2013届高考数学一轮复习讲义:14[1].1_几何证明选讲

一轮复习讲义

几何证明选讲

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要点梳理
1.平行截割定理 平行截割定理

忆一忆知识要点

(1) (1)平行线等分线段定理

平行线 在一条直线上截得的线段相等,那么在任 如果一组
( ) 一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也 相等 . (2) (2)平行线分线段成比例定理 两条直线与一组平行线相交,它们被这组平行线截得的对 应线段成 比例 .

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要点梳理

忆一忆知识要点

2.相似三角形的判定与性质 相似三角形的判定与性质 (1) (1)相似三角形的判定定理 ①两角对应 相等 的两个三角形 相似 . ②两边对应成 比例 且夹角相等 的两个三角形 相似 ; ③三边对应 比例 的两个三角形 相似 ; (2) (2)相似三角形的性质定理 ①相似三角形的对应线段的比等于 相似比 . ②相似三角形周长的比等于 相似比 . ③相似三角形面积的比等于 相似比的平方 .

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要点梳理

忆一忆知识要点

直角三角形射影定理 3.直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于 该直角边在斜边上的

射影与斜边的乘积 ,斜边上的高的平方等于 两条直角边 在斜边上的射影的乘积 .
圆中有关的定理 4.圆中有关的定理 (1) (1)圆周角定理:圆周角的度数等于其所对弧的度数的

一半 .
(2) (2)圆心角定理:圆心角的度数等于 它所对弧 的度数.

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要点梳理
①切线的判定定理

忆一忆知识要点

(3) (3)切线的判定与性质定理 过半径外端且与这条半径 垂直 的直线是圆的切线. ②切线的性质定理 圆的切线 垂直 于经过切点的半径. (4) (4)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,切线长 相等 . (5) (5)弦切角定理 弦切角的度数等于其所夹弧的度数的 一半 .

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要点梳理
(6) (6)相交弦定理

忆一忆知识要点

圆的两条相交弦,每条弦被交点分成的两条线段长的积相等 . (7) (7)割线定理 从圆外一点引圆的两条割线,该点到每条割线与圆的交点的 两条线段长的积相等. (8) (8)切割线定理 从圆外一点引圆的一条割线与一条切线,切线长是这点到割 线与圆的两个交点的线段长的 等比中项 .

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要点梳理

忆一忆知识要点

(9) (9)圆内接四边形的性质与判定定理 ①圆内接四边形判定定理 ) (ⅰ)如果四边形的对角 互补 ,则此四边形内接于圆; (ⅱ)如果四边形的一个外角 等于 它的内角的对角,那么这 ) 个四边形的四个顶点共圆. ②圆内接四边形性质定理 ) (ⅰ)圆内接四边形的对角 互补 ; ) (ⅱ)圆内接四边形的外角 等于 它的内角的对角.

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] [难点正本 疑点清源] 抓住判定两个三角形相似的常规思路 1.抓住判定两个三角形相似的常规思路 (1)先找两对对应角相等; (1)先找两对对应角相等; (2)若只能找到一对对应角相等,则判断相等的角的两夹 (2)若只能找到一对对应角相等,则判断相等的角的两夹 边是否对应成比例; (3)若找不到角相等,就判断三边是否对应成比例,否则 (3)若找不到角相等,就判断三边是否对应成比例,否则 考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的 传递 考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递 性”.

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2.借助图形判断三角形相似的方法 (1)有平行线的可围绕平行线找相似; (1)有平行线的可围绕平行线找相似; (2)有公共角或相等角的可围绕角做文章,再找其他相等 (2)有公共角或相等角的可围绕角做文章,再找其他相等 的角或对应边成比例; (3)有公共边的可将图形旋转,观察其特征,找出相等的 (3)有公共边的可将图形旋转,观察其特征,找出相等的 角或成比例的对应边. 3.与圆有关的等角问题 找角相等,要有找同弧或等弧所对的圆周角,并注意结 合应用弦切角定理的意识.

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相似三角形的判定及性质
例 1 如图所示,已知在△ABC 中,∠BAC 90° =90° AD⊥BC,E 是 AC 的中点,ED 交 90°, AB DF AB 的延长线于 F,求证:AC=AF.

BD 先证明 ABD∽△CAD,再证明 FBD∽△FDA,利用 过 先证明△ ,再证明△ AD
渡可证结论. 证明 ∵∠BAC=90°,AD⊥BC, 90°,
∴∠ADB=∠ADC=∠BAC=90°, 90°,
1 2 90°, 2 ∴∠1+∠2=90°,∠2+∠ACB=90°, 90°,

AB BD 1=∠ACB,∴△ABD∽△CAD,∴ = . ∴∠1 AC AD

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3 又∵E 是 AC 的中点, DE=EC,∴∠3=∠ACB. 的中点,∴
3 4 1 1 4 又∵∠3=∠4,∠1=∠ACB,∴∠1=∠4, 又有 F=∠F,∴△FBD∽△FDA, 又有∠ BD DF AB DF ∴AD= AF ,∴AC=AF .

探究提高
(1) (1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定 理,特别要注意对应角和对应边. (2) (2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等;可间 接证明线段相等.

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变式训练 1
如图,?ABCD 中,E 是 CD 的延长线上一点, 1 BE 与 AD 交于点 F,DE=2CD. (1) (1)求证:△ABF∽△CEB; (2) (2)若△DEF 的面积为 2,求?ABCD 的面积.
四边形 (1)证明 ∵四边形 ABCD 是平行四边形, (1)证明 ∴∠A=∠C,AB∥CD,∴∠ABF=∠CEB, ∴△ABF∽△CEB.
四边形 (2)解 ∵四边形 ABCD 是平行四边形, (2)解 ∴AD∥BC,AB∥CD,

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∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF. S△DEF ?DE?2 S△DEF ?DE?2 ∴ =?CE ? , =?AB? . S△CEB ? ? S△ABF ? ? 1 1 又∵DE= CD= AB, 2 2 ∴CE=DE+CD=DE+2DE=3DE.

S△DEF ? DE ?2 1 S△DEF ? DE ?2 1 ∴ =?3DE? = , =?2DE? = , 9 S△ABF ? 4 S△CEB ? ? ?
∵S△DEF=2,∴S△CEB=18,S△ABF=8. 18, ∴S?ABCD=S△ABF+S△CEB-S△DEF=8+18-2=24. 18-

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直角三角形射影定理及其应用
例 2 如图所示,AD、BE 是△ABC 的两 条高,DF⊥AB,垂足为 F,直线 FD 交 BE 于点 G,交 AC 的延长线于 H, 求证:DF2=GF·HF.

先证 AFH∽△GFB,再在 Rt ABD 中利用射影定理. 先证△ Rt△
证明 ∵∠H+∠BAC=90°,∠GBF+∠BAC=90°, 90°, 90°, ∴∠H=∠GBF.∵∠AFH=∠GFB=90°, 90°, HF AF ∴△AFH∽△GFB.∴ BF =GF,∴AF·BF=GF·HF.

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因 为 在 Rt ABD 中 , FD ⊥ AB , ∴ DF 2= AF ·BF , Rt△ 所 以 DF 2 = GF ·HF .

探究提高
(1) (1)在使用直角三角形射影定理时,要注意将 “乘积式”转化 为相似三角形中的“比例式”. (2) (2)证题时,要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时 常用的方法.

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变式训练 2
90° 如图,在 Rt ABC 中,∠ACB=90° CD⊥AB Rt△ 90°, 于点 D,DE⊥AC 于点 E,DF⊥BC 于点 F,求 AC3 AE 证: 3=BF. BC

证明 由直角三角形射影定理,知 AC2=AD·AB,

BC2=BD·AB,AD2=AE·AC,BD2=BF·BC, AC2 AD ∴ 2=BD. BC
AC4 AD2 AE·AC AC3 AE ∴ 4= 2= BC BD BF·BC,∴BC3=BF.

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圆周角、弦切角及圆的切 线问题
例 3 如图所示,⊙O 的直径为 6,AB 为 3 ⊙O 的直径,C 为圆周上一点,BC=3, 过 C 作圆的切线 l,过 A 作 l 的垂线 AD,

AD 分别与直线 l、圆交于 D、E,
(1) (1)求∠DAC 的度数; (2) (2)求线段 AE 的长.
(1) BCF=∠BAC=30°,∠ACD+∠BCF=∠ACD+∠DAC (1)∠ 30°, =90°; 90°; (2)可证明 Rt ABE≌Rt△BAC. R (2)可证明 Rt△

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解 (1)由已知 ABC 是直角三角形,易知 CAB=30°, (1)由已知 由已知△ 是直角三角形,易知∠ 30°, 由于直线 l 与⊙O 相切,由弦切角定理知 BCF=30°, 相切,由弦切角定理知∠ 30°,
由∠DCA+∠ACB+∠BCF=180°,知 DCA=60°, 180°,知 ,知∠ 60°, 故在 Rt ADC 中, DAC=30°. Rt△ 中,∠

(2)方法一 连结 BE,如图(1)所示, (2)方法一 ,如图(1) (1)所示, ∠EAB=60°=∠CBA, 60°= Rt 则 Rt ABE≌Rt BAC, Rt△ Rt△ 所以 AE=BC=3. 方法二 连结 EC,OC,如 图 (2)所示,则由弦切角定理知,∠DCE 图(2)所示,则由弦切角定理知, (2)所示,
=∠CAE=30°, 30°

(1)

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又∠DCA=60°, 60°, 故∠ECA=30°, 30°, 又因为 CAB=30°, 又因为∠ 30°, 故∠ECA=∠CAB,从而 EC∥AO, 由 OC⊥l,AD⊥l, 可得 OC∥AE,故四边形 AOCE 是平行四边形, 又因为 OA=OC,故四边形 AOCE 是菱形,故 AE=AO=3.

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探究提高
(1) (1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推 出角的关系,从而证明三角形全等或相似,可求线段或 角的大小. (2) (2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化;关于圆周 ( ) ( ) 上的点,常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作 弦切角.

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变式训练 3
(2010·课标全国)如图,已知圆上的弧 AC = 2010·课标全国 课标全国)

BD ,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交 于 E 点,证明:
(1) ACE=∠BCD; (1)∠ (2)BC2=BE×CD.
证明 (1)因为AC =BD ,所以 BCD=∠ABC. (1)因为 ,所以∠ 又因为 EC 与圆相切于点 C,故 ACE=∠ABC, ,故∠ 所以 ACE=∠BCD. 所以∠



(2)因为 ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD, (2)因为 因为∠ BC CD 所以 BDC∽△ECB,故BE=BC ,即 BC2=BE×CD. 所以△







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与圆有关的比例线段
例 4 如图,PA 切⊙O 于点 A,割线 PBC 交 ⊙O 于点 B,C,∠APC 的角平分线分别与

AB、AC 相交于点 D、E,求证:
(1)AD=AE; (2)AD2=DB·EC.
(1)要证 AD=AE,只需证明 ADE=∠AED,而 AED 是△EPC (1)要证 ,只需证明∠ ,而∠ 的外角, ADE 是△APD 的外角,因此可利用此两条件结合 EP 的外角,∠ 是∠APC 的平分线证明.(2)证明 AD2=DB·EC,应将等积式转化 的平分线证明.(2) (2)证明 AD 为比例式, 由于题中含条件 AD=AE, 因此可将待证式转化为 EC= DB ,利用已知图形中三角形相似的条件证明. AE

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证明 (1) AED=∠EPC+∠C,∠ADE=∠APD+∠PAB . (1)∠ 因 PE 是∠APC 的角平分线,故 EPC=∠APD. 的角平分线,故∠ 又 PA 是⊙O 的切线,故 C=∠PAB . 的切线,故∠ 所以 AED=∠ADE.故 AD=AE. 所以∠
∠PCE=∠PAD ? ? EC PC ??△PCE∽△PAD ? (2) = ; AD PA ∠CPE=∠APD? ? ∠PEA=∠PDB? ? AE PA ??△PAE ∽△PBD? DB=PB. ? ∠APE=∠BPD? PA PC 2 又 PA 是切线, PBC 是割线 PA =PB·PC?PB= PA . 是割线? EC AE 故AD=DB,又 AD=AE,故 AD2=DB·EC.

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探究提高
涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段,常利用圆周角或 弦切角证明三角形相似,在相似三角形中寻找比例线段;也 可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例,在实际 应用中,一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理,涉及 两条割线就要想到割线定理,见到切线和割线时要注意应用 切割线定理.

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变式训练 4
如图所示,已知 PA 与⊙O 相切,A 为切点,

PBC 为割线,弦 CD∥AP,AD、BC 相交于 E 点,F 为 CE 上一点,且 DE2=EF·EC.
(1) (1)求证:∠P=∠EDF; (2) (2)求证:CE·EB=EF·EP. 证明 (1) DE2=EF·EC,∴DE∶CE=EF∶ED. (1)∵ ∵∠DEF 是公共角, 是公共角,∴△DEF∽△CED,∴∠EDF=∠C. ∵CD∥AP,∴∠C=∠P,∴∠P=∠EDF. (2) (2)∵∠P=∠EDF,∠DEF=∠PEA,
∴△DEF∽△PEA.∴DE∶PE=EF∶EA.
即 EF·EP=DE·EA. 弦 ∵弦 AD、BC 相交于点 E,∴DE·EA=CE·EB, ∴CE·EB=EF·EP.

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答题规范
证明题格式要规范 ) (10 分)如图,已知△ABC 的两条角平分线 60° AD 和 CE 相交于 H,∠B=60° F 在 AC 60°, 上,且 AE=AF.证明: (1)B、D、H、E 四点共圆; (2)CE 平分∠DEF.

审题视角
(1)要证四点共圆, 关键是证四边形 BDHE 的一组对角互补. 所 (1)要证四点共圆, 以要从角的关系入手. (2)证明 CE 平分 DEF,就是要证 CED=∠CEF,可从找 (2)证明 平分∠ ,就是要证∠ 这两个角的关系入手.

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证明 (1)在△ABC 中,因为 B=60°, (1)在 中,因为∠ 60°, 所以 BAC+∠BCA=120°. 所以∠
因为 AD、CE 分别是 BAC 、∠DCF 的平分线, 分别是∠ 所以 HAC+∠HCA=60°, 所以∠ 60°, 故∠AHC=120°. 于是 EHD=∠AHC=120°. 于是∠ 所以 EBD+∠EHD=180°, 所以∠ 180°, 所以 B、D、H、E 四点共圆. (2)连结 BH,则 BH 为∠ABC 的平 (2)连结 分线,得 HBD=30°. 分线,得∠ [6 分] [3 分]

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由(1)知 B、D、H、E 四点共圆, (1)知 所以 CED=∠HBD=30°. 所以∠
又∠AHE=∠EBD=60°, 60°, 由已知可得 EF⊥AD,可得 CEF=30°. ,可得∠ 所以 CE 平分 DEF . 平分∠ [10 分]

[8 分]

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批阅笔记

(1) (1)本题主要考查了四点共圆的充要条件及角平分线的性质应用. (2) (2)学生易错原因是弄不清四点共圆的条件,或找不到 ∠EBD 与 ∠EHD 的互补关系,从而无从入手. (3) (3)推理过程不严谨,书写格式不规范.要写清楚定理的条件,每 步推理要体现出“因为……,所以……”的格式来.

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方法与技巧
1.证明等积式成立,应先把它写成比例式,找出比例式中给 出的线段所在三角形是否相似,若不相似,则进行线段 替换或等比替换. 2.圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时,要注意找相等的 角,找相似三角形,从而得出线段的比.由于圆幂定理 涉及圆中线段的数量计算,所以应注意代数法在解题中 的应用.

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失误与防范
1.在应用平行截割定理时,一定要注意对应线段成比例. 2.在解决相似三角形时,一定要注意对应角和对应边,否则 容易出错.

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