高三上学期月考(四)数学(文)试题 word版

2016 届高三上学期月考(四)数学(文)试题 本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 8 页.时量 120 分钟,满分 150 分. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? x A.2 B.-1

?

1, m?,若 A ? B ,则 m 的值为 x ? x2 ? 2, x ? R , B ? ?
C.-1 或 2 D.2 或 2

?

sin(? ? ? ) ? sin( ? ? ) 2 2.已知角 ? 的终边上有一点 P (1,3) ,则 的值为 2 cos(? ? 2? )
A.1 B. ?

?

4 5

C.-1

D.-4

3. 已 知 命 题 p : m ? ?2 ; 命 题 q : 直 线 l1 : 2(m ? 1) x ? (m ? 3) y ? 7 ? 5m ? 0 与 直 线

l2 : (m ? 3) x ? 2 y ? 5 ? 0 垂直.则命题 p 是命题 q 成立的
A.充要条件 C.必要不充分条件 B.既非充分又非必要条件 D.充分不必要条件

4.下列函数中,y 的最小值为 4 的是

4 A. y ? x ? x
C. y ? sin x ?

B. y ?

2( x 2 ? 3) x2 ? 2
x ?x

4 (0 ? x ? ? ) sin x

D. y ? e ? 4e

2 5.已知各项不为 0 的等差数列 ?an ?满足 a6 ? a7 数列 ?bn ?是等比数列, 且 b7 ? a7 , ? a8 ? 0 ,

则 b2 ? b8 ? b11 等于 A.1 6.设集合 A ? ? x B.2 C.4 D.8

? 1 ? ? 2 x ? 16? , B ? x y ? ln( x 2 ? 3 x) ,从集合 A 中任取一个元素,则这 ? 4 ?

?

?

个元素也是集合 B 中元素的概率是 A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

? x ? 1 ? 0, ? 2 2 7.对满足不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0, 的任意实数 x,y, z ? x ? y ? 4 x 的最小值是 ? x? y ?0 ?
A.-2 B.0 C.1 D.6

8.若长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB=1, B1C , C1 D 分别与底面 ABCD 所成的角为 45? , 60? , 则长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的外接球的体积为

A.

7 7? 6

B.

7? 3

C.

4 7? 3

D.
2

7? 6
2

9.在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若a ?b ? 则 A= A. 150? B. 120? C. 60? D. 30?

3bc ,sin C ? 2 3 sin B ,

x2 y2 10.如图, F1 , F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲 a b
线的左右两支分别交于点 A、B.若 ?ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为

A.4

B. 7

C.

2 3 3

D. 3

11.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),当 x ? [3,5] 时, f ( x) ? 2 ? x ? 4 ,则

) ? f (cos ) 6 6 2? 2? C. f (sin ) ? f (cos ) 3 3
A. f (sin

?

?

B. f (sin 1) ? f (cos1) D. f (sin 2) ? f (cos 2)

? ? ? sin( x) ? 1, x ? 0, 12.设函数 f ( x) ? ? 的图象上关于 y 轴对称的点至少有 3 对, 2 ? log x ( a ? 0 ,且 a ? 1 ), x ? 0 ? a
则实数 a 的取值范围是 A. (0,

5 ) 5

B. (

5 ,1) 5

C. (

3 ,1) 3

D. (0,

3 ) 3

选择题答题卡

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

得分

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卷对应题号后的 横线上. 13.将某班参加社会实践编号为:1,2,3,...,48 的 48 名学生,采用系统抽样的方法抽取 一个容量为 6 的样本,已知 5 号,21 号,29 号,37 号,45 号学生在样本中,则样本中还有 一名学生的编号是_________. 14.过点(2,1)且在 x 轴上截距是在 y 轴上截距的两倍的直线的方程为______. 15.如图,在△ABC 中, E 为边 AC 上一点,且 AC ? 3 AE , P 为 BE 上一点,且满足

1 3 AP ? m AB ? n AC (m ? 0, n ? 0) ,则 ? ? 3 的最小值为______. n m
16.已知函数 f ( x) ? ?

x ? 1, x ? 0, 2 若关于 x 的方程 f ( x) ? af ( x) ? 0 ? x ? 2 x ? 1, x ? 0, ?
2

恰有 5 个不同的实数解,则实数 a 的取值范围是_____.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是 85. (1)计算甲班 7 位学生成绩的方差 s 2 ; (2)从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,求甲班、乙班各一人的概率.

18.(本小题满分 12 分) 如图,PA⊥平面 ABCD,矩形 ABCD 的边长 AB=1,BC=2,E 为 BC 的中点. (1)证明:PE⊥DE; (2)如果异面直线 AE 与 PD 所成的角的大小为

?
3

,求 PA 的长及点 A 到平面 PED 的距离.

19.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? ?2, an ?1 ? 3S n ? 2 ? 0(n ? N ? ) (1)求数列 ?an ?的通项公式;
2 (2)是否存在整数对(m,n) ,使得等式 an ? man ? 4m ? 8 成立?若存在,请求出所有满足

条件的(m,n) ;若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分 12 分) 如下图所示,点 F1 (0,? 2 ) , F2 (0, 2 ) ,动点 M 到点 F2 的距离是 4,线段 MF1 的中垂线 交 MF2 于点 P. (1)当点 M 变化时,求动点 P 的轨迹 G 的方程; (2)若斜率为 2 的动直线 l 与轨迹 G 相交于 A、B 两点, Q (1, 2 ) 为定点,求△QAB 面积 的最大值.

21.(本小题满分 12 分)

选做题(请考生在第 22、23 二题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,作 答时请写清题号) 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 cos ? ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的

? 3 ? ? x ? 2 t ? m, 正半轴,建立平面直角坐标系,直线 L 的参数方程是 ? (t 为参数). ? y ? 1t ? 2 ?
(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 L 的普通方程; (2)设点 P(m,0),若直线 L 与曲线 C 交于两点 A,B,且 PA ? PB ? 1 ,求实数 m 的值.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

设 f ( x) ? x ? 2 ? 2 x ? 1 ? m . (1)当 m=5 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)若 f ( x) ?

3 对任意 x ? R 恒成立,求实数 m 的取值范围. 2

参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 A 2 A 3 D 4 D 5 D 6 C 7 A 8 A 9 D 10 B 11 C 12 A

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卷对应题号后的 横线上. 13.13 14.x-2y=0 或 x+2y-4=0 15.15 16.0<a<1

三、解答题:解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.【解析】 (1)∵甲班学生的平均分是 85, ∴

92 ? 96 ? 80 ? 80 ? x ? 85 ? 79 ? 78 ? 85 ,∴x=5. 7

...............(3 分)

则甲班 7 位学生成绩的方差为

1 s 2 ? [(?6) 2 ? (?7) 2 ? (?5) 2 ? 0 2 ? 0 2 ? 7 2 ? 112 ] ? 40 . 7
(2)甲班成绩在 90 分以上的学生有两名,分别记为 A,B, 乙班成绩在 90 分以上的学生有三名,分别记为 C,D,E. 从这五名学生中任意抽取两名学生共有 10 种情况:

...............(6 分)

(A, B), (A, C) , (A, D) , (A, E) , (B, C) , (B, D) , (B, E) , (C, D) , (C, E) , (D, E) . ............. (8 分) 其中两人均来自甲班(或乙班)共有 4 种情况: (A,B), (D,C) , (E,D),(C,E). .............(10 分)

记“甲班、乙班各一人”为事件 M,则 P ( M ) ? 1 ?

4 3 ? , 10 5 3 . 5

所以,从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,甲班、乙班各一人的概率为 .............(12 分) 18.【解析】 (1) 证明: 连接 AE, 由 AB=BE=1, 得 AE ? 同理 DE ?

2,

2 , AE 2 ? DE 2 ? 4 ? AD 2 ,

由勾股定理逆定理可得 ?AED ? 90? ,DE⊥AE, ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥DE,又 PA ? AE ? A ,

∴DE⊥平面 PAE, ∴PE⊥DE. .............(6 分)

(2)取 PA 的中点 M,AD 的中点 N, 连 MC,NC,MN,AC, ∴NC∥AE,MN∥PD, ∴∠MNC 的大小等于异面直线 PD 与 AE 所成的角或其补角的大小, 即 ?MNC ?

2? ? 2? 或 (或者由观察可知, ?MNC ? ,不需分类讨论) 3 3 3

x2 x2 设 PA=x,则 NC ? 2 , MN ? 1 ? , MC ? 5 ? . 4 4
2? ,由 cos ?MNC ? 3

若 ?MNC ?

1?

x2 x2 ? 2?5? 4 4 ??1 , 2 x2 2 1? ? 2 4

得 PA=2. ∴ V A? PDE ? VP ? ADE ?

.............(9 分)

1 1 2 ? ? 2? 2?2 ? . 3 2 3

又在 RT△PED 中, PE ? ∴ S△ PED ?

6 , DE ? 2 ,

1 ? 2? 6 ? 3. 2 2 2 3 ∴点 A 到平面 PED 的距离为 3 ? . 3 3 3
若 ?MNC ?

?
3

,由 cos ?MNC ?

1?

x2 x2 ? 2?5? 4 4 ? 1 ,显然不适合题意. 2 2 x 2 1? ? 2 4
2 3 . 3
.............(12 分)

综上所述,PA=2,点 A 到平面 PED 的距离为

19.【解析】 (1)当 n ? 2 时, an ? 3S n ?1 ? 2 ? 0 , ∴ (an ?1 ? an ) ? 3( S n ? S n ?1 ) ? 0 , .............(2 分)

即 (an ?1 ? an ) ? 3an ? 0 , an ?1 ? ?2an (n ? 2) ,

令由 a2 ? ?2a1 得 an ?1 ? ?2an , 所以数列 ?an ?是首项为-2,公比为-2 的等比数列, ∴ an ? (?2) n . .............(4 分)
2n

.............(3 分)

2 (2)把 an ? (?2) n 代入 an ? man ? 4m ? 8 中得 (?2)

? m ? (?2) n ? 4m ? 8 ,

m?

(?2) 2 n ? 8 (?2) 2 n ? 16 ? 8 8 m ? ? (?2) n ? 4 ? ,∴ , .............(6 分) n n (?2) ? 4 (?2) ? 4 (?2) n ? 4
8 n 是整数, ∴ (?2) ? 4 能被 8 整除, ............. (7 分) (?2) n ? 4

要使 m 是整数, 则须有

当 n=3 时, (?2) ? 4 ? ?4 ,
n

8 ? ?2 ,此时 m=-14, .............(10 分) (?2) n ? 4 8 不可能是整数, , .............(11 分) (?2) n ? 4
.............(12 分)

当 n ? 4 时, (?2) n ? 4 ? 20 ,

综上所述,所求满足条件的整数对有(-2,1) , (1,2) , (-14,3).

20.【解析】 (1)如图,连接 PF1 ,由 MF2 ? 4 ,? PM ? PF2 ? 4 , 又? PM ? PF1 ,? PF1 ? PF2 ? 4 ? F1 F2 ? 2 2 , 由 椭 圆 的 定 义 可 知 动 点 P 的 轨 迹 G 的 方 程 为

y2 x2 ? ? 1. 4 2

.............(5 分)

(2)设 直 线 l 的 方 程 为 y ?

2x ? m , 代 入 椭 圆 方 程 , 得

( 2 x ? m) 2 ? 2 x 2 ? 4 ,
即 4 x ? 2 2mx ? m ? 4 ? 0 .
2 2

.............(7 分)

m2 ? 4 2m 设点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? . 4 2
分) 所以

.............(8

AB ? 1 ? 2 x1 ? x2 ? 3 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 3 ?
又点 Q 到直线 l 的距离 d ?

m2 m2 . ? (m 2 ? 4) ? 3 ? 4 ? 2 2

m 3

.

.............(9 分)

则 S ?QAB ? (10 分)

1 1 m2 m 2 AB d ? 3? 4? ? ? m 2 (8 ? m 2 ) . 2 2 2 4 3

.............

由 ? ? 8m ? 16(m ? 4) ? 8(8 ? m ) ? 0 ,得 m 2 ? 8 .又点 Q 不在直线 l 上,则 m ? 0 ,所
2 2 2

以 0 ? m2 ? 8 . 因为 m (8 ? m ) ?
2 2

.............(11 分)

m2 ? 8 ? m2 ? 4 ,则 S ? 2 , 2

当且仅当 m 2 ? 4 即 m ? ?2 时取等号. 故 ?QAB 面积的最大值为 2 .
2 21.【解析】 (1) f ?( x) ? ? x ? x ? 2a .

.............(12 分) .............(1 分)

若 ? ? 1 ? 8a ? 0 ,即 a ? ? ,则 f ?( x) ? 0 ,从而 f(x)在 R 上是减函数,不合题意, 所以 a ? ?

1 8

1 . 8

.............(3 分)

由 f ?( x) ? 0 ,得 x 2 ? x ? 2a ? 0 ,即

1 ? 8a ? 1 1 ? 8a ? 1 , ?x? 2 2
.............(4 分)

所以 f(x)的单调递增区间是 (

1 ? 8a ? 1 1 ? 8a ? 1 , ). 2 2

因为 f(x)在 ( ,??) 上存在单调递增区间,

2 3



1 ? 8a ? 1 2 1 1 ? ,即 8a ? 1 ? ,解得 a ? ? . 2 3 3 9

故 a 的取值范围是 ( ? ,??) .

1 9

.............(6 分)

(2)因为 0<a<2,则

1 ? 8a ? 1 1 ? 8a ? 1 1 ? 17 ? 0 ,1 ? ? ? 4. 2 2 2
...........

所以函数 f(x)在 [1, (8 分)

1 ? 8a ? 1 1 ? 8a ? 1 在[ ] 上单调递增, ,4] 上单调递减. 2 2

1 40 , f (4) ? 8a ? , 6 3 27 27 ? 12a 则当 0<a<2 时, f (1) ? f (4) ? ? 6a ? ? 0 ,即 f(1)>f(4), 2 2 40 所以当 x ? [1,4] 时, f ( x) min ? f (4) ? 8a ? . .............(10 分) 3 40 16 由已知, 8a ? .............(11 分) ? ? ,则 a=1. 3 3
因为 f (1) ? 2a ? 故 f ( x) max ? f (

1 ? 1 ? 8a 10 ) ? f (2) ? . 2 3

.............(12 分)
2

22.【解析】 (1)曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 cos ? ,化为 ? ? 2 ? cos ? , 可得直角坐标方程: x ? y ? 2 x .
2 2

? 3 ? ? x ? 2 t ? m, 直线 L 的参数方程是 ? (t 为参数) , ? y ? 1t ? 2 ?
消去参数 t 可得 x ?

3y ? m .

.............(5 分)

? 3 ? ? x ? 2 t ? m, 2 2 (2)把 ? (t 为参数) ,代入方程: x ? y ? 2 x , ? y ? 1t ? 2 ?
化为 t 2 ? ( 3m ? 3 )t ? m 2 ? 2m ? 0 , 由 ? ? 0 ,解得-1<m<3.? t1t 2 ? m ? 2m .
2

? PA ? PB ? 1 ? t1t 2 ,? m 2 ? 2m ? 1 ,
解得 m ? 1 ? 2 .又满足 ? ? 0 .∴实数 m ? 1 ? 2 . .............(10 分)

23.【解析】 (1)当 m ? 5 时, f ( x) ? x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 5 , 不等式 f ( x) ? 0 为 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 5 , ①当 x ? ?2 时,不等式为: ? 3 x ? 1 ? 5 ,即 x ? ?2 ,满足;

1 时,不等式为: ? x ? 3 ? 5 ,即 x ? ?2 ,不满足; 2 1 4 ③当 x ? 时,不等式为: 3 x ? 1 ? 5 ,即 x ? ,满足. 2 3
②当 ? 2 ? x ? 综上所述,不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ? x x ? ?2或x ?

? ?

4? ?. 3?

.............(5 分)

(2)设 g ( x) ? x ? 2 ? 2 x ? 1 , 若 f ( x) ? 即 g ( x) ? x ? 2 ? 2 x ? 1 ? m ?

3 对于任意 x ? R 恒成立, 2

3 对于任意 x ? R 恒成立, 2

? ? ? 3 x ? 1( x ? ?2), ? 1 ? g ( x) ? x ? 2 ? 2 x ? 1 ? ?? x ? 3(?2 ? x ? ), 2 ? 1 ? 3 x ? 1( x ? ), ? 2 ?
由图可看出 g ( x) ? x ? 2 ? 2 x ? 1 的最小值是 所以 m ?

5 , 2
.............(10 分)

3 5 ? ,? m ? 1 ,即 m 的取值范围是 (??,1] . 2 2


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