ?1 n ?1

?C

m ?1 n? 2

?C

m ?1 n ?3

??? C

m ?1 m ?1

(m ? n)
m ?1 n ?1

(分 n ? m ? 1 类:第一类:含 a1 ,为 C

;第二类:

不含 a1 ,含 a 2 ,为 Cnm??21 ;第三类:不含 a1 ,不含 a 2 , 含 a 3 ,为 Cnm??31 ;??)

0 m ?1 1 1 m ?1 m ⑤ Cnm ? Crm C n ? C C ? ? ? C C ? C ?r r n? r r n? r n ? r (将

n 元素分成分成两个部分,第一部分含 r ( r ? m) 个 元素,第二部分含 n ? r ( n ? r ? m) 个元素: 在第一部分中取 m 个元素,在第二部分不取元素,
0 有 Crm C n ?r ;

在第一部分中取 m ? 1 个元素,在第二部分取 1 个 元素,有 C
m ?1 r

C

1 n? r

;??)

( 3)排列、组合的应用: 解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是 组合问题,其次要搞清需要分类,还是需要分步 切记:排组分清 (有序排列、无序组合 ),分类分步 明确 排列组合应用问题主要有三类: 不带限制条件的排 列或组合题;带限制条件的排列或组合题;排列组 合综合题;

解排列组合的应用题,通常有以下途径: ①以元素为主,即先满足特殊元素的要求,再 考虑其他元素——特殊元素法 ②以位置为主,即先满足特殊位置的要求,再 考虑其他位置——特殊位置法 ③先不考虑附加条件,计算出排列或组合数, 再减不合要求的排列数或组合数——间接法

( 4)对解组合问题,应注意以下三点: ①对“组合数”恰当的分类计算,是解组合题的 常用方法。 ②是用“直接法”还是“间接法”解组合题,其 前提是“正难则反” 。 ③命题设计 “分组方案” 是解组合题的关键所在。

( 3)解排列、组合题的基本策略与方法: ①去杂法:对有限制条件的问题,先从总体考 虑,再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排 列组合应用题时一种常用的解题方法。 ②分类处理:某些问题总体不好解决时,常常 分成若干类,再由分类计数原理得出结论。这是解 排列组合问题的基本策略之。注意的是:分类不重 复不遗漏。即:每两类的交集为空集,所有各类的 并集为全集。 ③分步处理:与分类处理类似,某些问题总体 不好解决时,常常分成若干步,再由分步计数原理 解决。在处理排列组合问题时,常常既要分类,又 要分步。其原则是先分类,后分步。

④插入法(插空法) :某些元素不能相邻采用插入法。即 先安排好没有限制条件的元素,然后再将有限制条件 的元素按要求插入排好的元素之间。 ⑤“捆绑”法:要求某些元素相邻,把相邻的若干特殊 元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余“普通元 素”全排列,最后再“松绑” ,将特殊元素在这些位置 上全排列,即是“捆绑法” 。 ⑥穷举法:将所有满足题设条件的排列与组合逐一排列 出来。 ⑦消序处理:对均匀分组问题在解决时,一定要区分开 是“有序分组”还是“无序分组” ,若是“无序分组” , 一定要清除同均匀分组无形中产生的有序因素。

三、二项式定理:
n ?1 r n ?r r n n * (a ? b) n ? Cn0a n ? C1 a b ? ? ? C a b ? ? ? C b ( n ? N ) n n n

( 1)通项: Tr ?1 ? C nr a n ?r b r ( 0 ? r ? n)

( 2)二项式系数的性质: ①二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项
n? m 式系数相等,即: Cnm ? C n

②二项展开式中,中间的一项或两项的二项式系数相等 并且最大,
n n 即当 n 为偶数时,第 ? 1 项的二项式系数最大,为 Cn2 ; 2

n ?1 n ?1 当 n 为奇数时,第 项及 ? 1 项的二项式系数最 2 2 大,为 C
n ?1 2 n

?C

n ?1 2 n



③二项展开式中所有项的二项式系数之和等于 2 n ,即
n n Cn0 ? C 1 ? ? ? C ? 2 ; n n

④二项展开式中,奇数项的二项式系数之和与偶数项 的二项式系数之和相等,即
2 4 3 5 n ?1 Cn0 ? C n ? Cn ? ? ? C1 ? C ? C ? ? ? 2 ; n n n

( 3) 、 (a?b?c) 展开式中 a
n

p

b c

q r

的系数求法( p, q, r ? 0 的整数且

p ?q ? r ? n) (a ?b ?c) ?[(a ? b) ? c] ? C (a ?b) c ? C C a
n n r n 10 3 10 2 7 5 5 n?r r r q n?r? q q r n n?r

bc

10! 如: (a ? b ? c) 展开式中含 a 3b 2 c 5 的系数为 C C C ? 3!?2!?5!

( 4)二项式定理的应用: ①求展开式中的指定的项或特定项: 1 n 2 如:①若 ( 2 x ? 3 ) ( n ? N ) ,展开式中含有常 x 数项,则 n 的最小值是 ; 1 3 ②求 (| x | ? ? 2) 的展开式中的常数项。 |x| 注意:三项或三项以上的展开式问题,把某两项结 合为一项,利用二项式定理解决。

②求展开式中的某一项的系数: 如:在 (x ?

3)

10

的展开式中,

x

6

的系数是



③求展开式中的系数和:
2 n 2 n ( 1 ? x ) ? ( 1 ? x ) ? ? ? ( 1 ? x ) ? a ? a x ? a x ? ? ? a x 如: 的 0 1 2 n

所有各项的系数和是

1); 2 ? 2 ( 赋 值 法 : 令 x? f (1) ? f (?1) f (1) ? f (?1) a0 ?a2 ?a4 ?? ? ? ;a ; 1 ?a 3 ?a 5 ?? 2 2
n?1

(令

f (x) ? a0 ?a1x?a2 x ???an x
2

n



④求二项式展开式的系数最大项的问题: 求 ( a ? bx) n 展开式中系数最大的项,通常设展 开式各项系数分别为 A1 , A2 , ?, An ?1 ; 设第 r ? 1 ? Ar ?1 ? Ar 项系数最大,则 ? ;然后求出不等 ? Ar ?1 ? Ar ? 2 式组的整数解。 如:求 ( 2 ? x) 10 展开式中系数最大的项。

⑤利用二项式定理证明整除问题及余数的求法:
2n?2 * 3 ? 8 n ? 9 如:求证: 能被 64 整除( n?N )

⑥证明有关的不等式问题: 有些不等式,可应用二项式定理,结合放缩法证明,即把 二项展开式中的某些正项适当删去 (缩小 ),或把某些负项 删去 (放大 ),使等式转化为不等式,然后再根据不等式的 传递性进行证明。

1? x) ①(
n

n

?1? nx;

n(n ?1) 2 x ; ② (1? x) ?1? nx? ( x ? 0) 2 1 n 如:求证: 2 ? (1 ? ) n

⑦进行近似计算: 求数的 n 次幂的近似值时,把底数化为最靠近它的那个 整数加一个小数 (或减一个小数 )的形式。 当 | x | 充分小时,我们常用下列公式估计近似值: ① (1 ?

x) ? 1 ? nx ;
n
n

n( n ? 1) 2 x ; ② (1 ? x ) ? 1 ? nx ? 2
如:求 1.05 的近似值,使结果精确到 0.01;
6

四、概率: ( 1)随机事件的概率: ①必然事件:在一定条件下必然要发生的事件; ②不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件; ③随机事件: 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件; ④事件 A 的概率:在大量重复进行同一试验时,事件 A 发 m 生的频率 总是接近于某个常数,在它的附近摆动,这 n 时就把这个常数叫做事件的概率;记作 P( A) ; ⑤范围: 0 ? P ( A) ? 1 ; 特例:必然事件 P( A) ? 1 ,不可能事件 P( A) ? 0 ;

( 2)等可能事件的概率: ①基本条件:一次试验中可能出现的每一个结果称为一 个基本事件。 ②等可能事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果 有 n 个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每 1 一个基本事件的概率都是 ,如果某个事件 A 包含的 n m 结果有 m 个,那么事件 A 的概率 P( A) ? ; n

③从集合角度看概率:在一次试验中,等可能出现 的 n 个结果组成一个集合 U ,这 n 个结果就是集合 U 的 n 个元素;各基本事件均对应于集合 U 的含有 1 个元素 的子集, 包含 m 个结果的事件 A 对应于 U 的含有 m 个元 素的子集 A ;因此,从集合的角度看,事件 A 的概率是 子集 A 的元素个数(记作 card ( A) 与集合 U 的元素个数 card ( A) m 的比值,即 P( A) ? ? ; card (U ) n

( 3)互斥事件有一个发生的概率: ①互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。 ②互斥事件的概率: 如果事件 A, B 互斥,那么事件 A ? B 发生的概率,等 于 事 件 A, B 分 别 发 生 的 概 率 的 和 , 即 : P( A ? B ) ? P( A) ? P ( B) ; 如 果 事 件 A1 , A2 , A3 ,?, An 彼 此 互 斥 , 那 么 事 件 A1 , A2 , A3 ,?, An 发 生的概率 等于这 n 个 事件 分别发生的概率的和,即 P( A1 ? A2 ? ? ? An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? P( An )

③对立事件: 如果 A 表示事件 A 发生,A 表示事件 A 不 发生,那么事件 A 与 A 中必有一个发生,这种其中必有一 个发生的互斥事件叫做对立事件; ④对立事件的概率:对立事件概率的和等于 1,即: P( A) ? P( A) ? P( A ? A) ? 1 ; P( A) ? 1 ? P( A) ;

( 4)相互独立事件同时发生的概率: ①相互独立事件:事件 A (或 B )是否发生对事件 B (或 A )发生的概率没有影响, 这样的两个事件 叫做相互独立事件; 注意:如果事件 A, B 互相独立,那么 A 与 B , A 与 B , A 与 B 都是互相独立事件。

②相互独立事件同时发生的概率: 两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事 件发生的概率的积,即 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 如果事件 A1 , A2 , A3 ,?, An 相互独立,那么这 n 个 事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率 的积, 即 P( A1 ? A2 ? An ) ? P( A1 ) ? P ( A2 ) ? P ( An ) ;

( 5)独立重复试验: ①独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果 的概率都不依赖于其它各次试验的结果, 则称这 n 次试验是独立的。 ②独立重复试验的概率: 如果在一次试验中,某事件发生的概率为 P ,那么在 n 次独立重复试验中,这个事 件恰好发生 K 次的概率:

Pn (K ) ? C P (1 ? P )
k n k

n? k



( 1)抽样方法: ①简单随机抽样:一般地,设一个总体的个体数 为 N ,如果通过逐个抽取的方法从中抽取 一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到 的概率相等,就称这样的抽样为简单随机 抽样。 注意:如果用简单随机抽样从个体数为 N 的 总体中抽取一个容量为 n 的样本,那么每 n 个个体被抽到的概率都等于 ; N

Ⅰ、抽签法:先将总体中的所有个体(共有 N 个) 编号(号码可以从 1 到 N ) ,并把号码写在形 状、大小相同的号签上,然后将这些号签放 在同一个箱子里,进行均匀搅拌;抽签时, 每次从中抽出 1 个号签, 连续抽取 n 次, 就得 到一个容量为 n 的样本。 注意:抽签法简便易行,当总体的个体数 不多时,适宜采用这种方法。 Ⅱ、随机数表法:先将 N 件产品编号,可以编为 00,0l,02,?, N ,然后在附表 l 随机数表 中任选一个数作为开始。得到一系列的两位 数字号码,若大于 N 或前面已有此号码将它 去掉,这样可以得到一个容量为 n 的样本。

②系统抽样的概念:可将总体分成均衡的几个部分,然 后按照预先定出的规则,从每一部分抽取 1 个个 体, 得到所需要的样本, 这种抽样叫做系统抽样。 系统抽样的步骤: Ⅰ、采用随机的方式将总体中的个体编号; Ⅱ、将整个的编号分段 (即分成几个部分 ),要确定分 N 段的间隔 k ;当 ( N 为总体中的个体数,n 为样本 n N N 容量)是整数时, k ? ;当 不是整数 n n

时,运用简单的随机抽样,从总体中剔除一些个体使剩下 N? 的总体中个体个数 N’能被 n 整除,这时 k ? ; n Ⅲ、在第 1 段用简单随机抽样确定起始的个体编号 l ; Ⅳ、按照事先确定的规则抽取样本(通常是将 l 加上间 隔 k ,得到第 2 个编号 l ? k ,再将 l ? k 加上 k ,得 到第 3 个编号 l ? 2k ,这样继续下去,直到获取整个 样本) 。

③分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时,为了使样本更充 分地反映总体的情况,常将总体分成几部分,然后按照各部分所占的 比进行抽样;其中所分成的各部分叫做层。 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随 从总体中逐个 总体中的个 机抽样 抽取 体数较少 抽样过 将总体均分成 在起始部分 系统抽 程中每 几部分, 按事先 抽样时采用 总体中的个 个个体 确定的规则在 简单随机抽 样 体数较多 被抽取 各部分抽取 样 的概率 各层抽样时 将总体分成几 总体由差异 相等 分层抽 采用简单随 层, 分层进行抽 明显的几部 样 机抽样或系 取 分组 统抽样

( 2)能作出频率分布的直方图, 注意: 直方图中每一个小矩形表示样本落在这 个范围的频率。 理解:频数、频率、 、累积频率、概率的概念。 ( 3)期望与方差: x1 ? x 2 ? ? ? xn 期望(平均数) :x ? ; n

方差:
2 1 1 2 2 2 2 2 2 s ? [(x1 ? x) ? (x2 ? x) ? ?? (xn ? x) ] ? [(x1 ? x2 ??? xn ) ? nx ] n n 2

注意: x1 , x 2 ,?, xn 的期望为

x ,方差为 s

2

,则

( 1) x1 ? 2, x 2 ? 2,?, x n ? 2 的期望为 x ? 2 ,方差为

s

2



2 ( 2) 3x1 ? 2,3 x 2 ? 2,? ,3x n ? 2 的期望为 3 x ? 2 ,方差为 9 s ;

一、导数的概念: (1) 函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 处可导: 函数 y ? f ( x ) 在 x 0 到 x 0 ? ?x ?y f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) 之间的平均变化率,即 ? ; ?x ?x ?y 如果当 ?x ? 0 时, 有极限,则称函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 ?x 处可导。

( 2) 函数

y ? f ( x ) 在 开 区 间 (a, b)

内 可导 :如 果函数

y ? f ( x ) 在开区间 ( a, b) 内每一点处都可导,则称函数 y ? f ( x ) 在开区间 ( a , b ) 内可导;
(3)函数 y ? f ( x ) 在点 如果函数 y ? 叫做函数 记作:

x 0 的导数:
?z ?0

?y x f ( x ) 在点 0 处可导,那么极限 lim ?x

y ? f ( x) 在点 x 0 的导数(或变化率) ,

f ' ( x0 ) 或

y ' | x ? x0 ;

?y f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) ? lim 即 f ' ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x ?x ? 0 ?x

(4)函数 y ? f ( x ) 在开区间 ( a , b) 内的导函数(导数): 如果函数

y ? f ( x ) 在开区间 ( a, b) 内可导,那么对于

开区间 (a , b) 的每一个确定的值

x0

都对应着一个确定的

导数 f ' ( x 0 ) ,这样在开区间 (a, b) 内构成一个新的函数, 我们把这—新函数叫做函数

y ? f ( x ) 在开区间 (a, b) 内

的导函数(简称导数) ,记 f ' ( x ) 或

y ' ;即:

?y f ( x ? ?x ) ? f ( x) f ' ( x ) ? y' ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ? 0 ?x

( 5 )导数的几何意义 :函数

y ? f ( x) 在点 x 0 处的导数

f '(x0 ) , 就是曲线 y ? f ( x) 在点 P ( x0 , f ( x0 )) 处
的切线的斜率 k ,即 k ? tan ? ? f ' ( x 0 ) ; ( 6)导数在物理中的运用:函数 s

? s(t ) 在点 t 0 处的导数

s ' (t 0 ) ,就是当物体的运动方程为 s ? s (t ) 时,物体运动在
时刻 t 0 的瞬时速度

v, 即 v ? s ' (t0 ) ; 物体运动在时刻 t 0 的

加速度 a ? s ' ' (t 0 ) ;

n n?1 ( x )' ? nx C ' ? 0 二、几种常见函数的导数: ( C 为常数) ;

三、函数的和、差、积、商的导数: (1)和(差)的导数:两个函数的和(差 )的导数,等于这两个函 数的导数的和( 差),即 (u

? v )' ? u'? v '

容易推广到有限个函数的情形:

(u ? v ? ? ? w )' ? u '? v '? ? ? w '

(2)积的导数:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即:

(uv)' ? u ' v ? uv'
容易推出: (Cu )' ?

Cu ' ( C

为常数) :常数与函数的积的

导数等于这个常数乘以函数的导数;

四、导数的运用: (1)函数的单调性: ①设函数 y 则

? f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ' (x) ? 0 ,

f ( x ) 为增函数;如果 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为减函数。 ? f ( x) 在某个区间内可导, 如果 f ( x ) 在该区间

②设函数 y

上 单 调 递 增 ( 或 递 减 ) , 则 在 该 区 间 内 f ' ( x) ? 0 ( 或

f ' ( x) ? 0 )。

求可导函数

f ( x) 单调区间的步骤:

① 求 f ' (x) ; ② ②解不等式

f ' ( x) ? 0 (或 f ' ( x ) ? 0 ) ;

③确认并指出递增区间(或递减区间); 证明可导函数 f ( x ) 在 (a, b) 内的单调性的步骤: ① ② 求

f ' ( x) ; f ' ( x) 在 (a, b) 内的符号;

确认

③作出结论;

(2)函数的极大值与极小值: 函数极值的定义:设函数 如果对

f ( x) 在点 x 0 附近有定义,
f ( x) ? f ( x0 ) ( 或

x 0 附 近 的 所 有 的 点, 都 有

f ( x) ? f ( x0 ) ) ,就说 f ( x 0 ) 是函数 f ( x ) 的一个极大
(小)值;

求可导函数的极值的步骤: ① 求

f ' ( x) ;
f ' ( x) ? 0 的全部实根;

② ②求方程

③检查 f ' ( x ) 在方程 f ' ( x) ? 0 的根左右的值的符号, 如果左正右负, 那么 f ( x) 在这个根处取得极大值; 如 果左负右正,那么 f ( x ) 在这个根处取得极小值。

(3)函数的最大值与最小值: 求 f ( x ) 在 [a , b] 上的最大值和最小值的步骤: ①求 ②将

f ( x) 在 (a, b) 内的极值;

f ( x ) 的各极值与 f (a) , f (b) 比较, 确定 f ( x

的最大值与最小值。


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