2015年高考新课标I卷理科数学


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试题类型: A

2015 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学
注意事项: 1. 页。 2. 3. 4. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. (1)设复数 z 满足

(A) 1 (2) sin 20? cos10? ? cos160? sin10? ?

1? z ? i ,则 | z | ? 1? z (B) 2

(C) 3 (C) ?

(D) 2 (D)

3 3 (B) 2 2 2 n (3)设命题 P : ? n ? N , n ? 2 ,则 ?P 为 (A) ?n ? N , n2 ? 2n
(A) ?

1 2

1 2

(B) ? n ? N , n2 ? 2n

(C) ? n ? N , n2 ? 2n (D) ? n ? N , n2 ? 2n (4)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312 2 x (5) 已知 M ( x0 , y0 ) 是双曲线 C : ? y 2 ? 1 上的一点,F1 , F2 是 C 上的两个焦点, 若 MF1 ? MF2 ? 0 , 2 则 y0 的取值范围是 (A) ( ? (A)0.648

3 3 , ) 3 3

(B) ( ?

3 3 , ) 6 6

(C) (?

2 2 2 2 , ) 3 3

(D) (?

2 3 2 3 , ) 3 3

(6) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中 有如下问题: “今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺. 问: 积及为米几何?”其意思为: “在屋内墙角处堆放米(如图, 米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之 一),米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的 体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立 方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有 (A)14 斛 (B)22 斛 (C)36 斛 (D)66 斛 (7)设 D 为 ? ABC 所在平面内一点, BC ? 3CD ,则 1 4 1 4 (A) AD ? ? AB ? AC (B) AD ? AB ? AC 3 3 3 3 4 1 4 1 (C) AD ? AB ? AC (D) AD ? AB ? AC 3 3 3 3 理科数学试题 A 第1 页(共4 页)



(8)函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x) 的单调递减区间为 y 1 3 (A) (k? ? , k? ? ), k ?Z 1 4 4

1 3 (B) (2k? ? , 2k? ? ), k ?Z 4 4 1 3 (C) (k ? , k ? ), k ?Z 4 4 1 3 (D) (2k ? , 2 k ? ), k ?Z 4 4
(9)执行右面的程序框图,如果输入的 t ? 0.01 , 则输出的 n ? (A)5 (B)6 (C)7 (D)8
开始 输入 t

O 1 4

5 4

x

S ? 1, n ? 0, m ? 1 2

S ? S?m
m?


m , n ? n ?1 2

S ?t
否 输出 n

结束

(10) ( x2 ? x ? y)5 的展开式中, x5 y 2 的系数为 (A)10 (B)20 (C)30 (D)60
2r

(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个 几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若 该几何体的表面积为 16 ? 20? ,则 r ? (A)1 (B)2 (C)4 (D)8

r
正视图

r
2r
俯视图

(12)设函数 f ( x) ? ex (2 x ? 1) ? ax ? a ,其中 a ? 1 ,若存在唯一的整数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则 a 的取 值范围是 (A) [?

3 ,1) 2e

(B) [?

3 3 , ) 2e 4

(C) [

3 3 , ) 2e 4

(D) [

3 ,1) 2e

理科数学试题 A 第2 页(共4 页)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作 答。第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)若函数 f ( x) ? x ln( x ? a ? x2 ) 为偶函数,则 a ?
2 2

. .

x y ? ? 1 的三个顶点,且圆心在 x 轴上,则该圆的标准方程为 16 4 ? x ?1 ? 0 y ? (15)若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 则 的最大值为 . x ?x ? y ? 4 ? 0 ? (16)在平面四边形 ABCD 中,?A ? ?B ? ?C ? 75? , BC ? 2 ,则 AB 的取值范围是
(14)一个圆经过椭圆 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分)

.

Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 an ? 0, an 2 ? 2an ? 4Sn ? 3 .
(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和. an an ?1

(18) (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 为菱形, ?ABC ? 120? , E , F 是 平面 ABCD 同一侧的两点, BE ⊥平面 ABCD , DF ⊥平 面 ABCD , BE ? 2DF , AE ⊥EC . (Ⅰ)证明:平面 AEC ⊥平面 AFC ; (Ⅱ)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值. (19) (本小题满分 12 分) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x (单位:千元)对年销售量 和年利润 z(单位: 千元) 的影响, 对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 y i( i ? 1, 2, ,8 ) y(单位:t ) 数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值。
620 ● 600 ● ● ● 580 ● ● 560 540 ● 520 ● 500 480 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 年宣传费/千元

E F

A B

D

C

年销售量/t

x
46.6

y
56.3

w
6.8

? (x
i ?1

8

i

? x )2

? (w ? w)
i ?1 i

8

2

? (x
i ?1

8

i

? x )( yi ? y )
1469

? (w ? w)( y
i ?1 i

8

i

? y)

289.8

1.6

108.8

表中 w1 ? x1 , w ?

1 8 ? wi 8 i ?1
理科数学试题 A 第3 页(共4 页)

(Ⅰ)根据散点图判断, y ? a ? bx 与 y ? c ? d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ) 以知这种产品的年利率 z 与 x, y 的关系为 z ? 0.2 y ? x 。 根据 (Ⅱ) 的结果回答下列问题: (ⅰ)年宣传费 x ? 49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ⅱ)年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据 (u1 , v1 ) , (u2 , v2 ) , , (un , vn ) ,其回归线 v ? ? ? ? u 的斜率和截距的

最小二乘估计分别为
?? ?

? (ui ? u )? (vi ? v )
i ?1 i ?1

n

n

? (u
i ?1

n

?u ? ?v ?? ,?

i

?u)

2

(20) (本小题满分 12 分)

x2 y ? kx ? a (a ? 0) 交与 M , N 两点, 与直线 l: 4 (Ⅰ)当 k ? 0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ) y 轴上是否存在点 P ,使得当 k 变动时,总有 ?OPM ? ?OPN ?说明理由.
在直角坐标系 xOy 中,曲线 C :y ? (21) (本小题满分 12 分)

1 , g ( x) ? ? ln x . 4 (Ⅰ)当 a 为何值时, x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线; (Ⅱ)用 min{m, n} 表示 m, n 中的最小值,设函数 h( x) ? min{ f ( x), g ( x)} ( x ? 0) ,讨论 h ( x)
已知函数 f ( x) ? x3 ? ax ? 零点的个数. 请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做, 则按所做第一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 (22) (本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙ O 的直径, AC 是⊙ O 的切线, BC 交⊙ O 于 E . (Ⅰ)若 D 为 AC 的中点,证明: DE 是⊙ O 的切线; (Ⅱ)若 OA ? 3CE ,求 ?ACB 的大小.
C
D
A

E

O

B

(23) (本题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1: x ? ?2 ,圆 C2: ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,以坐标原点为极点, x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 C1 , C2 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 积. (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? | x ? 1| ?2| x ? a | ,a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 1 的解集; (Ⅱ)若 f ( x) 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围. 理科数学试题 A 第4 页(共4 页)

? ? ? ,设 C 与 C 的交点为 , N ,求 C MN 的面 ? 2 M ( R) 2 3 4


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