北京市陈经纶中学-高二数学


第一章 直线和平面

三垂线定理

这是偶然的巧合,还是必然?

cos?· cos?=cos?
?=∠AOB ? =∠DOB ? =∠AOD O E

A

P

B M D

O

a

? A
PO⊥ a

AE⊥OD





三垂线定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直,那么,它就和这条斜线垂直。
已知 PA、PO分别 是平面?的垂线、斜 线,AO是PO在平面? 上的射影。a? ?, a⊥AO。

P

O

a

求证: a⊥PO

? A

P

证明:
PA⊥? a?? PA ⊥a

O

a

? A AO⊥a

a⊥平面PAO
PO?平面PAO

a⊥PO

三垂线定理:

在平面 内的一条直线,如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直,那 么,它就和这条斜线垂直。

P

O

a

? A

PA⊥? a??

PA ⊥a

AO⊥a

证明:

a⊥平面PAO
PO?平面PAO

a⊥PO

例1 已知P 是平面ABC 外一点, PA⊥平面 ABC ,AC ⊥ BC, 求证: PC ⊥ BC 证明:∵ P 是平面ABC 外一点 PA⊥平面ABC ∴PC是平面ABC的斜线 ∴AC是PC在平面ABC上的射影 A ∵BC?平面ABC 且AC ⊥ BC ∴由三垂线定理得 PC ⊥ BC P

O M

B

C

例2 直接利用三垂线定理证明下列各题: (1) PA⊥正方形ABCD所在平面,O为对角线BD的中点 求证:PO⊥BD,PC⊥BD (2) 已知:PA⊥平面PBC,PB=PC,M是BC的中点, 求证:BC⊥AM (3) 在正方体AC1中,求证:A1C⊥B1D1,A1C⊥BC1

P A O B C

P

D1

C1

A1
D A C

B1 D
C

M (2) B

A (3)

(1)

B

(1) PA⊥正方形ABCD所在平

P A

面,O为对角线BD的中点,
求证:PO⊥BD,PC⊥BD 证明: ∵ABCD为正方形

D

O
B ?? C
PO⊥BD

O为BD的中点

∴ AO⊥BD 又PA⊥平面ABCD ,AO是PO在ABCD上的射影 同理,AC⊥BD

PA⊥平面ABCD ,
AO是PO在ABCD上的射影

??

PC⊥BD

P
(2) 已知:PA⊥平面PBC,PB=PC,
M是BC的中点, 求证:BC⊥AM 证明: ∵ PB=PC M是BC的中点

C A

M B
?? BC⊥AM

?? PM ⊥BC
∵PA⊥平面PBC
∴PM是AM在平面PBC上的射影

D1 (3) 在正方体AC1中,

C1
B1

求证:A1C⊥BC1 , A1C⊥B1D1
证明: ∵在正方体AC1中 A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C

A1

D
A D1 B1 D B

C

∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影

C1

由三垂线定理知
A1C⊥BC1

A1

同理可证, A1C⊥B1D1

C B

A

我们要学会从纷繁的已知条件中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件 ,怎么找? P A O

解 题 回 顾

α

A

O

a

α
P

a

P

A1

B1

C1 C C B A M B

三垂线定理解题的关键:找三垂!

解 题 回 顾

怎么找?
一找直线和平面垂直 二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直 P

α

A

O

a

注意:由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件

使用三垂线定理还应注意些什么?

解 题 回 顾

三垂线定理是平面
的一条斜线与平面内的 直线垂直的判定定理, 这两条直线可以是: ①相交直线 ②异面直线 P

α

e d c A

O b

a

注意:如果将定理中

解 题 回 顾

“在平面内”的条件 去掉,结论仍然成立 吗?

例如:当 b⊥? 时, b⊥OA

但 b不垂直于OP
P
b

直线a 在一定要在 平面内,如果 a 不 在平面内,定理就 不一定成立。

O

a

α

A

三垂线定理包含几种垂直关系?
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P P P O

α

A

O

a

α

A

a

α

A

O

a

直 线 和

平面垂直

平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直

平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直

三垂线定理的逆定理
线射垂直
α
P

A

O

a


α

P A

线斜垂直
O

a

平面内的一条直线和 平面的一条斜线在平 面内的射影垂直

平面内的一条直 线和平面的一条 斜线垂直

三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么,它也和这条斜线的射影垂直。 P 已知:PA,PO分 别是平面? 的垂线和斜 线,AO是PO在平面? A O

a

α

的射影,a ? ? ,a ⊥PO

求证:a ⊥AO

线射垂直
三垂线定理:





逆定理

线斜垂直
线射垂直
定 理 逆 定 理

在平面 内的一条直线,如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直,那 么,它就和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果和 这个平面的一条斜线垂直,那 么,它也和这条斜线的射影垂 直。

线斜垂直

例3 在四面体ABCD中,已知AB⊥CD,AC⊥BD 求证:AD⊥BC 证明:作AO⊥平面BCD于点O, 连接BO,CO,DO,则BO, CO,DO分别为AB,AC, AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD,∴BO⊥CD, 同理CO⊥BD, 于是O是△BCD的垂心, ∴DO⊥BC,于是AD⊥BC.

A

B
O C

D

练习与作业
1. 在正方体AC1中,E、G分别是AA1和 CC1的中点, F在AB上,且C1E⊥EF, 则EF与GD所成的角的大小为( D ) (A) 30° (B) 45° (C) 60°(D) 90°

D1 A1 E A D B1 M

C1 G C

EB1是EC1在平面AB1 内的射影

F

B

EB1 ⊥EF DG∥AM∥EB1 EF ⊥DG

P

2.已知 PA、PB、PC两两垂直, 求证:P在平面ABC内的射影是 △ABC的垂心。
3.经过一个角的顶点引这个角 所在平面的斜线,如果斜线和 这个角两边的夹角相等,那么 斜线在平面上的射影是这个角 D1 的平分线所在的直线。 B
C1

H
C
A1

A

B1

4.在ABCD—A1B1C1D1中, 求证:AC1⊥平面BC1D
D

C
A

B


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