-高中数学 1.2.1平面的基本性质课件 苏教版必修2_图文

1. 2 点、线、面之间的位置关系 1.2.1 平面的基本性质 课 标 点 击 栏 目 链 接 1.了解平面的含义,掌握平面的画法及表示. 2.理解平面的基本性质,掌握其简单应用. 3.正确使用图形语言和符号语言. 典 例 剖 析 栏 目 链 接 点、线共面 (1)不共面的四点可以确定几个平面? (2)三条直线两两平行但不共面,它们可以确定几个平面? 栏 目 链 接 (3)共点的三条直线可以确定几个平面? 分析:(1)可利用公理2判定. (2)可利用公理3的推论3判定. (3)需分类讨论进行判定. 解析:(1)不共面的四点组成一个三棱锥即四面体,故可以 确定四个平面. (2)三条直线两两平行但不共面,它们可以确定三个平面. (3)共点的三条直线可以确定一个或三个平面. 栏 目 链 接 规律总结:判定平面的个数问题关键是要紧紧地抓住已知 条件,要做到不重不漏.平面的确定问题主要是根据已知 条件、公理3及其三个推论来判定平面的个数. ?变式训练 1.过三点能确定__________个平面. 栏 目 链 接 解析:若三点共线能确定无数个平面;若三点不共 线只能确定一个平面. 答案:1个或无数 点共线问题 正方体ABCDA1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1 交于点O,AC、BD交于点M,求证:点C1、O、M 三点共线. 栏 目 链 接 分析:要证若干点共线的问题,只需证这些点同在两 个相交平面内即可. 证明:如下图所示,A1A∥C1C?确定平面 A1ACC1. ? ? ? 平面BC1D∩直线A1C=O?O∈平面BC1D? ? A1C?平面A1ACC1? ? ??O∈平面A1ACC1 ? O∈A1C ? 栏 目 链 接 ? ? AC∩BD=M?M∈平面BC1D且M∈平面A1ACC1? ? C1∈平面BC1D且C1∈平面A1ACC1 ? ?O在平面A1ACC1与平面BC1D的交线上. ?O、C1、M 三点共线. 规律总结:证明点共线的问题,一般转化为证明这些 点是某两个平面的公共点.这样,可根据公理2证明 这些点都在这两个平面的公共直线上. 线共点问题 已知空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是边 AB、AD 的中点,F、 CF CG 2 G 分别是边 BC、CD 上的点,且 = = (如右图所示),求证: CB CD 3 三条直线 EF、GH、AC 交于一点. 栏 分析:欲证三线共点,可证其中两条直线有交点,且该交点在第 目 链 接 三条直线上. 1 证明:∵E、H 分别是 AB、AD 的中点,∴EH 綊 BD. 2 ∵ 2 CF CG 2 = = ,∴FG 綊 BD. CB CD 3 3 栏 链 接 ∴EH∥FG,且EH≠FG. 故四边形EFGH为梯形,从而两腰EF、GH必相交于一点P. 目 ∵P∈直线EF,EF?平面ABC, ∴P∈平面ABC. 同理P∈平面ADC, ∴P在平面ABC和平面ADC的交线AC上. 故EF、GH、AC三直线交于一点. 规律总结:平面几何中证多线共点的思维方法适 用于空间,只是在思考中应考虑到空间图形的新 特点. 栏 目 链 接 ?变式训练 2.如图,已知:E,F,G,H分别是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中点, 证明:FE,HG,DC三线共点. 栏 目 链 接 证明:如图,连接C1B,由题意知HC1綊EB, ∴四边形HC1BE是平行四边形. ∴HE∥C1B. 又C1G=GC,CF=BF,故GF綊C1B. ∴GF∥HE,且GF≠HE. ∴HG与EF相交.设交点为K,则K∈HG,又 HG?面D1C1CD, 栏 目 链 接 ∴K∈面D1C1CD. ∵K∈EF,EF?面ABCD,∴K∈面ABCD. ∵面D1C1CD∩面ABCD=DC, ∴K∈DC.∴FE、HG、DC三线共点. 公理3的三个推论 求证:两两相交且不共点的四条直线共面. 分析:首先应分析两两相交且不共点的四条直线有几种情 况,本题四线不共点,但有可能三线共点,或没有三线共 点,所以应分两种情况证明. 第一种,四条直线中每三条直线都不交于一点. 第二种,四条直线中有三条直线交于一点. 栏 目 链 接 证明:方法一 直线. 设a、b、c、d为两两相交且不共点的四条 若a、b、c共点且交点为P,如右图,d与a、b、c分别交于 S、R、Q. ∵a∩d=S, ∴a、d确定一个平面,设为α(公理3的推论2). ∵Q∈d,P∈a,a、d?α, 栏 目 链 接 ∴Q、P∈α. 又∵P∈c,Q∈c, ∴c?α(公理1). 同理,b?α,∴a、b、c、d共面. 若a、b、c、d每三条都不交于一点, 如右图,a∩d=P,b∩d=Q,c∩d=R,a∩b=S,a∩c =M,b∩c=N. ∵a∩d=P, ∴a、d确定一个平面,设为α. ∵Q∈d,S∈a,a、d?α, 栏 目 链 接 ∴Q、S∈α. 又∵Q∈b,S∈b, ∴b?α.同理c?α, ∴a、b、c、d共面. 方法二 若a、b、c相交于点P. ∵a∩b=P,∴a、b确定一平面α. ∵d∩a=S,d∩b=R,∴S、R∈α,d?α. ∵b∩c=P,b、c确定一平面β. ∵d∩c=Q,d∩b=R, ∴R、Q∈β.∴d?β. ∴存在两相交直线b、d既在α内,又在β内. ∴α与β重合.∴a、b、c、d共面. 栏 目 链 接 若a、b、c、d无三线交于一点, 由a、b确定平面α,d、c确定平面β, ∵c∩a=M,c∩b=N,d∩b=Q, ∴M∈α,N∈α,Q∈α. ∵M、N、Q不共线, 栏 目 链 接 ∴α、β有三个不共线的公共点. ∴α、β重合,即a、b、c、d共面. 规律总结:四条直线两两相交且不交于一点与三条直 线两两相交且不交于一点不同,后者只是一种情况, 前者是两种情况. 证共面用上述方法,即先用已知确定一平面

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