【优选整合】人教A版高一数学必修二 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 课件 (共45张PPT)_图文

1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 赫尔佐格 “鸟巢(nest)” 德梅隆 我们的身边存在着各种各样的几何体、建筑进行装饰时 ,都需要知道它们的表面积或体积,以便计算用料和工 时,如何计算呢? 1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积公式的推 导过程. (重点) 2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积与体 积.(难点) 3.熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系,培养转 化与化归的思想与空间想象能力. 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积, 以及它们的展开图,你知道正方体和长方体的展开 图与其表面积的关系吗? 几何体表面积 展开图 平面图形面积 空间问题 平面问题 知识探究 正方体、长方体是由多个平面图形围成的多面 体,它们的表面积就是各个面的面积的和,也就是 展开图的面积. 一般地,我们可以把多面体展成平面图形,利 用平面图形求面积的方法,求多面体的表面积. 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的 多面体,它们的展开图是什么?如何计算它们的表 面积? 棱柱的侧面展开图 棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积? h 特别提醒 正棱柱的侧面展开图 将空间图形问题转化为平面图形问题,是解立体 几何问题最基本、最常用的方法. 棱锥的侧面展开图 棱锥的侧面展开图是什么?如何 计算它的表面积? 侧面展开 h′ 正棱锥的侧面展开图 h′ 棱台的侧面展开图 棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积? 侧面展开 h′ 正棱台的侧面展开图 h′ 棱柱、棱锥、棱台的表面积 h′ h′ 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的 几何体,它们的侧面展开图还是平面图形,计算它 们的表面积就是计算它们的各个侧面面积与底面面 积之和. 【即时训练】 一个四棱锥的侧棱长都相等, 底面是正方形, 其正(主)视图如图所示,该四棱锥侧面积 和体积分别是( B ) A. 4 5, 8 B. 4 5, 8 3 C. 8 4( 5+1), 3 D. 8,8 【例1】已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面 体S-ABC,求它的表面积. 【分析】:四面体的展开图是由四个全等的等边三 角形组成. 【解析】先求△SBC的面积,过点S作 SD ? BC, 交BC于点D. SD = SB × sin60o = 因为BC=a, 3 a, 2 S A B D C 所以 1 1 3 3 2 SΔSBC = BC × SD = a× a = a. 2 2 2 4 3 2 因此,四面体S-ABC 的表面积为 4× a = 3a2 . 4 【变式练习】 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,且AB=BC=1, AA1=2.求三棱柱的全面积S. 【解析】因为AB⊥BC,AB=BC=1, 1 1 所以S△ABC= AB·BC= ,AC= AB ? BC ? 2 2 2 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱, 所以四边形AA1B1B、AA1C1C和BB1C1C都是矩形, 因为AA1=2,所以矩形AA1B1B的面积为 SAA B B =AA1×AB=2, 1 1 同理可得 SAA1C1C ? 2 2,SBB1C1C ? 2. 所以直三棱柱ABC-A1B1C1的全面积为 2 2 S ? 2S△ABC ? SAA1B1B ? SAA1C1C ? SBB1C1C ? 5 ? 2 2. 圆柱的表面积 r O? O 圆柱的侧面展开图是一个矩形, S圆柱表面积 ? 2?r ? 2?rl ? 2?r(r ? l ). 2 圆锥的表面积 S O 圆锥的侧面展开图是一个扇形, S圆锥表面积 ? ?r 2 ? ?rl ? ?r(r ? l ). 圆台的表面积 参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象圆台 的侧面展开图是什么? O′ O 圆台的侧面展开图是一个扇环, S圆台表面积 ? ?(r?2 ? r 2 ? r ?l ? rl ). 【提升总结】 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系? O? r′=r O′ r′=0 上底扩大 O O 上底缩小 O S柱 ? 2?r(r ? l ) S台 ? ?(r?2 ? r 2 ? r ?l ? rl ) S锥 ? ?r(r ? l ) 【即时训练】 如图所示, 已知直角梯形 ABCD, BC∥AD, ∠ABC =90° ,AB=5 cm,BC=16 cm,AD=4 cm.求以 AB 所 在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积. 【解析】 以 AB 所在直线为轴旋转一周所得几 何体是圆台, 其上底半径是 4 cm, 下底半径是 16 cm, 母线 DC= 52+?16-4?2=13 (cm). 所以该几何体的表面积为 π(4+16)×13+π×4 +π×16 =532π(cm ). 2 2 2 【例2】如图,一个圆台形花盆盆口直径为20 cm,盆 底直径为15 cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁 长15 cm.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每 平方米用100 毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多 少油漆(π 取3.14,结果精确到1 毫升,可用计算 器)? 20cm 15cm 15cm 分析:只要求出每一个花盆外壁的表面积,就可求 出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧 面面积加上底面面积,再减去底面圆孔的面积. 【解析】 如图,由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积 20cm 15cm 15cm 涂100个花盆需油漆: 0.1×100×100=1000(毫升). 答:涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆. 【变式练习】 如图所示,从底面半径为 2a,高为 3a 的圆柱中, 挖去一个底面半径为 a 且与圆柱等高的圆锥,求圆柱的 表面积 S1 与挖去圆锥后

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