北师大版必修5:2.1《等差数列》课件_图文


2.1 等差数列

一、课题引入 请看下面一些数列: 鞋的尺码,按照国家统一规定,有 22,22.5,23,23.5,24,24.5,……
一个梯子共8级,自下而上每一级的宽度为:

89,83,77,71,65,59,———,47(cm)
某月星期日的日期为2号,这个月星期 2,9,16,23,30 日还有哪几天? 思考:它们有何共同特征?
从第2项起,每一项与前一项的差都等于一个常数.

二、等差数列的定义 如果一个数列{an},从第2项起每一项
与前一项的差都等于同一个常数,那么这个

数列为等差数列,这个常数叫做等差数列的
公差,公差通常用字母 d 表示。

等差数列定义的公式表示: an-an-1=d(n>1)(递推公式)

例1.已知数列{an}的通项公式为an=3n-5, 这个数列是等差数列吗? 解:因为当n≥2时, an-an-1=3n-5-[3(n-1)-5]=3, 所以数列{an}是等差数列,且公差为3.

跟踪练习:判断下列数列是否等差数列? ? 1? : 1 , 2 , 4 , 6 , 8 ,10 , 12 ,?

? 2? : ? 3? : ? 4? :

-3, -2 , 1 , 3 , 5 , 7 , ? 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 ,? 1 , 2 , 4 , 7 , 11 , 16 , ?

(1)判断一个数列是否等差数列,应严格按照等 差数列的定义来进行。 等差数列要求从第2项起, 后一项与 前一项作差, 不能颠倒。

(2)作差的结果要求是同一个常数。 可以是整数,也可以是0和负数。

三、等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 求它的通项公式an
解:由等差数列得定义得: an+1=an+d ∴a 2=a1+d a 3=a2+d=a1+2d a 4=a3+d=a1+3d a 5=a4+d=a1+4d …… 由此得: an=a1+(n-1)d ( n∈N+) 思考: 还可以有别的方式得到这个公式吗?

等差数列的通项公式推导2(叠加)
a2 ? a1 ? d

a4 ? a3 ? d an ?1 ? an ?2 ? d
an ? an ?1 ? d

a3 ? a2 ? d

叠加得

an ? a1 ? (n ? 1)d

an ? a1 ? (n ? 1)d



例2.已知等差数列10,7,4,……; (1)试求此数列的第10项; (2)-40是不是这个数列的项?-56是不 是这个数列的项?如果是,是第几项? 解:(1)设此数列为{an}, 由a1=10,a2=7,得d=7-10=-3, 得到这个数列的通项公式为 an=10-3(n-1),即an=-3n+13, 当n=10时,a10=-17.

(2)如果-40是这个数列的项, 则方程-40=-3n+13应有正整数解, 53 解这个方程得 n ? , 3 所以-40不是这个数列的项; 如果-56是这个数列的项, 则方程-56=-3n+13有正整数解,

解这个方程得n=23,
所以-56是这个数列的第23项;

跟踪练习: (1)、已知等差数列的首项 a1是3,公差 d 是2,求 它的通项公式。 (2)、求等差数列 10 ,8 , 6 ,4 ,‥‥的第20项。 (3)、 -401是不是等差数列 –5 , -9 ,-13 , ‥‥ 的项 ?如果是,是第几项?

例3: 在等差数列{an}中 , 已知a6=12 , a18=36 ,求首项a1 ,公差 d 及通项an 。
分析: 此题已知a6=12 ,n=6 ;a18=36 , n=18分别代入通项, 公式an = a1+(n-1)d 中 ,可得两个方程,都含a1与d两个未知

数组成方程组,可解出a1与d 。

***********

解: 由题意可得 a1+5d=12 ﹛ a1+17d=36 (1) (2)



an = 2+(n-1) ×2 = 2n a1 =2

∴ d=2

(1) 此题解法是利用数学的函数与方程思想,函 数与方程思想是数学几个重要思想方法之一,也是 高考必考的思想方法,应熟悉并掌握。 (2)等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 中 ,an , a1 , n ,d 这四个变量 , 知道其中三个量就可以求 余下的一个 量 。

跟踪练习
在等差数列{an}中,已知 (1)a4=10 , a7=19 ,求 a1与 d 。

(2)a3=9 , a9=3 ,求 a12 。

四:性质一:公差的几何意义 1.在等差数列{an}中, an=a1+(n-1)d=nd+(a1-d)

可以看出,当公差d=0时,该数列是常数列.
即常数列是等差数列的特殊形式,公差为0. 当公差d≠0时, an是关于n的一次式. 思考:若设数列{an}的通项公式是an=an+b, (a,b是常数),这个数列是等差数列吗?

因为an-an-1=(an+b) -[a(n-1)+b]=a.(n≥2)
所以{an}是等差数列,其中a是公差. 结论: 如果{an}是等差数列,则an=an+b,(a,b 是常数); 反之,若{an}的通项公式是an=an+b,(a, b是常数),则数列{an}是等差数列,

2.由于等差数列的通项公式可以表示为an=an+b, 因此从图象上看,表示这个数列的各点均在一条 直线上。 思考:在哪条直线上? 当a≠0时,各点均在一次函数y=ax+b的图 象上; 当a=0时,各点均在函数y=b的图象上。 讨论:这个数列的公差与这条直线有什么关系? 有什么意义?

这个数列的公差等于这条直线的斜率,这就是 公差的几何意义。

例1.已知等差数列的公差为d,第m项为am, 试求其第n项an. 解:由等差数列的通项公式可知

an=a1+(n-1)d,am=a1+(m-1)d,
两式相减得, an=am+(n-m)d. 思考:还可以如何推导? 解:由几何意义可知 点(n,an), (m,am)在 直线y=dx+b上, 所以d= (an-am)/(n-m),整理得

an=am+(n-m)d.

性质 二

1.等差中项的定义
如果三个数x,A,y组成等差数列,那么A叫做x
和y的等差中项。
如果A是x和y的等差中项,则

x? y A? 2

注: (1)在等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数 列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。 (2)若m+n=2p,则am+an=2ap

例2.梯子共有5级,从上往下数第1级宽35 厘米,第5级宽43厘米,且各级的宽度依次 组成等差数列{an},求第2,3,4级的宽度。 解法1:由题意,a1=35,a5=43,由等差数列 通项公式,

a5 ? a1 ?2 得公差 d ? 5 ?1
因此得a2=37,a3=39,a4=41.

解法2:此数列共5项,a3是a1与a5的等差中项, a1 ? a5 ? 39 因此 a3 ? 2 又因为a2是a1与a3的等差中项,a4是a3与a5 的等差中项,所以
a1 ? a3 a2 ? ? 37 2
a3 ? a5 a4 ? ? 41 2

答:梯子的第2,3,4级的宽度分别是 37cm,39cm,41cm.

性质 三 例3.(1)在等差数列{an}中,若m+n=p+q, 求证:am+an=ap+aq. (2)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+ a7=450,求a2+a8. 解:(2)∵ a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5,




5a5=450, a5=90,
a2+a8= 2×90=180.

跟踪练习
在等差数列{an}中 (1)已知 a6+a9+a12+a15=20,求a1+a20; (2)已知 a3+a11=10,求 a6+a7+a8.

注:等差数列还有许多重要性质, 在学习中需要我们慢慢去挖掘。

四、小结
本节课主要学习了以下知识: 1、 等差数列的概念。必须从第2项起后项减去前项,并且差是

同 一常数。 象例1中(1)、(2)小题只能说它们从第2项起、
从第3项起是等差数列,而它们本身不是。 2、等差数列的通项公式

an = a1+(n-1)d

知道其中三 个

(或两个)字母变量,可用列方程(或方程组)的方法,求余 下的一个(或两个)变量。

在学习中还要注意提高观察、归纳、猜想、 推理等数学能力。

小结(知识巩固)
1. {an}为等差数列 ? an+1- an=d ? an+1=an+d ? an= a1+(n-1) d ? an= kn + b (k、b为常数)
2. a、b、c成等差数列 ? b为a、c 的等差中项AA a?c 【说明】 b? ? ? 2b= a+c an ? am 2 3.更一般的情形,an= am+(n - m) d ,d= n?m am+an=ap+aq 4.在等差数列{an}中,由 m+n=p+q
注意:①上面的命题的逆命题 是不一定成立 的;
②上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项,如a1+a2=a3 成立吗?

5. 在等差数列{an}中a1+an

= a2+ an-1 = a3+ an-2 = …


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