高中数学数列通项公式的求法

由递推关系求通项公式 因为数列在课本上的内容和习题相对都比较简单,而在考试尤其是高考中数列题目大多数又比较难, 有的题目很难、很复杂,显示出很大的反差。使得在学习数列时感到很困难。同时,数列题目种类繁多, 很难归类。为了便于研究数列问题,找出其中某些常见数列题目的解题思路、规律、方法,现把一些常见 的数列通项公式的求法作以下归类。 . 一、作差求和法 m w.w.w.k.s.5.u.c.o 例1 在数列{ an }中, a1 ? 3 , an?1 ? an ? 1 n(n ? 1) ,求通项公式 an . 解:原递推式可化为: an?1 ? an ? 1 n ? n 1 ? 1 则 a2 ? a1 ?1? 1 1, 2 a3 ? a2 ? 1 2 ? 1 3 a4 ? a3 ? 1 3 ? 1 4 ,……, a n ? an?1 ? 1? n ?1 1 n 逐项相加得: an ? a1 ?1? 1 n .故 an ? 4? 1 n . 二、作商求和法 例 2 设数列{ an }是首项为 1 的正项数列,且 (n ?1)an?12 ? nan2 ? an?1an ? 0(n=1,2,3…),则它的 通项公式是 an =▁▁▁(2000 年高考 15 题) 解:原递推式可化为: [(n ? 1)an?1 ? nan ](an?1 ? an ) =0 ∵ an?1 ? an >0, an?1 ? n an n ?1 则 a2 ? 1 , a3 ? 2 , a4 ? 3 , ……, an ? n ? 1 a1 2 a2 3 a3 4 a n ?1 n 逐项相乘得: an a1 ? 1 n ,即 a n = 1 n . 三、换元法 例3 已知数列{ an },其中 a1 ? 4 3 , a2 ? 13 9 ,且当 n≥3 时, an ? an?1 ? 1 3 (an?1 ? an?2 ) ,求通项公 式 an (1986 年高考文科第八题改编). 解:设 bn?1 ? an ? an?1,原递推式可化为: bn?1 ? 1 3 bn?2 ,{bn } 是一个等比数列, b1 ? a2 ? a1 ? 13 9 ? 4 3 ? 1 9 ,公比为 1 3 .故 bn?1 ? b1 ? (1)n?2 3 ? 1 (1)n?2 93 ? ( 1 3 ) n .故 an ? an?1 ? ( 1) 3 n .由逐差法可得: a n ? 3 2 ? 1 (1)n . 23 例 4 已知数列{ an },其中 a1 ? 1, a2 ? 2 ,且当 n≥3 时, an ? 2an?1 ? an?2 ? 1 ,求通项公式 an 。解 由 an ? 2an?1 ? an?2 ? 1 得:(an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? 1 ,令 bn?1 ? an ? an?1,则上式为 bn?1 ? bn?2 ? 1, 因此{bn }是一个等差数列, b1 ? a2 ? a1 ? 1,公差为 1.故 bn ? n .。 由于 b1 ? b2 ? ? ? bn?1 ? a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ? an ? 1 又 b1 ? b2 ??? bn?1 ? n(n ?1) 2 所以 an ?1 ? 1 2 n(n ? 1) ,即 an ? 1 (n2 2 ? n ? 2) 四、积差相消法 例 5 设正数列 a0 ,a1 ,a n …,a n ,…满足 an an?2 ? an?1an?2 = 2an?1 (n ? 2) 且 a0 ? a1 ? 1, 求{an } 的通项公式. 解 将递推式两边同除以 an?1an?2 整理得: an ? 2 an?1 an?1 ? 1 an?2 设bn = an an?1 ,则 b1 ? a1 a0 =1, bn ? 2bn?1 ? 1 ,故有 b2 ? 2b1 ? 1 ⑴ b3 ? 2b2 ? 1 ⑵ …… …… bn ? 2bn?1 ? 1 (n ?1) 由⑴? 2n?2 + ⑵? 2n?3 +…+( n ?1) 20 得 bn ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?1 = 2n ?1,即 an = 2n ?1. an?1 逐项相乘得: an = (2 ? 1)2 ? (22 ? 1)2 ??? (2n ? 1)2 ,考虑到 a0 ? 1 , 故 ? 1 an ? ??(2 ?1)2 (22 ?1)2 ??? (2n ?1)2 五、取倒数法 (n ? 0) . (n ? 1) 例6 已知数列{ an }中,其中 a1 ? 1, ,且当 n≥2 时, an ? a n ?1 2an?1 ? 1 ,求通项公式 a n 。 解 将 an ? an?1 两边取倒数得: 1 2an?1 ? 1 an ? 1 a n ?1 ? 2 ,这说明{ 1 } 是一个等差数列,首项是 1 an a1 ?1, 公差为 2,所以 1 an ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1,即 an ? 1. 2n ?1 六、取对数法 例 7 若数列{ an }中, a1 =3 且 an?1 ? an2 (n 是正整数),则它的通项公式是 an =▁▁▁(20XX 年上 海高考题). 解 由题意知 an >0,将 an?1 ? an2 两边取对数得 lg an?1 ? 2 lg an ,即 lg an?1 l

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