解三角形历年真题专题含解析

既然选择了远方,就必须风雨兼程

第五章

平面向量、解三角形
解三角形 五年高考荟萃

第二节 第一部分

2009 年高考题
1.(2009 年广东卷文)已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a, b, c 若 a ? c ? 6 ? 2
o 且 ?A ? 75 ,则 b ?

( C.4— 2 3 D. 6 ? 2

)

A.2 答案 A 解析

B.4+ 2 3

sin A ? sin 750 ? sin(300 ? 450 ) ? sin 300 cos 450 ? sin 450 cos300 ?
0 0

2? 6 4

由 a ? c ? 6 ? 2 可知, ?C ? 75 ,所以 ?B ? 30 , sin B ? 由正弦定理得 b ?

1 2

a ? sin B ? sin A

2? 6 1 ? ? 2 ,故选 A 2? 6 2 4
12 ,则 cos A ? 5 5 12 C. ? D. ? 13 13
( )

2.(2009 全国卷Ⅱ文)已知△ABC 中, cot A ? ? A.

12 13

B.

5 13

答案 D

12 知 A 为钝角,cosA<0 排 5 cos A 12 12 ? ? , 和 sin 2 A ? cos 2 A ? 1求得 cos A ? ? . 除 A 和 B,再由 cot A ? sin A 5 13 12 3.(2009 全国卷Ⅱ理)已知 ?ABC 中, cot A ? ? , 则 cos A ? ( ) 5 12 5 5 12 A. B. C. ? D. ? 13 13 13 13
解析 本题考查同角三角函数关系应用能力,先由 cotA= ? 答案 解析 D 已知 ?ABC 中, cot A ? ?

12 ? ,? A ? ( , ? ) . 5 2

~1~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

cos A ? ?

1 1 ? tan 2 A

??

1 5 1 ? (? ) 2 12

??

12 13

故选 D.

4.(2009 湖南卷文)在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则

AC 的值等于 cos A



AC 的取值范围为
答案 解析 2 ( 2 , 3)

.

设 ?A ? ? , ? B ? 2? . 由正弦定理得

AC BC AC AC ? ,? ?1? ? 2. sin 2? sin ? 2 cos ? cos ?
由锐角 ?ABC 得 0 ? 2? ? 90 ? 0 ? ? ? 45 ,
? ? ? ?

? ? 又 0 ? 180 ? 3? ? 90 ? 30 ? ? ? 60 ,故 30 ? ? ? 45 ?
? ? ? ? ?

2 3 , ? cos ? ? 2 2

? AC ? 2cos? ? ( 2, 3).
b、 5. (2009 全国卷Ⅰ理) 在 ?ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a 、 已知 a ? c ? 2b , c,
2 2

且 sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b 分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) a ? c ? 2b 左侧
2 2

是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)

sin A cos C ? 3cos A sin C, 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现
在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一:在 ?ABC 中? sin A cos C ? 3cos A sin C, 则由正弦定理及余弦定理

有: a?

a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c 2 ? a 2 ?3 ?c, 化简并整理得: 2(a2 ? c2 ) ? b2 .又由已知 2ab 2bc

a 2 ? c 2 ? 2b ? 4b ? b2 .解得 b ? 4或b ? 0(舍) .
解法二:由余弦定理得: a ? c ? b ? 2bc cos A .又 a ? c ? 2b , b ? 0 .
2 2 2 2 2

所以 b ? 2c cos A ? 2



又 sin A cos C ? 3cos A sin C ,? sin A cos C ? cos A sin C ? 4 cos A sin C

~2~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

sin( A ? C ) ? 4cos A sin C ,即 sin B ? 4cos A sin C
由正弦定理得 sin B ? 由①,②解得 b ? 4 . 评析:从 08 年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总 结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒:两纲中明 确不再考的知识和方法了解就行,不必强化训练。 6.(2009 浙江理) (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满 足 cos

b sin C ,故 b ? 4c cos A c



? ??? ? A 2 5 ??? , AB ? AC ? 3 . ? 2 5
(II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

(I)求 ?ABC 的面积; 解 (1) 因为 cos

??? ? ??? ? A 3 4 A 2 5 ? cos A ? 2 cos 2 ? 1 ? ,sin A ? , , 又由 AB ? AC ? 3 ? 2 5 5 2 5
1 bc sin A ? 2 2

得 bc cos A ? 3, ? bc ? 5 ,? S?ABC ?

(2)对于 bc ? 5 ,又 b ? c ? 6 ,? b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 ,由余弦定理得

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 20 ,? a ? 2 5
7.(2009 浙江文) (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满 足 cos

? ??? ? A 2 5 ??? , AB ? AC ? 3 . ? 2 5
(II)若 c ? 1 ,求 a 的值.

(I)求 ?ABC 的面积; 解(Ⅰ) cos A ? 2 cos
2

A 2 5 2 3 ?1 ? 2 ? ( ) ?1 ? 2 5 5
2

又 A ? (0, ? ) , sin A ? 1 ? cos A ? 以 bc ? 5 ,所以 ?ABC 的面积为:

4 3 ,而 AB . AC ? AB . AC . cos A ? bc ? 3 ,所 5 5

1 1 4 bc sin A ? ? 5 ? ? 2 2 2 5

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bc ? 5 ,而 c ? 1 ,所以 b ? 5 所以 a ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A ?

25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5

8.(2009 北京理) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ?

?
3



4 cos A ? , b ? 3 。 5

~3~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

(Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积. 【解析】 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式 等基础知识,主要考查基本运算能力. 解(Ⅰ)∵A、B、C 为△ABC 的内角,且 B ? ∴C ?

?
3

, cos A ?

2? 3 ? A,sin A ? , 3 5

4 , 5

∴ sin C ? sin ?

3 1 3? 4 3 ? 2? ? . ? A? ? cos A ? sin A ? 2 10 ? 3 ? 2
3 3? 4 3 , ,sin C ? 5 10

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 sin A ? 又∵ B ?

, b ? 3 ,∴在△ABC 中,由正弦定理,得 3 b sin A 6 ? . ∴a ? sin B 5
∴△ABC 的面积 S ?

?

1 1 6 3 ? 4 3 36 ? 9 3 . ab sin C ? ? ? 3 ? ? 2 2 5 10 50

9.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=cos(2x+ (1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB= 解 (1) f(x)=cos(2x+

? 2 )+sin x. 3

1 c 1 , f ( ) ? ? ,且 C 为锐角,求 sinA. 3 2 4

? ? ? 1 ? cos 2 x 1 3 2 ? ? sin 2 x )+sin x.= cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? 3 3 3 2 2 2
1? 3 ,最小正周期 ? . 2
所以 sin C ?

所以函数 f(x)的最大值为

(2) f ( ) =

c 2

1 1 3 ? sin C =- , 4 2 2

3 , 2

因为 C 为锐角,

所以

C?

?
3

, cosB=

又因为在 ? ABC 中,

1 , 3

所以

sin B ?

2 3, 3

所以

~4~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?
10.(2009 山东卷文)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=2 sin x cos
2

2 1 1 3 2 2? 3 . 2? ? ? ? 3 2 3 2 6

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

(1)求 ? .的值; (2)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ? 求角 C. 解 (1) f ( x) ? 2sin x ?

2, f ( A) ?

3 , 2

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? )
因为函数 f(x)在 x ? ? 处取最小值, 所以 sin(? ? ? ) ? ?1 ,由诱导公式知 sin ? ? 1 ,因为

0 ? ? ? ? ,所以 ? ?
(2)因为 f ( A) ? 为 a ? 1, b ?

?
2

.所以 f ( x) ? sin( x ?

?
2

) ? cos x

? 3 3 ,所以 cos A ? ,因为角 A 为 ? ABC 的内角,所以 A ? .又因 6 2 2
a b ? ,也就是 sin A sin B

2, 所以由正弦定理,得

sin B ?

b sin A 1 2 ? 2? ? , a 2 2

3? . 4 4 ? ? ? 7? 3? ? 3? ? ? . 当 B ? 时, C ? ? ? ? ? ;当 B ? 时, C ? ? ? ? 4 6 4 12 4 6 4 12
因为 b ? a ,所以 B ?

?

或B ?

【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角 函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.

10.(2009 全国卷Ⅱ文) (本小题满分 12 分)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、 c, cos( A ? C ) ? cos B ?

3 2 , b ? ac ,求 B. 2

解析:本题考查三角函数化简及解三角形的能力,关键是注意角的范围对角的三角函数

~5~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

值的制约,并利用正弦定理得到 sinB= cos(A ? C)+cosB=

3 ? (负值舍掉),从而求出 B= 。 2 3

解:由

3 3 及 B=π ? (A+C)得 cos(A ? C) ? cos(A+C)= , 2 2 3 cosAcosC+sinAsinC ? (cosAcosC ? sinAsinC)= , 2 3 sinAsinC= . 4
2

又由 b =ac 及正弦定理得

sin 2 B ? sin A sin C,
故 sin B ?
2

3 , 4


sin B ?
于是 B= 又由

3 2

sin B ? ?

3 (舍去) , 2

π 2 π 或 B= . 3 3

b 2 ? ac 知 b ? a 或 b ? c
π 。 3

所以

B=

11.(2009 安徽卷理)在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , sinB= (I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积. 解: (Ⅰ)由 C ? A ?

1 . 3

? ? B ,且 C ? A ? ? ? B ,∴ A ? ? ,∴ 2 4 2

? B 2 B B sin A ? sin( ? ) ? (cos ? sin ) , 4 2 2 2 2
2 ∴ sin A ?

1 1 3 (1 ? sin B) ? ,又 sin A ? 0 ,∴ sin A ? 2 3 3
A

C

AC BC ? (Ⅱ)如图,由正弦定理得 sin B sin A

B

~6~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

∴ BC ?

AC sin A ? sin B

6? 1 3

3 3 ? 3 2 ,又

sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B

?

3 2 2 6 1 6 ? ? ? ? 3 3 3 3 3 1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2 2 2 3

∴ S?ABC ?

12.(2009 安徽卷文)(本小题满分 12 分) 在 (I)求 sinA 的值;(II)设 AC= ,求

ABC 中,C-A= ABC 的面积。

, sinB=



【思路】 (1)依据三角函数恒等变形可得关于 sin A 的式子,这之中要运用到倍角公式; (2)应用正弦定理可得出边长,进而用面积公式可求出 S ? . 解(1)∵ c ? A ? ∴ sin A ? sin(

?
2

且c ? A ? ? ? B ∴ A ?

?
4

?

B 2

?
4

?

B 2 B B )? (cos ? sin ) 2 2 2 2

1 B B 1 1 ∴ sin2 A ? (cos ? sin )2 ? (1 ? sin B) ? 2 2 2 2 3

又 sin A ? 0 ∴ cos A ?

3 3

AC ? sin A AC BC ? (2)如图,由正弦定理得 BC ? ∴ BC ? ? sin B sin B sin A

6? 1 3

3 3 ?3 2

又sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A ? sin B ? 3 2 2 1 6 ? ?? ? 3 3 3 3
1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2. 2 2 3

∴ S ? ABC ?

13.(2009 江西卷文)在△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , A ?

?
6



(1 ? 3)c ? 2b .
(1)求 C ;

~7~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

(2)若 CB ? CA ? 1 ? 3 ,求 a , b , c . 解: (1)由 (1 ? 3)c ? 2b

??? ? ??? ?



b 1 3 sin B ? ? ? c 2 2 sin C

sin(? ?
则有

?

6 sin C

? C)

?
4

sin

得 cot C ? 1 即 C ?

?

5? 5? cos C ? cos sin C 1 3 1 3 6 6 = cot C ? ? ? 2 2 2 2 sin C

. 推出 ab cos C ? 1 ? 3 ;而 C ?

(2) 由 CB ? CA ? 1 ? 3

??? ? ??? ?

?
4

,

即得

2 ab ? 1 ? 3 , 2
?a ? 2 ? ? 解得 ?b ? 1 ? 3 ?c ? 2 ? ?

? 2 ab ? 1 ? 3 ? ? 2 ? 则有 ?(1 ? 3)c ? 2b ? a c ? ? ? ? sin A sin C

14.(2009 江西卷理)△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

tan C ?

sin A ? sin B , sin( B ? A) ? cos C . cos A ? cos B

(1)求 A, C ; (2)若 S?ABC ? 3 ? 3 ,求 a , c . 解:(1) 因为 tan C ?

sin A ? sin B sin C sin A ? sin B ? ,即 , cos A ? cos B cos C cos A ? cos B

所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) . 立). 即 2C ? A ? B , 得 C ? 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成

?
3

,所以. B ? A ?

又因为 sin( B ? A) ? cos C ?

1 ? 5? ,则 B ? A ? ,或 B ? A ? (舍去) 2 6 6

2? 3

~8~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

得A?

?
4

,B ?

5? 12

(2) S?ABC ?

1 6? 2 ac sin B ? ac ? 3 ? 3 , 2 8
a c ? , 2 3 2 2



a c ? , 即 sin A sin C

得 a ? 2 2, c ? 2 3. 15.(2009 天津卷文)在 ?ABC 中, BC ? 5, AC ? 3, sin C ? 2 sin A (Ⅰ)求 AB 的值。 (Ⅱ)求 sin( 2 A ?

?
4

) 的值。 AB BC ? ,于是 sin C sin A

(1)解:在 ?ABC 中,根据正弦定理,

AB ? sin C

BC ? 2 BC ? 2 5 sin A

(2)解:在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 cos A ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 2 AB ? AC

于是 sin A ? 1 ? cos2 A =

5 , 5
4 3 , cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? 5 5

从而 sin 2 A ? 2 sin A cos A ?

? ? ? 2 sin(2 A ? ) ? sin 2 A cos ? cos 2 A sin ? 4 4 4 10
【考点定位】本题主要考查正弦定理,余弦定理同角的三角函数的关系式,二倍角的正 弦和余弦,两角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力。 16.(2009 四川卷文)在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 且 sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。

~9~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

解(I)∵ A、B 为锐角, sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

2 5 3 10 , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 5 10 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
∵ 0 ? A? B ?? ∴ A? B ?

?
4
3? 2 ,∴ sin C ? 4 2

(II)由(I)知 C ? 由

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b
又∵ ∴ ∴

a ? b ? 2 ?1 2b ? b ? 2 ?1


b ?1

a ? 2, c ? 5

17.(2009 全国卷Ⅱ理)设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,

3 2 , b ? ac ,求 B 2 3 分析:由 cos( A ? C ) ? cos B ? ,易想到先将 B ? ? ? ( A ? C ) 代入 2 cos( A ? C ) ? cos B ?
cos( A ? C ) ? cos B ? 3 3 得 cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? 然后利用两角和与差的余弦 2 2。

公式展开得 sin A sin C ?

3 2 ;又由 b ? ac ,利用正弦定理进行边角互化,得 4

sin 2 B ? sin A sin C ,进而得 sin B ?
了检验,事实上,当 B ?

? 2? 3 .故 B ? 或 。大部分考生做到这里忽略 3 3 2

2? 1 时,由 cos B ? ? cos( A ? C ) ? ? ,进而得 3 2 3 cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? ? 2 ? 1 ,矛盾,应舍去。 2

~ 10 ~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

也可利用若 b ? ac 则 b ? a或b ? c 从而舍去 B ?
2

2? 。不过这种方法学生不易想到。 3

评析:本小题考生得分易,但得满分难。 18.(2009 辽宁卷文)如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平 面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 , 30 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 ,AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与另外 哪两点距离相等,然后求 B,D 的距离(计算结果精确到 0.01km,
0 0 0

2 ? 1.414, 6 ? 2.449)
解:在 ?ACD 中, ?DAC =30°, ?ADC =60°- ?DAC =30°, 所以 CD=AC=0.1 又 ?BCD =180°-60°-60°=60°, 故 CB 是 ?CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA 在 ?ABC 中, 5分

AB AC ? , sin?BCA sin?ABC

即 AB=

AC sin 60? 3 2 ? 6 ? sin15? 20 3 2? 6 ? 0.33km 20
12 分

因此, BD ?

故 B、D 的距离约为 0.33km。

19.(2009 辽宁卷理)如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的 两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 , 30 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 ,AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与另外哪两 点间距离相等, 然后求 B, D 的距离 (计算结果精确到 0.01km, 2 ? 1.414, 6 ? 2.449)
0 0 0

解:在△ABC 中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30, 所以 CD=AC=0.1 又∠BCD=180°-60°-60°=60°, 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线, 所以 BD=BA,

~ 11 ~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

在△ABC 中, sin ?BCA ? sin ?ABC ,
ACsin60 ? ? 3 2? 6 , 20

AB

AC

即 AB= sin 15?

因此,BD=

3 2? 6 ? 0.33km 。 20

故 B,D 的距离约为 0.33km。 20.(2009 宁夏海南卷理) (本小题满分 12 分)为了测量两山顶 M,N 间的距离,飞机沿水 平方向在 A,B 两点进行测量,A,B,M,N 在同一个铅垂平面内(如示意图) ,飞机能 够测量的数据有俯角和 A,B 间的距离,请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数 据(用字母表示,并在图中标出) ;②用文字和公式写出计算 M,N 间的距离的步骤。

?1 , ?1

解:方案一:①需要测量的数据有:A 点到 M,N 点的俯角;B 点到 M,

N 的俯角 ?2 , ?2 ;A,B 的距离 d (如图所示) . ②第一步:计算 AM . 由正弦定理 AM ?

d sin ? 2 sin(?1 ? ? 2 )




第二步:计算 AN . 由正弦定理 AN ?

d sin ? 2 sin( ? 2 ? ?1 )

第三步:计算 MN. 由余弦定理 MN ? 方案二:①需要测量的数据有:

AM 2 ? AN 2 ? 2 AM ? AN cos(?1 ? ?1 ) .

A 点到 M,N 点的俯角 ?1 , ?1 ;B 点到 M,N 点的府角 ? 2 , ? 2 ;A,B 的距离 d (如图 所示).

~ 12 ~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

②第一步:计算 BM . 由正弦定理 BM ?

d sin ?1 sin(?1 ? ? 2 )




第二步:计算 BN . 由正弦定理 BN ?

d sin ?1 sin( ?2 ? ?1 )

第三步:计算 MN . 由余弦定理 MN ?

BM 2 ? BN 2 ? 2 BM ? BN cos( ? 2 ? ? 2 )

21.(2009 四川卷文)在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 且 sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。
5 10 ,sin B ? 5 10

解(I)∵ A、B 为锐角, sin A ?

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

2 5 3 10 , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 5 10 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
∵ 0 ? A? B ?? ∴ A? B ?

?
4
3? 2 ,∴ sin C ? 4 2

(II)由(I)知 C ? 由

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b
又∵ ∴ ∴

a ? b ? 2 ?1 2b ? b ? 2 ?1


b ?1

a ? 2, c ? 5

22. (2009 湖北卷文) 在锐角△ABC 中, a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 所对的边, 且 3a ? 2c sin A

~ 13 ~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

(Ⅰ)确定角 C 的大小: (Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为

3 3 2

,求 a+b 的值。

解(1)由 3a ? 2c sin A 及正弦定理得,

a 2sin A sin A ? ? c sin C 3

Q sin A ? 0,? sin C ?

3 2

Q ?ABC 是锐角三角形,? C ?
(2)解法 1: Q c ?

?
3

7, C ?

?
3

. 由面积公式得

1 ? 3 3 ab sin ? ,即ab ? 6        ① 2 3 2
由余弦定理得

a 2 ? b 2 ? 2ab cos

?
3

? 7, 即a 2 ? b 2 ? ab ? 7     ②

由②变形得 (a+b)2 ? 25, 故a ? b ? 5 解法 2:前同解法 1,联立①、②得

?a 2 ? b2 ? ab ? 7 ?a 2 ? b2=13   ?? ? ?ab ? 6 ?ab ? 6
消去 b 并整理得 a ? 13a ? 36 ? 0 解得 a ? 4或a ? 9
4 2 2 2

所以 ?

?a ? 2 ?a ? 3 故a?b ? 5 或? ?b ? 3 ?b ? 2
如图,为了解某海域海底构造,

23.(2009 宁夏海南卷文)

在海平面内一条直线上的 A,B, C 三点进行测量, 已知 AB ? 50m ,

BC ? 120m ,于 A 处测得水深 AD ? 80m ,于 B 处测得水深 BE ? 200m ,于 C 处测得水深 CF ? 110m ,求∠DEF 的余弦值。
解:作 DM // AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.

DF ? MF 2 ? DM 2 ? 302 ?1702 ? 10 198 , DE ? DN 2 ? EN 2 ? 502 ?1202 ? 130 ,

~ 14 ~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

EF ? ( BE ? FC ) 2 ? BC 2 ? 902 ? 1202 ? 150 .
在 ?DEF 中,由余弦定理,

cos ?DEF ?
卷理).

DE 2 ? EF 2 ? DF 2 1302 ? 1502 ? 102 ? 298 16 ? ? . 2 DE ? EF 2 ?130 ?150 65

24.(2009 湖南

在 ?ABC ,已知

??? ? ???? ??? ? ???? 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC ? 3BC 2 ,求角 A,B,C 的大小.
解 设 BC ? a, AC ? b, AB ? c

由 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC 得 2bc cos A ? 3bc ,所以 cos A ? 又 A ? (0, ? ), 因此 A ?

??? ? ????

??? ? ????

3 2

?
6
2

2 2 由 3 AB ? AC ? 3BC 得 bc ? 3a ,于是 sin C ? sin B ? 3 sin A ?

??? ? ????

3 4

所以 sin C ? sin(

1 3 3 5? 3 , sin C ? ( cos C ? ,因此 sin C ) ? ? C) ? 2 2 4 6 4

? 2sin C ? cos C ? 2 3sin 2 C ? 3,sin 2C ? 3 cos 2C ? 0 ,既 sin(2C ? ) ? 0 3 ? 5? ? ? 4? 由 A= 知 0 ? C ? ,所以 ? , 2C ? ? ,从而 6 3 3 3 6 ? ? ? 2? 2C ? ? 0, 或 2C ? ? ? , ,既 C ? , 或 C ? ,故 3 3 6 3 ? 2? ? ? ? 2? A? ,B ? ,C ? , 或 A ? , B ? ,C ? 。 6 3 6 6 6 3
25..(2009 天津卷理) (在⊿ABC 中,BC= 5 ,AC=3,sinC=2sinA (I) 求 AB 的值: (II) 求 sin ? 2 A ?

? ?

??

? 的值 4?
AB BC ? sinC sin A

(Ⅰ)解:在△ABC 中,根据正弦定理, 于是 AB=
sinC BC ? 2BC ? 2 5 sin A

(Ⅱ)解:在△ABC 中,根据余弦定理,得 cosA=

AB2 ? AC2 ? BD2 2 5 ? 2 AB ? AC 5

~ 15 ~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

于是 sinA= 1 ? cos2 A ? 从而 sin2A=2sinAcosA= 所以 sin(2A-

5 5

4 3 2 2 ,cos2A=cos A-sin A= 5 5

? ? ? 2 )=sin2Acos -cos2Asin = 4 4 4 10

26.(2009 四川卷理)在 ? ABC 中, A, B 为锐角,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ,且

3 10 cos 2 A ? ,sin B ? 5 10
(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a, b, c 的值。
10 3 10 2 ,? cos B ? 1 ? sin b ? 10 10

解: (Ⅰ)? A 、 B 为锐角, sin B ? 又 cos 2 A ? 1 ? 2sin A ?
2

3 , 5

? sin A ?

5 2 5 2 , cos A ? 1 ? sin A ? , 5 5 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? 5 10 5 10 2

? cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
?0 ? A ? B ? ?

?A? B ?

?
4
3? 2 ,? sin C ? . 4 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 C ? 由正弦定理

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b , c ? 5b
Q a ? b ? 2 ? 1, ? 2b ? b ? 2 ?1 ,? b ? 1

?a ? 2,c ? 5
27.(2009 上海卷文) 已知Δ ABC 的角 A、 B、C 所对的边分别是 a、b、c, 设向量 m ? (a, b) ,

??

~ 16 ~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

? n?( s i B n

? ? , , s A ip n ? () b ? 2, a ? 2) .

(1) 若 m // n ,求证:Δ ABC 为等腰三角形; (2) 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C = 证明: (1) Q m // n,? a sin A ? b sin B, 即a?

??
??

?

??

? ,求Δ ABC 的面积 . 3

u v v

a b ? b? ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a ? b 2R 2R

? ?ABC 为等腰三角形
解 (2)由题意可知 m // p ? 0,即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0

u v u v

? a ? b ? ab
由余弦定理可知, 4 ? a2 ? b2 ? ab ? (a ? b)2 ? 3ab

即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0
? ab ? 4(舍去ab ? ?1)
?S ? 1 1 ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 2 2 3

2005—2008 年高考题

一、选择题 1.(2008 福建)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a +c -b )tanB= 3ac ,
2 2 2

则角 B 的值为 A.

( B.



? 6
D

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3


答案

2.(2008 海南)如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为( A. 答案

5 18
D

B.

3 4

C.

3 2

D.

7 8

△ ABC 的内角 A、 3. (2008 陕西) B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 若 c ? 2, b? 6, B ?1 2 0

?



~ 17 ~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

则 a 等于 A. 6 答案 D B.2 C. 3 D. 2





? ? 4.(2007 重庆)在 △ ABC 中, AB ? 3 , A ? 45 , C ? 75 ,则 BC ?





A. 3 ? 3 答案 A

B. 2

C. 2

D. 3 ? 3

5.(2007 山东)在直角 ?ABC 中, CD 是斜边 AB 上的高,则下列等式不成立的是( A. AC ? AC ? AB



??? ?2

??? ? ??? ?

B. BC ? BA ? BC

??? ?2

??? ? ??? ?

??? ? 2 ???? ??? ? C. AB ? AC ? CD
答案 C

???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ( AC ? AB) ? ( BA ? BC ) D. CD ? ??? ?2 AB

6.(2006年全卷I) ?ABC 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列, 且c=2a,则cosB= A. ( B. B )

1 4

3 4

C.

2 4

D.

2 3

答案

二、填空题 7.(2005 福建)在△ABC 中,∠A=90°, AB ? (k ,1), AC ? (2,3),则k 的值是 答案 .

?

3 2

8.(2008 浙江)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、b、c ,若

? 3b ? c?cos A ? a cosC ,则 cos A ? _________.
答案

3 3

9.(2008 湖北)在△ ABC 中,三个角 A, B, C 的对边边长分别为 a ? 3, b ? 4, c ? 6 ,则

bc cos A ? ca cos B ? ab cos C 的值为

.

~ 18 ~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

答案

61 2 1 ? , C ? 150 , BC ? 1 ,则 AB ? 3
.

10.(2007 北京)在 △ ABC 中,若 tan A ?

答案

10 2

11.(2007 湖南)在 △ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 a ? 1 ,b= 7 ,

c ? 3 ,则 B ?
答案



5? 6
.

12.(2007 重庆)在△ABC 中,AB=1,BC=2,B=60°,则 AC= 答案 三、解答题

3

14.(2008 湖南)在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏 东 45 且与点 A 相距 40 2 海里的位置 B,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏
?

东 45 + ? (其中 sin ? =
?

26 ? ? , 0 ? ? ? 90 )且与点 A 相距 10 13 海里的位置 C. 26

(I)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (II)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由. 解 (I)如图,AB=40 2 ,AC=10 13 , ?BAC ? ? ,sin ? ?

26 . 26

由于 0 ? ? ? 90 ,所以 cos ? = 1 ? (
? ?

26 2 5 26 ) ? . 26 26

由余弦定理得 BC=

AB2 ? AC2 ? 2 AB ? AC cos? ? 10 5.
10 5 ? 15 5 (海里/小时). 2 3

所以船的行驶速度为

~ 19 ~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

(II)解法一 标系,

如图所示,以 A 为原点建立平面直角坐

设点 B、C 的坐标分别是 B(x1,y2), C(x1,y2), BC 与 x 轴的交点为 D. 由题设有,x1=y1=

2 AB=40, 2

x2=ACcos ?CAD ? 10 13cos(45? ? ? ) ? 30 , y2=ACsin ?CAD ? 10 13sin(45? ? ? ) ? 20. 所以过点 B、C 的直线 l 的斜率 k=

20 ? 2 ,直线 l 的方程为 y=2x-40. 10

又点 E(0,-55)到直线 l 的距离 d= 所以船会进入警戒水域. 解法二

| 0 ? 55 ? 40 | ? 3 5 ? 7. 1? 4

如图所示,设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q.

在△ABC 中,由余弦定理得,

cos ?ABC ?

AB 2 ? BC 2 ? AC 2 2 AB ? BC

402 ? 2 ? 102 ? 5 ? 102 ? 13 3 10 = = . 10 2 ? 40 2 ? 10 5
从而 sin ?ABC ? 1 ? cos ?ABC ? 1 ?
2

9 10 ? . 10 10

在 ?ABQ 中,由正弦定理得,

10 AB sin ?ABC 10 ? 40. ? AQ= ? sin(45 ? ?ABC ) 2 2 10 ? 2 10 40 2 ?
由于 AE=55>40=AQ,所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间,且 QE=AE-AQ=15. 过点 E 作 EP ? BC 于点 P,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离.

~ 20 ~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

在 Rt ?QPE 中,PE=QE·sin ?PQE ? QE ? sin ?AQC ? QE ? sin(45? ? ?ABC) = 15 ?

5 ? 3 5 ? 7. 5

所以船会进入警戒水域. 14. (2007 宁夏,海南)如图,测量河对岸的塔高 AB 时, 可以选与塔底 B 在同一水平面内 的两个侧点 C 与 D .现测得 ?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s , 并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ? ,求塔高 AB . 解 在 △BCD 中, ?CBD ? π ? ? ? ? . 由正弦定理得 所以 BC ?

BC CD ? . sin ?BDC sin ?CBD

CD sin ?BDC s · sin ? ? . sin ?CBD sin(? ? ? ) s · tan ? sin ? . sin(? ? ? )

在 Rt△ABC 中, AB ? BC tan ?ACB ? 15. (2007 福建)在 △ ABC 中, tan A ? (Ⅰ)求角 C 的大小;

1 3 , tan B ? . 4 5

(Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长. 解 (Ⅰ)? C ? π ? ( A ? B) ,

1 3 ? 3 ? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 4 5 ? ?1 .又? 0 ? C ? π ,? C ? π . 1 3 4 1? ? 4 5 3 (Ⅱ)? C ? ? ,? AB 边最大,即 AB ? 17 . 4
又∵tanA<tanB,A、B ? ? 0,

? ?? ? ? 角 A 最小, BC 边为最小边. ? 2?

sin A 1 ? ? , ?tan A ? ? π? 由? cos A 4 且 A ? ? 0, ? , ? 2? ?sin 2 A ? cos 2 A ? 1, ?

~ 21 ~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

得 sin A ?

AB BC sin A 17 ? ? 2. .由 得:BC=AB· sin C sin C sin A 17

16. (2007 浙江)已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为

1 sin C ,求角 C 的度数. 6

解 (I)由题意及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 , BC ? AC ? 2 AB , 两式相减,得 AB ? 1 . (II)由 △ ABC 的面积

1 1 1 BC ? AC ? sin C ? sin C , ,得 BC ? AC ? , 2 6 3

由余弦定理,得 cosC=

AC 2 ? BC 2 ? AB2 2 AC ? BC

( AC ? BC) 2 ? 2 AC ? BC ? AB2 1 ? , = 2 AC ? BC 2
所以 C ? 60 .
?

17. (2007 山东)20(本小题满分 12 分)如图,甲船以每小时 30 2 海里 的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A 1处 时,乙船位于甲船的北偏西 105 的方向 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲 船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120 方 向的 B2 处,此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里? 解 方法一 如图所示,连结 A1B2,由已知 A2B2= 10 2 ,?
? ?

A1A2= 30 2 ?

20 ? 10 2 ,∴A1A2=A2B2,? 60

又∠A1A2B2=180°-120°=60°? ∴△A1A2B2 是等边三角形,? ∴A1B2=A1A2= 10 2 .?

~ 22 ~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

由已知,A1B1=20,∠B1A1B2=105°-60°=45°,? 在△A1B2B1 中,由余弦定理,?
2 1 2 1 = B1B2 + B1B2 - B1B2 ·A1B2·cos45°? B1B2

=20 +( 10 2 ) -2×20× 10 2 ×
2 2

2 =200.? 2

∴B1B2= 10 2 .? 因此,乙船的速度的大小为?

10 2 ×60= 30 2 (海里/小时).? 20
答 乙船每小时航行 30 2 海里.?

19.(2007 全国Ⅰ)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a ? 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3 3 , c ? 5 ,求 b. 解: (Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ? 由 △ ABC 为锐角三角形得 B ?

1 , 2

π . 6

2 2 2 (Ⅱ)根据余弦定理,得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? 27 ? 25 ? 45 ? 7 .

所以, b ?

7
? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长 ?

20.(2007 全国Ⅱ)在 △ ABC 中,已知内角 A ? 为y. (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值.

解: (1) △ ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? ,由 A ? 应用正弦定理,知

? 2? ,B ? 0,C ? 0 得 0 ? B ? . ? ?

~ 23 ~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

AC ?

BC 2 3 sin B ? sin x ? 4sin x , ? sin A sin ?

AB ?

BC ? 2? ? sin C ? 4sin ? ? x?. sin A ? ? ?

因为 y ? AB ? BC ? AC , 所以 y ? 4sin x ? 4sin ?

2? ? ? 2? ? ? ? x? ? 2 3?0 ? x ? ?, 3 ? ? ? ? ?
? ? 1 cos x ? sin x ? ??2 3 ? 2 ?

(2)因为 y ? 4 ? sin x ?

? ? ?

?? ? 5? ? ? ?? ? 4 3 sin ? x ? ? ? 2 3 ? ? x ? ? ? , ?? ? ? ? ? ??
所以,当 x ?

? ? ? ? ,即 x ? 时, y 取得最大值 6 3 ? ? ?
第二部分 三年联考题汇编

2009 年联考题 一、选择题

S ?ABC ? 1. (2009 岳阳一中第四次月考) .已知△ ABC 中,AB ? a ,AC ? b , a ?b ? 0 ,

??? ?

? ??? ?

? ? ?

? ? a ? 3, b ? 5 ,则 ?BAC ?
A.. 30 答案 C
?

15 , 4

( C. 150
0


0

B . ?150

?

D. 30 或 150

?

2.(2009 河北区一模)在 ?ABC 中, | BC |? 3.| AB |? 4,| AC |? 5, 则 AC ? BC ? ( A.-9 B.0 C.9 D.15 答案 C



3.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试)已知 a,b,c 为△ABC 的三内 角 A,B,C 的对边,向量 m ? ( 3,?1), n ? (cos A, sin A) ,若 m ? n ,且

a cos B ? b cos A ? c sin C, 则角A, B 的大小分别为
A.

( D.



? ?
6 3 ,

B.

2? ? , 3 6

C.

? ?
3 6 ,

? ?

, 3 3

答案 C

~ 24 ~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

二、填空题 4.(2009 长郡中学第六次月考)△ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c 设向量

? ? ? ? ? ? p ? (a ? c, b) , q ? (b ? a, c ? a) ,若 p // q ,则角 C 的大小为
答案 三、解答题 5.(2009 宜春)已知向量 m ? (sin A, sin B) , n ? (cosB, cos A) , m ? n ? sin 2C ,且 A 、
? 3

B 、 C 分别为 ?ABC 的三边 a 、 b 、 c 所对的角。
(1) 求角 C 的大小; (2) 若 sin A , sin C , sin B 成等差数列,且 CA ? ( AB ? AC) ? 18 ,求 c 边的长。 解: (1) m ? n ? sin A ? cos B ? sin B ? cos A ? sin(A ? B) 对于 ?ABC, A ? B ? ? ? C,0 ? C ? ? ? sin( A ? B) ? sin C ,

? m ? n ? sin C.
又? m ? n ? sin 2C ,

? sin 2C ? sin C , cos C ?

1 ? ,C ? . 2 3

, 得2 sin C ? sin A ? sin B , (2)由 sin A, sin C, sin B成等差比数列
由正弦定理得 2c ? a ? b.

?CA ? ( AB ? AC) ? 18,?CA ? CB ? 18,
即 ab cosC ? 18, ab ? 36. 由余弦弦定理 c ? a ? b ? 2abcosC ? (a ? b) ? 3ab ,
2 2 2 2

? c 2 ? 4c 2 ? 3 ? 36, c 2 ? 36 ,? c ? 6.
6.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试)在△ABC 中,设 A、B、C 的对 边分别为 a、b、c 向量 m ? (cos A, sin A), n ? ( 2 ? sin A, cos A),若 | m ? n | ?2, (1)求角 A 的大小; (2)若 b ? 4 2 , 且c ?

2a, 求?ABC 的面积.

解(1) m ? n ? ( 2 ? cos A ? sin A, cos A ? sin A)

~ 25 ~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

| m ? n |? ( 2 ? cos A ? sin A) 2 ? (cos A ? sin A) 2 ? 4 ? 4 sin( A ? ) 4

?

? | m ? n |? 2
? sin( A ? ) ? 0, 4 又? 0 ? A ? ?

?

??

?
4

?A

?

?
?
4

?

?A?

?
4

3? , 4

? 0, A ?

4

(2)? c ?

2a, A ?

?
4

?

c sin C ? ? 2, a sin A

? sin C ? 1, 又 ? 0 ? C ? ?
?C ?

?
2 1 ? (4 2 ) 2 ? 16 2

? ABC 为等腰三角形, S ABC ?

7.(2009 东北育才、天津耀华、大连育明、哈三中联考)在锐角 ?ABC 中,已知内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,向量

? B ? m ? (2sin( A ? C ), 3), n ? ? cos 2B, 2cos 2 ?1? ,且向量 m , n 共线。 2 ? ? (1)求角 B 的大小; (Ⅱ)如果 b ? 1 ,求 ?ABC 的面积 S?ABC 的最大值。
解: (1)由向量 m, n 共线有: 2sin( A ? C ) ? 2cos 即 tan 2B ? 3 , 又0 ? B ? 则 2B = 2分
? ?

? ?

2

B ? ? 1? ? 3 cos 2 B, 2 ?

?

? ? ,即 B ? 4分 6 3 2 2 2 (Ⅱ)由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B, 则
1 ? a2 ? c2 ? 3ac ? (2 ? 3)ac ,
所以 ac ? 2 ? 3, 当且仅当 a ? c 时等号成立 所以 S ?ABC ? 9分 10 分

2

,所以 0 ? 2 B ? ? ,

1 1 ac sin B ? (2 ? 3) 。 2 4

8.(广东省广州市 2009 年模拟)已知△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且

~ 26 ~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

a=2, cosB=

3 . 5

(1)若 b=4,求 sinA 的值; (2) 若△ABC 的面积 S△ ABC=4,求 b,c 的值.

3 >0,且 0<B<π , 5 4 2 ∴sinB= 1 ? cos B ? . 5 a b ? 由正弦定理得 , sinA sinB 4 2? asinB 5 ?2. sinA ? ? b 4 5 1 (2) ∵S△ ABC= acsinB=4, 2 1 4 ∴ ? 2 ? c ? ? 4 , ∴c=5. 2 5
解:(1) ∵cosB= 由余弦定理得 b2=a2+c -2accosB,
2

∴ b ? a + c ? 2accosB ?
2 2

22 + 52 ? 2 ? 2 ? 5 ?

3 ? 17 . 5

9.(辽宁省抚顺市 2009 模拟)在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,且

(2a ? c) cos B ? b cos C ? 0 .
(Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)若 a ? c ? 4 ,求 ?ABC 面积 S 的最大值. 解 (Ⅰ)由正弦定理得 (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C ? 0 , 即 2sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? 0 得 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? 0 ,因为 A ? B ? C ? π ,所以 sin(B ? C ) ? sin A , 得 2sin A cos B ? sin A ? 0 ,因为 sin A ? 0 ,

1 2π ,又 B 为三角形的内角,所以 B ? 2 3 1 2π 1 2? (Ⅱ) S ? ac sin B ,由 B ? 及 a ? c ? 4 得 S ? a (4 ? a ) sin 2 3 2 3
所以 cos B ? ?

?

3 3 [4 ? (a ? 2)2 ] , (4a ? a 2 ) ? 4 4
……3 分
1 3 ,tanB= . 4 5

又 0 ? a ? 4 ,所以当 a ? 2 时, S 取最大值 3

10.(新宾高中 2009 届高三年级第一次模拟考试)在△ABC 中,tanA= (1)求角 C 的大小;

~ 27 ~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

(2)若 AB 边的长为 17 ,求 BC 边的长. 解 (Ⅰ)? C ? π ? ( A ? B) ,

1 3 ? 4 5 ? ?1 .又? 0 ? C ? π ,? C ? 3 π . (6 分) ? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 1 3 4 1? ? 4 5

sin A 1 ? ? , ?tan A ? ? π? (Ⅱ)由 ? cos A 4 且 A ? ? 0, ? , ? 2? ?sin 2 A ? cos 2 A ? 1, ?
得 sin A ?

AB BC sin A 17 ? ? 2. .? ,? BC ? AB? (6 分) sin C sin A sin C 17

BC的 11.(山东省济宁市 2009 高三第一阶段质量检测)在 ?ABC 中, a、 b、 c 分别为角 A、、
对边,且满足 b ? c ? a ? bc .
2 2 2

(Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a ? 3 ,设角 B 的大小为 x, ?ABC 的周长为 y ,求 y ? f ( x) 的最大值. 解: (Ⅰ)在 ?ABC 中,由 b ? c ? a ? bc 及余弦定理得 cos A ?
2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? 2bc 2

而 0 ? A ? ? ,则 A ? (Ⅱ)由 a ?

?
3



3, A ?

?
3

及正弦定理得

b c a ? ? ? sin B sin C sin A

3 ? 2, 3 2

2? 2? 2? ? x ,则 b ? 2sin x, c ? 2sin( ? x)(0 ? x ? ) 3 3 3 2? ? ? x) ? 2 3 sin( x ? ) ? 3 , 于是 y ? a ? b ? c ? 3 ? 2sin x ? 2sin( 3 6 2? ? ? 5? ? ? ? 由0 ? x ? 得 ? x? ? ,当 x ? ? 即 x ? 时, ymax ? 3 3 3 6 6 6 6 2 3 5 3 cos A ? ? , cos B ? , 12. (山东省试验中学 2009 年高三第三次诊断性考试) 在 ?ABC 中, 13 5 sin C (1)求 的值 (2)设 BC ? 5 ,求 ?ABC 的面积
而 B ? x, C ? .解(I)由 cos A ? ?

5 12 ,sin A ? ,得 13 13

~ 28 ~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

3 4 ,sin B ? ,得 5 5 又 A? B ?C ??
由 cos B ? 所以 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

16 65

4 BC ? sin B 5 ? 13 (II)由正弦定理得 AC ? ? 12 sin A 3 13 1 1 13 16 8 ? 所以 ?ABC 的面积 S ? ? BC ? AC ? sin C ? ? 5 ? ? 2 2 3 65 3 5?
13.(山东省潍坊市 2009 高三一模)△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,向量 m=(2sinB,2-cos2B), n ? (2sin (
2

?
4

?

B ),1) ,m⊥n, 2

(1)求角 B 的大小; (2)若 a ? 3 ,b=1,求 c 的值. 解:(I) ? m ? n ? m ? n ? 0,? 4sin B ? sin (
2

?

? ) ? cos 2 B ? 2 ? 0 ,………2 分 4 2

?

2sin b[1 ? cos( ? B)] ? cos 2 B ? 2 ? 0,? 2sin B ? 2sin 2 B ? 1 ? 2sin 2 B ? 0 2 1 ? sin B ? 2
? 0 ? B ? ? ,? B ?

?

?

5 或 ? 6 6

(Ⅱ) ? a ? 3 ? b,? 此时B ?

?
6

方法一:由余弦定理得 方法二:由正弦定理得

b2 ? a 2 ? c 2 ? 2a cos B

? c 2 ? 3c ? 2 ? 0,? c ? 2或c ? 1

b a ? , sin B sin A 1 3 3 ? 2? ? ? ,? sin A ? ,? 0 ? A ? ? ,? A ? 或 ?, 1 sin A 2 3 3 2
若A?

?
3

,因为B ?

?
6

, 所以角C=

?
2

,? 边c ? 2;

~ 29 ~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

2 2 ? ? 若A ? ?,则角C=? ? ? ? ? , ? 边c ? b,? c ? 1 3 3 6 6 综上c ? 2或c ? 1
14.(天津和平区 2009 高三一模)在△ABC 中, A ? (Ⅰ)求 cos C ; (Ⅱ)设 BC ? 5 ,求 AB . (Ⅰ)? cos B ?

?
4

, cos B ?

10 . 10



10 , B ? (0, ? ) 10 3 10 10

? sin B ? 1 ? cos 2 B ?

? C ? ? ? ( A ? B) ? ? ? ( ? B), 4

?

? cos C ? ? cos( ? B) ? ? cos cos B ? sin sin B 4 4 4

?

?

?

?? 5 5

2 10 2 3 10 ? ? ? 2 10 2 10

?

(Ⅱ)? cos C ?

5 , C ? (0, ? ) 5 2 5 . 5

? sin C ? 1 ? cos 2 C ?

由已知条件 BC ? 5,sin A ? sin 根据正弦定理,得

?
4

?

2 , 2

AB BC ? , sin C sin A

? AB ?

BC ? sin C ? sin A

5?

2 5 5 ? 2 2. 2 2

15.(安徽省合肥市一六八中学 2009 届高三适应性训练) 在 ?ABC 中, A、B、C 的对边

~ 30 ~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

分别是 a、b、c ,且满足 (2a ? c) cos B ? b cosC .(1)求 B 的大小; (2)设 m ? (sin A, cos2 A) ,n ? (4k ,1) (k ? 1) ,且 m·n 的最大值是 5,求 k 的值. 解(1)? (2a ? c) cos B ? b cosC ,? (2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cosC , 即 2 sin A cos B ? sin B cosC ? sin C cos B ? sin(B ? C )

? A ? B ? C ? ? ,? 2 sin A cos B ? sin A.
? 0 ? A ? ? ? sin A ? 0 .

? cos B ?

1 . 2

?0 ? B ? ? ?B ?

?
3
2

(2)m· n= 4k sin A ? cos 2 A ? ?2 sin A ? 4k sin A ? 1, A ? (0, 设 sin A ? t , 则 t ? (0,1] . 则 m· n= ? 2t 2 ? 4kt ? 1 ? ?2(t ? k ) 2 ? 1 ? 2k 2 , t ? (0,1]

2? ), 3

? k ? 1,? t ? 1时,m· n 取最大值.
依题意得,(m· n) max = ? 2 ? 4k ? 1 ? 5,? k ?

3 2 4 . 5

16.(福建省泉州一中 2009 年高三模拟)在 ?ABC 中, AC ? 2, BC ? 1, cos C ? (1)求边 AB 的长; (2)求 sin(2 A ? C ) 的值。 解: (1)由余弦定理,得 AB ? AC ? BC ? 2 AC ? BC ? cosC
2 2 2

? 4 ?1? 4?

4 9 3 5 ? , ? AB ? . 5 5 5

(2)? cos C ?

3 4 3 ,?sin C ? 1 ? cos2 C ? 1 ? ( )2 ? . 5 5 5
BC AB ? , sin A sin C

由正弦定理,得

3 5 1 ? 5 , 即 3 sin A 5
解得 sin A ?

5 . 5

? BC ? AC,? A 为锐角,

~ 31 ~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

5 2 5 ? cos A ? 1 ? sin 2 A ? 1 ? ( ) 2 ? . 5 5
sin 2 A ? 2 sin A cos A ? 2 ? 5 2 5 4 ? ? . 5 5 5 5 2 3 ) ? . 5 5
4 4 3 3 ? ? ? ? 1. 5 5 5 5

cos 2 A ? 1 ? 2 sin 2 A ? 1 ? 2 ? (

sin( 2 A ? C ) ? 2 sin 2 A cos C ? cos 2 A sin C ?

17.(天津市河东区 2009 年高三一模) 如图所示, 在△ABC, 已知 AB ? AC 边上的中线 BD ? 5 , 求: (1)BC 的长度; (2) sin A 的值。

6 4 6 , cos B ? , 6 3

18. (2009 广东省清远一中高三综合测试)已知 ?ABC 中, | AC |? 1 , ?ABC ? 120 ,
0

?BAC ? ? ,记 f (? ) ? AB? BC ,
(1)求 f (? ) 关于 ? 的表达式; A

?

?

?

B 120° C

~ 32 ~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

(2)求 f (? ) 的值域; 解(1)由正弦定理有:

| BC | 1 | AB | ; ? ? 0 sin ? sin 120 sin(600 ? ? )

∴ | BC |?

1 sin(600 ? ? ) sin ? | AB | ? , ; sin 120 0 sin 1200
? ?

∴ f (? ) ? AB? BC ?

4 1 2 3 1 sin ? ? sin( 60 0 ? ? ) ? ? ( cos? ? sin ? ) sin ? 3 2 3 2 2

5? ; 3 6 6 6 1 1 ? ∴ ? sin( 2? ? ) ? 1 ;∴ f (? ) ? (0, ] 6 2 6
(2)由 0 ? ? ?

1 ? 1 ? ? sin( 2? ? ) ? (0 ? ? ? ) 3 6 6 3

?

?

?

? 2? ?

?

?

9 月份更新

2007——2008 年联考题 一、选择题 1.(2008东北师大附中模拟)在△ABC中,若 AB ? AB? BC ? 0 ,则△ ABC 的形状为 ( A.等腰三角形 答案 D 2.(2007 届高三数学二轮复习新型题专题训练)已知 ?ABC 中 ,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c, AH 为 BC 边上有高, 以下结论: ① AH ? ( AC ? AB) ? 0 ;② AB ? BC ? 0 ? ?ABC B.等边三角形 C.等腰直角三角形 ) D.直角三角形
? 2 ? ?

???? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AH 为锐角三角形③ AC ? ???? ? c sin B ;④ BC ? ( AC ? AB) ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,其 | AH |
中正确的个数是 A.1 答案 B 二、填空题 3.(江苏省滨海县 08 届高三第三次联考数学试卷)在 ?ABC 中, B.2 C. 3 D.4

??? ? ??? ? 若 OA ? OB ? ?5 ,则 S?ABC ? OA ? ? 2cos ? , 2sin ? ? , OB ? ? 5cos ? ,5sin ? ? ,

.

~ 33 ~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

答案 三、解答题

5 3 2

4.(2008 年成都名校联盟高考数学冲刺预测卷二)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、 b、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 m ? ? sin A,cos 2 A? ,n ? ? 4k,1?? k ? 1? ,且m ? n 的最大值是 5,求 k 的值. 解: (I)∵(2a-c)cosB=bcosC, ∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC 即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB =sin(B+C) ∵A+B+C=π ,∴2sinAcosB=sinA ∵0<A<π ,∴sinA≠0. ∴cosB=

??

?

?? ?

1 2

∵0<B<π ,∴B=

? 3

(II) m ? n =4ksinA+cos2A =-2sin A+4ksinA+1,A∈(0, 设 sinA=t,则 t∈ (0,1] . 则 m ? n =-2t +4kt+1=-2(t-k) +1+2k ,t∈ (0,1]
2 2 2 2

?? ?

22 ) 3

?? ?

∵k>1,∴t=1 时, m ? n 取最大值. 依题意得,-2+4k+1=5,∴k=

?? ?

3 2

5. 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 AB ? AC ? BA? BC ? k (k ? R). (Ⅰ)判断△ABC 的形状; (Ⅱ)若 c ?

2 , 求k 的值.

解: (I)? AB ? AC ? cb cos A, BA? BC ? ca cos B

又 AB ? AC ? BA ? BC ? bc cos A ? ac cos B ? sin B cos A ? sin A cos B 即 sin A cos B ? sin B cos A ? 0 ? sin( A ? B) ? 0 ? ?? ? A ? B ? ?
?A? B ? ?ABC 为等腰三角形. (II) 由(I)知 a ? b

~ 34 ~

既然选择了远方,就必须风雨兼程

? AB ? AC ? bc cos A ? bc ?

b2 ? c2 ? a2 c2 ? ?c ? 2 ? k ? 1 2bc 2

~ 35 ~


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