www.fd01.com:18版高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案新人教A版必修4

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2.4.2

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算.(重点) 2.会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题.(难点) 3.分清向量平行与垂直的坐标表示.(易混点)

[基础·初探] 教材整理 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 阅读教材 P106“探究”以下至 P107 例 6 以上内容,完成下列问题. 1.平面向量数量积的坐标表示: 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为 θ . 数量积 向量垂直

a·b=x1x2+y1y2 a⊥b?x1x2+y1y2=0
2 2

2.向量模的公式:设 a=(x1,y1),则|a|= x1+y1. → 3.两点间的距离公式:若 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=

x2-x1

2



y2-y1

2

.

4.向量的夹角公式:设两非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 夹角为 θ ,则

a·b x1x2+y1y2 cos θ = = 2 . 2 2 |a|·|b| x1+y1 x2 2+y2

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),满足 x1y2-x2y1=0,则向量 a,b 的夹角为 0°.( ) ) )

(2)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a⊥b?x1x2-y1y2=0.(

(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零,则两个向量的夹角一定为钝角.( 【解析】 (1)×.因为当 x1y2-x2y1=0 时,向量 a,b 的夹角也可能为 180°. (2)×.a⊥b?x1x2+y1y2=0. (3)×.因为两向量的夹角有可能为 180°.

1

【答案】 (1)×

(2)× (3)×

[小组合作型]

平面向量数量积的坐标运算 (1)已知向量 a=(1,2),b=(2,x),且 a·b=-1,则 x 的值等于( A. C. 1 2 3 2 1 B.- 2 3 D.- 2 )

(2)已知向量 a=(-1,2),b=(3,2),则 a·b=________,a·(a-b)=________.

(3)已知 a=(2,-1),b=(3,2),若存在向量 c,满足 a·c=2,b·c=5,则向量 c= ________. 【精彩点拨】 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐 标运算列出方程(组)来进行求解. 【自主解答】 (1)因为 a=(1,2),b=(2,x), 所以 a·b=(1,2)·(2,x)=1×2+2x=-1, 3 解得 x=- . 2 (2)a·b=(-1,2)·(3,2)=(-1)×3+2×2=1,

a·(a-b)=(-1,2)·[(-1,2)-(3,2)]=(-1,2)·(-4,0)=4.
(3)设 c=(x,y),因为 a·c=2,b·c=5, 9 ? ?x=7, 解得? 4 ?y=7, ?

? ?2x-y=2, 所以? ?3x+2y=5, ?

?9 4? 所以 c=? , ?. ?7 7?

?9 4? 【答案】 (1)D (2)1 4 (3)? , ? ?7 7?

1.进行数量积运算时,要正确使用公式 a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系:
2

|a|2=a·a;(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2;
(a+b) =|a| +2a·b+|b| . 2.通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化,应注意与函数、方程等知识的联系. 3.向量数量积的运算有两种思路:一种是向量式,另一种是坐标式,两者相互补充.
2 2 2

[再练一题] 1.设向量 a=(1,-2),向量 b=(-3,4),向量 c=(3,2),则向量(a+2b)·c=( A.(-15,12) C.-3 【解析】 B.0 D.-11 依题意可知,a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6),∴(a+2b)·c=(- )

5,6)·(3,2)=-5×3+6×2=-3. 【答案】 C

向量模的坐标表示 (1)设平面向量 a=(1,2),b=(-2,y),若 a∥b,则|2a-b|等于( A.4 C.3 5 B.5 D.4 5 )

(2)已知向量 a=(1,2),b=(-3,2),则|a+b|=________,|a-b|=________. 【精彩点拨】 (1)两向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线的坐标表示:x1y2-x2y1=0. (2)已知 a=(x,y),则|a|= x +y . 【自主解答】 (1)由 y+4=0 知
2 2

y=-4,b=(-2,-4),
∴2a-b=(4,8),∴|2a-b|=4 5.故选 D. (2)由题意知,a+b=(-2,4),a-b=(4,0), 因此|a+b|= -
2

+4 =2 5,|a-b|=4. 4

2

【答案】 (1)D (2)2 5

向量模的问题的解题策略: (1)字母表示下的运算,利用|a| =a 将向量模的运算转化为向量的数量积的运算. (2)坐标表示下的运算,若 a=(x,y),则|a|= x +y .
2 2

2

2

[再练一题] 2. 已知向量 a = (2x + 3,2 - x) , b = ( - 3 - x,2x)(x ∈ R) ,则 |a + b| 的取值范围为
3

________. 【导学号:00680057】 【解析】 ∵a+b=(x,x+2), ∴|a+b|= x + x+ =
2 2

= 2x +4x+4

2

x+

2

+2≥ 2,

∴|a+b|∈[ 2,+∞). 【答案】 [ 2,+∞) [探究共研型]

向量的夹角与垂直问题 探究 1 设 a,b 都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 是 a 与 b 的夹角,那么 cos θ 如何用坐标表示? 【提示】 cos θ =

a·b x1x2+y1y2 = 2 . 2 2 2 |a||b| x1+y1 · x2+y2

探究 2 已知向量 a=(1,2),向量 b=(x,-2),且 a⊥(a-b),则实数 x 等于? 【提示】 由已知得 a-b=(1-x,4). ∵a⊥(a-b),∴a·(a-b)=0. ∵a=(1,2),∴1-x+8=0,∴x=9. (1)已知向量 a=(2,1),b=(1,k),且 a 与 b 的夹角为锐角,则实数 k 的取值 范围是( ) 1? ?1 ? ? B.?-2, ?∪? ,+∞? 2? ?2 ? ? D.(-2,2)

A.(-2,+∞) C.(-∞,-2)

→ (2)已知在△ABC 中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD 为 BC 边上的高,求|AD|与 点 D 的坐标. 【精彩点拨】 (1)可利用 a,b 的夹角为锐角??
? ?a·b>0, ?a≠λ ?

b

求解.

→ → → → (2)设出点 D 的坐标,利用BD与BC共线,AD⊥BC列方程组求解点 D 的坐标. 1 【自主解答】 (1)当 a·b 共线时,2k-1=0,k= ,此时 a,b 方向相同,夹角为 0°, 2 所以要使 a 与 b 的夹角为锐角,则有 a·b>0 且 a,b 不同向.由 a·b=2+k>0 得 k>-2,且

k≠ ,即实数 k 的取值范围是?-2, ?∪? ,+∞?,选 B. 2 2

1 2

? ?

1? ?1

? ?

? ?

【答案】 B
4

→ → → (2)设点 D 的坐标为(x,y),则AD=(x-2,y+1),BC=(-6,-3),BD=(x-3,y-2). → → ∵D 在直线 BC 上,即BD与BC共线, → → ∴存在实数 λ ,使BD=λ BC, 即(x-3,y-2)=λ (-6,-3), ∴?
? ?x-3=-6λ , ?y-2=-3λ , ?

∴x-3=2(y-2),即 x-2y+1=0.① → → 又∵AD⊥BC,∴AD·BC=0, 即(x-2,y+1)·(-6,-3)=0, ∴-6(x-2)-3(y+1)=0,② 即 2x+y-3=0. 由①②可得?
? ?x=1, ?y=1, ?

→ 即 D 点坐标为(1,1),AD=(-1,2), → ∴|AD|= -
2

+2 = 5,

2

→ 综上,|AD|= 5,D(1,1).

1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤: (1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积. (2)求模.利用|a|= x +y 计算两向量的模. (3)求夹角余弦值.由公式 cos θ =
2 2

x1x2+y1y2 求夹角余弦值. 2 2 2 x +y1 · x2+y2
2 1

(4)求角.由向量夹角的范围及 cos θ 求 θ 的值. 2.涉及非零向量 a,b 垂直问题时,一般借助 a⊥b?a·b=x1x2+y1y2=0 来解决.

[再练一题] 3.已知 a=(1,2),b=(1,λ ),分别确定实数 λ 的取值范围,使得:(1)a 与 b 的夹角 为直角;(2)a 与 b 的夹角为钝角;(3)a 与 b 的夹角为锐角. 【解】 设 a 与 b 的夹角为 θ , 则 a·b=(1,2)·(1,λ )=1+2λ .

5

(1)因为 a 与 b 的夹角为直角,所以 cos θ =0,所以 a·b=0,所以 1+2λ =0,所以 1 λ =- . 2 (2)因为 a 与 b 的夹角为钝角, 所以 cos θ <0 且 cos θ ≠-1, 所以 a·b<0 且 a 与 b 不反向. 1 由 a·b<0 得 1+2λ <0,故 λ <- , 2 由 a 与 b 共线得 λ =2,故 a 与 b 不可能反向, 1? ? 所以 λ 的取值范围为?-∞,- ?. 2? ? (3)因为 a 与 b 的夹角为锐角, 所以 cos θ >0,且 cos θ ≠1, 所以 a·b>0 且 a,b 不同向. 1 ? 1 ? 由 a·b>0,得 λ >- ,由 a 与 b 同向得 λ =2,所以 λ 的取值范围为?- ,2?∪(2, 2 ? 2 ? +∞).

1.已知 a=(1,-1),b=(2,3),则 a·b=( A.5 C.-2

) B.4 D.-1

【解析】 a·b=(1,-1)·(2,3)=1×2+(-1)×3=-1. 【答案】 D 2.已知 a=(-2,1),b=(x,-2),且 a⊥b,则 x 的值为( A.-1 C.1 B.0 D.2 )

【解析】 由题意,a·b=(-2,1)·(x,-2)=-2x-2=0,解得 x=-1.故选 A. 【答案】 A 3.已知 a=(3,-1),b=(1,-2),则 a 与 b 的夹角为( A. C. π 6 π 3 B. D. π 4 π 2 )

6

【解析】 1+ -
2 2

a·b = 3×1 + ( - 1)×( - 2) = 5 , |a| = 32+ -

2

= 10 , |b| =

= 5,

a·b 5 2 π 故 a 与 b 的夹角为 θ , 则 cos θ = = = .又 0≤θ ≤π , ∴θ = . |a|·|b| 2 4 10· 5
【答案】 B 4.已知 a=(3,-4),则|a|=________. 【解析】 因为 a=(3,-4),所以|a|= 3 + -4 【答案】 5 5.已知向量 a=(3,-1),b=(1,-2), 求:(1)a·b;(2)(a+b) ;(3)(a+b)·(a-b). 【解】 (1)因为 a=(3,-1),b=(1,-2), 所以 a·b=3×1+(-1)×(-2)=3+2=5. (2)a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3), 所以(a+b) =|a+b| =4 +(-3) =25. (3)a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),
2 2 2 2 2 2 2

=5.

a-b=(3,-1)-(1,-2)=(2,1),
(a+b)·(a-b)=(4,-3)·(2,1)=8-3=5.

7


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