1.5 函数y=Asin(wx+φ)的图象(一)_图文

1.5 函数 y ? Asin(?x ? ?) 的图象(一)

1. y ? sin x, x ?[0,2? ]图象的五个关键点
? 3? 关键点 : (0,0), ( ,1), (? ,0), ( ,?1), (2? ,0) 2 2 y 1
O 1
?
2

?

3? 2

2?

x

2.如何做函数 y ? 3 sin( 2 x ?
1.列表: x
-

?
3

)的图象
5? 6
2?

?
6

?
12
? 2

?
3
?

7? 12
3? 2

2x ?

?
3
?

0

sin( 2 x ? ) 3 3 sin( 2 x ? ) 3

0

1

0

-1

0

?

0

3

0

-3

0

y 3 2

? y ? 3 sin( 2 x ? ) 3

1
?

? 6

o
-1

? 12

? 3

7 ? 12

5? 6

x

-2

-3

下面, 我们来探究 A, ?, ?对函数 y ? A sin(?x ? ? )图象的影响

1.y=sin(x+?)与y=sinx的图象关系:
做出

? y ? sin( x ? ) 3

? 和的 y ? sin( x ? ) 图像 6

y ? sin( x ? ) 3

y ? 1 O

y ? sin x

? y ? sin( x ? ) 6

?

?
2

?

?
3

? ? 2
6 2 3

?

?

3? 5? 2? 13? x 2 3 6

-1

1.y=sin(x+?)与y=sinx的图象关系:
函数 y=sin(x+?)(??0) 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有的点向左(当?>0时)或 向右(当?<0时)平行移动|?|个单位而得到的.
所有的点向左(? >0) 或向右(? <0)平移
| ? | 个单位

y=sinx

y=sin(x+?)

下面, 我们来探究函数 y ? sin ?x 与y ? sin x图象的关系

1 例1:作函数 y ? sin 2 x及 y ? sin x的图象. 2
2x
0 0 ?

x
y 1 O -1
? 4

?

2

? ?
2

4

3? 2? 2 3? ? 4

1 x 2

0 0
x

?
2

?

3? 2? 2

x
sin 1 2

?
1

2? 3? 4?
0 ?1 0

sin 2 x 0

1

0 ?1 0

0

? 2

3? 4

?

3? 2

2?

5? 2

3?

7? 2

4?

x

y ? sin 2 x

y ? sin x

1 y ? sin x 2

间的变化关系. y 1

1 y ? sin x 与 y ? sin x 的图象 函数 y ? sin 2 x 、 2

O

?
2

?

2?

4? x
1 y ? sin x 2

-1

y ? sin 2 x

2.y=sin?x与y=sinx的图象关系:
函数 y=sin?x (?>0且??0) 的图象可以看作 是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短 (当?>1时)或伸长(当0< ?<1时)到原来的1/? 倍(纵坐标不变)而得到的.

y=sinx

所有的点横坐标缩短(?>1) 或伸长(0< ?<1) 1/?倍 纵坐标不变

y=sin?x

下面, 我们来探究函数 y ? A sin x( A ? 0) 与y ? sin x图象的关系

例2:作下列函数图象: y ? 2 sin x 1 y ? sin x 2 y
2 1 O -1 -2
? 2

x sinx 2sinx
1 si n x 2

0 0 0 0

?
2
1 2
1 2

3? ? 2? 2
0
?1

0 0 0

0 ?2
1 0 ? 2

?

3? 2

2?

x

1 y ? sin x 2

y ? sin x

y ? 2 sin x

1 y ? sin x 与 y ? sin x 的图象 函数 y ? 2 sin x 、 2

间的变化关系.
y 2 1 O
?
2

?

-1 -2

3? 2

2?

x

1 y ? sin x 2

y ? 2 sin x

3.y=Asinx(A>0)与y=sinx的图象关系:
函数 y=Asinx(A>0且A?1) 的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时) 或缩短(当0< A<1时)到原来的A倍(横坐标不变) 而得到的.
所有的点纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0< A<1) A倍 y=sinx y=Asinx 横坐标不变

伸缩变换
f(x)
所有的点横坐标缩短(?>1) 或伸长(0< ?<1) 1/?倍 纵坐标不变 所有的点纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0< A<1) A倍 横坐标不变

f(?x)(?>0)

f(x)

Af(x)(A>0)

参数φ, ω, A 对图象的影响
φ:沿x轴平移|φ|个单位,
口诀:“左加” “右减”

ω: 横坐标伸长或缩短为原来的1/ω A:纵坐标伸长或缩短为原来的A倍

例3:如何由 y ? sinx 变换得
y ? 3 sin ( 2x ?

?
3

) 的图象?

解法一:

(1)向左平移 3 函数 y=sinx
1 (2)横坐标缩短到原来的 2 倍

?

y=sin(x+

?
3

) 的图象

y=sin(2x+

?
3

)的图象

纵坐标不变

(3)横坐标不变
纵坐标伸长到原来的3倍

y=3sin(2x+

?
3

)的图象

先把正弦曲线上所有的 点向左平行移动 个单位 3 长度, 得到y ? sin(x ? )的图象, 再把后者所有点的 3 1 横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变), 得到 2 y ? sin(2 x ? )的图象, 再把所得图象上所有点 的纵 3 坐标伸长到原来的 3倍(横坐标不变)而得到函数 y ? 3 sin(2 x ? )的图象. 3

?

?

?

?

方法1:(按 ? , ω, A 顺序变换)
y 3 2 1
?

? y ? 3 sin( 2 x ? ) 3 ? y ? sin( 2 x ? ) 3
? 6
? 3
2 5? 7 ? ? 12 3 6

? ??
3

o
-1

6

?

7 ? 6

5? 3

2?

x

-2
-3

? y ? sin( x ? ) 3

y ? sin x

解法二:

函数 y=sinx

1 (1)横坐标缩短到原来的 2 倍

纵坐标不变
?

y=sin2x 的图象

(2)向左平移 6

y=sin(2x+

?
3

)的图象

(3)横坐标不变

y=3sin(2x+

?
3

)的图象

纵坐标伸长到原来的3倍

先把正弦曲线上所有的 点的横坐标缩短到原来 1 的 倍(纵坐标不变), 得到y ? sin 2 x的图象, 再把 2 后者图象上所有的点向 左平行移动 个单位长 6 度, 得到y ? sin(2 x ? )的图象, 再把所得图象上 3 所有点的纵坐标伸长到 原来的3倍(横坐标不变) 而得到函数y ? 3 sin(2 x ? )的图象. 3

?

?

?

ω,? , A 顺序变换) 方法2:( 按 y
3
2 1
?

? y ? 3 sin( 2 x ? ) 3

? y ? sin( 2 x ? ) 3
7 ? 6

? ??
3

o
-1

6

? 6

? 3

2 5? 7 ? ? 12 3 6

?

5? 3

2?

x

-2 -3

y ? sin 2 x

y ? sin x

思考:

如何由 y ? sinx 的图象变换得到

y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0)
的图象?

方法1:(按 ? , ω, A 顺序变换)
y=sinx
向左?>0 (向右?<0)
平移|?|个单位

y=sin(x+?)

横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍 y=sin(?x+?) 纵坐标不变 横坐标不变

y=Asin(?x+?)

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

方法2:(按 ω,? , A 顺序变换)
横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍

y=sinx

纵坐标不变

y=sin?x

向左?>0 (向右?<0)
平移|?|/?个单位

? ? ? y ? sin( ?x ? ? ) ? sin ?? ( x ? )? ? ? ?
y=Asin(?x+?)

横坐标不变

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

y=Asin(ωx+φ)和y=sinx的图象两种变换关系图
作y=sinx (长度为 2? 的某闭区间) 作y=sinx (长度为 2? 的某闭区间)

沿x轴平移 |φ|个单位 y=sin(x+φ )) y=sin(x+ φ 横坐标变为1/ω

横坐标变为1/ω y=sinωx y=sinωx

? 沿x轴平移 个单位 ?
y=sin(ωx+φ)) y=sin(ωx+φ 纵坐标 变为A倍

) 的图象,先在一个周期 作y=Asin(ωx+φ y=Asin(ωx+φ ) 的图象,先做一个周期 闭区间上再扩充到R上 闭区间上的图象再扩充到 R上

1.

y ? sin 3x
y ? sin( x ?

2.

?
6

)

3.

4.

y ? sin( x ? 2) 2

y ? sin( 3 x ? ) 1 3

?

1.已知函数 y ? sin( x ? ? ) 的图象为C,为了得到函数 y ? sin( ? )
4

x ? 3 4

的图象,只要把C上所有的点( A ) A.横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的1/3,纵坐标不变

C.纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的1/3,横坐标不变

? ? 2.把y ? sin(2x ? )的图象向右平移 个单位长度, 这时图象 3 6 所表示的函数为( D ) ? A. y ? sin(2x ? ) 2 ? B. y ? sin(2x ? ) 6 3 C. y ? sin(2x ? ) 2 D. y ? sin 2x

x ? 3.(2012 ? 济南模拟)要得到函数y ? sin( ? )的图象, 2 6 x 可由y ? sin 的图象( C ) 2 ? A.向右平移 个单位长度 6 ? B.向左平移 个单位长度 6 ? C.向右平移 个单位长度 3 ? D.向左平移 个单位长度 3

1.作函数y=Asin(?x+?) 的图象的方法: (1)用图象变换法作图;

(学习了第四种变换方法-----伸缩变换)
(2)用“五点法”作图.

“五点法”作图时,一般是令ωx+?取0,
2π,算出相应的x的值,再列表,描点作图.

?
2

,π,

3? 2

,

2. 函数y=sinx和y=Asin(?x+?) 图象间的关系

课后作业
1. 课本58页习题1.5 A组 2.(3) (4)

要求:(1)用五点作图法作图 (2)说出它们的图象可由正弦曲线或余弦曲线 怎样变换得到.


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