(必修2)4.3.2空间两点间的距离_图文

4.3.2空间两点间的距离公 式

2014-10-25

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复习引入
1 在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么?
p1 p2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

2 在空间直角坐标系中,若已知两个点的坐标,则 这两点之间的距离是惟一确定的,我们希望有一 个求两点间距离的计算公式

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2

探究(一):坐标轴两点点的距离公式
?

探究1.在空间直角坐标系中,坐标轴上的点A (x1,0,0),B(0,y1,0),C(0,0, z1),与坐标原点O的距离分别是什么?

?

其实这是一维直线两点间的距离 z

|OA|=|x1-0| |OB|=|y1-0| |OC|=|z1-0|
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B O A C

y

x
3

?

探究2.在空间直角坐标系中,坐标轴上的两点 A(x1,0,0),A’(x2,0,0),B(0, y1,o)B’(O,Y2,O),C(O,O,Z1),C’(0,0,Z2) 的距离分别是什么?

|AA’|=|X1-X2|
B

z
C’ B
A’

|BB’|=|Y1-Y2| |CC’|=|Z1-Z2|
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O C

y

A

x
4

探究(二):坐标平面两点点的距离公 式
探究3. 在空间直角坐标系中,坐标平面上的点A(x,y,0), B(0,y,z),C(x,0,z),与坐标原点O的距离 分别是什么?

其实这是平面两点间的距离
(x,0,z)

z

B(0,y,z)

| OA |=
| OB |=

x2 + y2
y +z ,
2 2

C

O

y
2

| OC |=
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x +z

2

x

A(x,y,0)

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探究4. 在空间直角坐标系中,坐标平面上的 点A(x1,y1,0),A’(X2,Y2,0) 的距离
AA' ? ( X 1 ? X 2) 2 ? (Y 1 ? Y 2) 2

z
O A’(X2,Y2,0)

y

x
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A(x1,y1,0)

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探究5:
在空间直角坐标系中,设点 P(x,y,z)在xOy 平面上的射影为M,则点M的坐标是什么? |PM|,|OM|的值分别是什么?

M(x,y,0)

z
P(x,y,z)

|PM|=|z|

O y x M

| OM |=
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x +y

2

2
7

探究5: P(x,y,z)与坐标原点O

的距离公式吗?
z
O

P
y

| OM |=

x +y

2

2

x

M

|PM|=|z|
2 2

| OP |=
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x +y +z

2

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探究(三):空间两点间的距离公式
探究6:在空间中,设点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2, z2)在xOy平面上的射影分别为M、N.
M(X1,Y1) N(X2,Y2) x M

z O
P1

P2

N

y

| MN |=
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(x 1 - x 2 )2 + (y1 - y 2 )2
9

z O
x P1

P2
A

M

N

y

|P2A|=|z1-z2|
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探究7:若直线P1P2 是xOy平面的一条斜 线,则点P1、P2的距离如何计算?
2 2 P P ? P A ? P A 1 2 1 2

z
P1 O x

P2

? MN ? (Z1 ? Z 2 )
2

2

A
y

M

N

| P1P2 |=
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(x 1 - x 2 ) + (y1 - y 2 ) + (z 1 - z 2 )

2

2

2

11

? 结论空间两点间的距离公式

| P1P2 |=

(x 1 - x 2 ) + (y1 - y 2 ) + (z 1 - z 2 )

2

2

2

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例1 在空间中,已知点A(1, 0, -1),B (4, 3, -1),求A、B两点之 间的距离. 例2 已知两点 A(-4, 1, 7)和 B(3, 5, -2),点P在z轴上,若 |PA|=|PB|,求点P的坐标.
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例3 如图,点P、Q分别在棱长 为1的正方体的对角线AB和棱CD上运 动,求P、Q两点间的距离的最小值, 并指出此时P、Q两点的位置.
z A P O M
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D Q N B C y

x

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