www9559com:人教版(A版)高中数学必修四 2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学课件 (共21张PPT)_图文

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平面向量数量积的物理背景及其含义

平面向量数量积的物理背景及其含义
学习目标:
(1)理解和掌握向量数量积的定义; (2)掌握向量数量积的重要性质; (3)理解向量数量积的几何意义; (4)掌握向量数量积的运算律

探求新知

平面向量数量积的物理背景及其含义
F

S

探求新知

平面向量数量积的物理背景及其含义
F
?S

问题1. 某人拉车,沿着绳子方向上的力为 F ,
车的位移为 S ,力和位移的夹角为 ? ,力所做的
功为多少?

探求新知

平面向量数量积的物理背景及其含义
F
?S

FS ?
问题2.决定功的大小的量有哪几个?

探求新知

平面向量数量积的物理背景及其含义

b

F

?S

a

a ? b ?| a || b | cos?

探求新知

平面向量数量积的物理背景及其含义

定义 已知两个非零向量 a 与b ,我们把数量 | a|| b| cos? 叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积),
记作 a ? b ,即 a?b?|a||b|co?s,
其中?是 a 与 b 的夹角.
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
1.“? ”是数量积运算符号,不能省略也不能用“? ”代替; 2. 数量积 a ? b 的结果是一个实数.

探求新知

平面向量数量积的物理背景及其含义

a?b?| a||b| co?s

问题3.决定向量数量积的大小的量有哪几个? 数量积的正、负、零由谁决定?

?

? ?0 0 ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??

2

22

a ?b ? ? 0 ? ?

巩固定义

平面向量数量积的物理背景及其含义

口答

1.已知| a |? 5 ,| b |? 4 , a 与 b 的夹角? ? 120o , a ? b ? ?10 .

2.已知正三角形ABC的边长为1,求:
1

(1)AB? AC?

2

;

?1

(2)AB? BC?

2

;

1

(3)AC? BC?

2

.

B

A
120 ?
60 ?
C 60 ?

总结性质

平面向量数量积的物理背景及其含义

3.平依面据向数量量积数定量义积完的成性以质下问题(a 与(ba是与非零b向是量)非零向量)

(1) a ?b ? a?b ? 0 ; 判定两向量垂直 (2)若 a 与 b 同向,则 a ? b ? | a || b | ;

若a 与 b 反向,则 a ? b ? ? | a || b | ;

特别地,a ? a ? |

a

| 2?

2
a ? ,|a|?

a?a?

2
a

a ?b
(3)co?s?
|a | b | ;
(4) | a ? b | ≤ | a || b | .

用于计算向量的模
用于计算向量的夹角,以 及判断三角形的形状.

再探定义

平面向量数量积的物理背景及其含义

B
b
?
O OB ?| b | cos? B1 1

a?b?|a||b|co?s
a A

| b | cos? 叫做 b 在 a 方向上的投影; | b | cos? ? a ?b
|a|
| a | cos? 叫做 a 在 b 方向上的投影; | a | cos? ? a ?b
|b|

再探定义

平面向量数量积的物理背景及其含义

a?b?|a||b|co?s
平面向量数量积的几何意义
数量积 a ? b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 上的投
影 | b | cos? 的乘积.

再探定义

平面向量数量积的物理背景及其含义

探究:数量积作为一种运算,有怎样的运算律呢?

运算律 实数乘法

向量的数量积

交换律

ab?ba

a?b?b?a

(a?b)?c?a?(b?c)
? ?? ? ? 结合律 (a)bc?a(b)c (a ) ?b ? a ?(b ) ?a ?b
分配律 (a?b)c?ac?bc (a?b)?c?a?c?b?c

再探定义

平面向量数量积的物理背景及其含义

平面向量数量积的运算律

交换律 结合律

a?b?b?a
? ?? ? ? (a ) ?b ? a ?(b ) ?a ?b

分配律

(a?b)?c?a?c?b?c

平面向量数量积的物理背景及其含义

证明分配律:

b

向量a、b、a + b在c

a

a+b

上的射影的数量分别

是OM、MN、 ON, 则 O M

Nc

(a + b) ·c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .

平面向量数量积的物理背景及其含义

练习:判断正误
1.若a=0,则对任一向量b ,有a ·b=0

(√ )

2.若a≠0,则对任一非零向量b,有a ·b≠0 ( × )

3.若a≠0,a ·b=0,则b=0 4.若a ·b=0,则a ·b中至少有一个为0

(× ) (× )

5.若b≠0,a ·b= b ·c,则a=c

(× )

6.若a ·b= a ·c ,则b≠c,当且仅当a=0时成立 ( × )

7对任一向量a,有a2=|a|2

(√ )

典例分析

平面向量数量积的物理背景及其含义

例1.证明(1) (a?b)2?a2?2a?b?b2;
22
(2) (a?b)?(a?b)?a?b.

证明:(1) (a ? b) 2 ?(a?b)?(a?b)

?a?a?a?b?b?a?b?b

2

2

?a ?2a?b?b

(2)(a?b)?(a?b) ?a?a-a?b?b?a-b?b
22
?a ?b

典例分析

平面向量数量积的物理背景及其含义

例2.已知 | a |? 6 ,| b |? 4 ,a 与 b 的夹角为 60 o ,
求 (a?2b)?(a?3b).
解: (a?2b)?(a?3b) ?a?a?a?b?6b?b ?|a|2?a?b?6|b|2 ?|a|2?|a||b|co 6?s 0 ?6|b|2 ?62?6?4?1?6?42 2
??72

典例分析

平面向量数量积的物理背景及其含义

例3 已知︱a ︱=3,︱b ︱=4,且 a 与 b 不共线.求 当k为何值时,向量 a +k b 与 a -k b 互相垂直?

巩固练习

平面向量数量积的物理背景及其含义

1.在△ABC中, BA =a , BC =b ,a·b<0 ,则△ABC 是_钝__角__三角形

2.已知 |a| =4,е为单位向量,它们的夹角为


3

则 a在е方向上的投影是___–_2_

3.设a、b、c是非零向量,则(a·b)·c是( C )

(A)数量

(B)与a共线的向量

(C) 与c共线的向量 (D)无意义

概括总结

平面向量数量积的物理背景及其含义

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