大庆市高三年级第三次质量检测数学试题(理科定)

大庆市高三年级第三次教学质量检测试题



学(理科)
2014.4

命题组成员:王艳萍 侯典峰 戈冉舟 李世明 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自 己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. (1)复数 z ? 1 ? i ,则 (A)第一象限

1 ? z 对应的点所在的象限为 z
(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

x (2)已知全集 U ? R ,集合 A ? x lg x ? 0 , B ? x 2 ? 1 ,则 CU ( A ? B) ?

?

?

?

?

(A) (??,1)

(B) (1,??)

(C) (??,1]
2

(D) [1,??)

(3)设随机变量 ? 服从正态分布 N (1,? ) ,若 P(? ? 2) ? 0.8 ,则 P(0 ? ? ? 1) 的值为 (A) 0.6 (B) 0.4 (C) 0.3 (D) 0.2

(4)已知 m, n, l 是不同的直线, ? , ? , ? 是不同的平面,给出下列命题: ①若 m ∥ n , n ? ? ,则 m ∥ ? ;②若 m ? l , n ? l ,则 m ∥ n ; ③若 m ? n , m ∥ ? , n ∥ ? ,则 ? ? ? ;④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ∥ ? 其中正确的命题个数有 (A) 0 个 (B) 1 个 (C) 2 个 (D) 3 个

( 5 )定义区间 [ x1 , x2 ] 的长度为 x2 ? x1 . 若函数 y ? log2 x 的定义域为 [a, b] ,值域为

[0,2] ,则区间 [a, b] 的长度的最大值为

高三数学(理科)试题

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开始

(A)

15 2

(C) 3

15 4 3 (D) 4
(B) (B) ? (D)

s ? 0, n ? 1

(6)阅读右侧程序框图,输出的结果 s 的值为 (A) 0 (C) 3 (7)将函数 y ?

n ? 2014?




3 2 3
2

s ? s ? sin

n? 3

输出s
结束

n ? n+1

1 3 sin x ? cos x( x ? R) 的图象向左平移 m(m ? 0) 个单位长度后,所 4 4

得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是

? 12 ? (C) 3
(A)

(B)

? 6 5? (D) 6

(8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 (A) 92+14? (B) 92+24? (C) 80+10? (D) 80+20? (9)在 ?ABC 中,若 AB ? AC ? 7, AB ? AC ? 6 ,则 ?ABC 面积的最大值为 (A) 24 (10)已知双曲线 (B) 16 (C) 12 (D) 8

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过 F1 的直线 l a 2 b2

与双曲线的左、右两支分别交于 A 、 B 两点.若 ?ABF2 为等边三角形,则该双曲线 的离心率为 (A) 3 (11)在 ?ABC 中,若 (B) 7 (C) 13 (D) 15

sin B ? 2cos ? A ? B ? ,则 tan B 的最大值是 sin A
2 2
(C) 1 (D) 2

(A)

3 3

(B)

2 (12)已知点 A(a, b), B( x, y ) 为抛物线 y ? x 上两点,且 x ? a ,记 AB ? g ( x) .若函

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数 g ( x) 在定义域 (a, ??) 上单调递增,则点 A 的坐标不可能是 (A) (1,1 ) (B) (0, 0) (C) (-1,1 ) (D) (-2, 4)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~(21)题为必考题,每个试题考生都 必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)在 ( x ?

1 6 ) 的展开式中,常数项为___________(用数字作答). x2
2

(14)由曲线 y ? 2 x ,直线 y ? ?4 x ? 2, x ? 1围成的封闭图形的面积为__________. (15)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 、 B 在抛物线 y ? 4 x 上,满足 OA ? OB ? ?4 ,
2

F 是抛物线的焦点,则 S?OFA ? S?OFB ? ______________.
ax 2 ? 2 y 2 ?1 ? 0 恒成立,则 a 的取值范围 ( 16 ) 若 当 x ? ?1, 2? , y ? ? 2,3? 时 , xy
是 . 三. 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 10 分) 已知公差不为 0 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , S3 ? a4 ? 2 ,且 a1 , a2 ? 1, a3 ? 1 成等比数列. (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设数列 ?

?

1 ? 1 1 ? ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? (n ? N ) . 3 2 ? a n a n ?1 ?

(18) (本小题满分 12 分) 对某校高三学生一个月内参加体育活动的次数进行统计,随机抽取 M 名学生作为 样本, 得到这 M 名学生参加体育活动的次数.根据此数据做出了频数与频率的统计表和频 率分布直方图如下:

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分组

频数

频率

[10,15) [15,20) [20,25)

10

0.25

24

n
p
0.05
1

a

频率/组数

m
2
M

[25,30]
合计

O

10 15 20 25 30

次数

(I)求出表中 M , p 及图中 a 的值; (II)若该校高三学生有 240 人,试估计该校高三学生在一个月内参加体育活动的 次数在区间 [10,15) 内的人数; (III)在所取的样本中,从参加体育活动的次数不少于 20 次的学生中任取 4 人, 记此 4 人中参加体育活动不少于 25 次的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望. (19) (本小题满分 12 分) 如图所示, 直角梯形 PBCD , ?D ? 90 , PD ? 9 , BC ? 3 , CD ? 4 , PD ∥ BC ,
PD ? 3

?

点 A 在 PD 上,且 PA ? 2 AD ,将 ?PAB 沿 AB 折到 ?SAB 的位置,使 SB⊥BC . (I)求证: SA ? AD ; (II)点 E 在 SD 上,且 SE ?

???

? 1 ??? SD ,求二面角 S ? AC ? E 的余弦值. 3
S

P

A

D

E

A

D

B
(20) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? mx ? m, m ? R .

C
B C

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(I)求函数 f ( x) 的单调区间; (II)若 f ( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,求实数 m 的取值范围; (III)在(II)的条件下,证明:对任意的 0 ? a ? b , (21) (本小题满分 12 分) 设椭圆 E :

f (b) ? f (a) 1 ? ?1 . b?a a

x2 y 2 其长轴长是短轴长的 2 倍, 过焦点且垂直于 x ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

轴的直线被椭圆截得的弦长为 2 3 . (I)求椭圆 E 的方程; (II) 点 P 是椭圆 E 上横坐标大于 2 的动点, 点 B, C 在 y 轴上, 圆 ( x ? 1) ? y ? 1
2 2

内切于 ?PBC ,试判断点 P 在何位置时 ?PBC 的面积 S 最小,并证明你的判断.

y P B O C x

请考生在第(22)~(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计 分.做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号 中. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在 ?ABC 中, CD 是 ?ACB 的角平分线, ?ACD 的外接圆交 BC 于 E , AB ? 2 AC . (I)求证: BE ? 2 AD ; (II)当 AC ? 1 , BC ? 2 时,求 AD 的长.

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A

D

C

E B
(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 6 cos? ? ? y ? 2 sin?

( ? 为参数),直线 l 的参

? 3 x? t ? ? 2 数方程为 ? ( t 为参数), 以原点 O 为极点,x 轴 T 为直线 l 与曲线 C 的公共点, ?y ? 2 ? 1 t ? 2 ?
的正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求点 T 的极坐标; (II) 将曲线 C 上所有点的纵坐标伸长为原来的 3 倍(横坐标不变)后得到曲线 W , 过点 T 作直线 m ,若直线 m 被曲线 W 截得的线段长为 2 3 ,求直线 m 的极坐标方程. (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2 x ? 1 . (I)解不等式 f ( x) ? 4 ; (II)若不等式 f ( x) ? a ? 1 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围.

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