导数及其应用复习与小结_图文

第三章

导数及其应用

本章知识结构
函数的瞬时变化率

导数概念

运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导

导数

导数运算
导数的四则运算法则 函数单调性研究

导数应用

函数的极值、最值

最优化问题

一. 导数的定义和几何意义
①函数的平均变化率 函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 平均变化率为:

Y=f(x)

f(x2 ) ? f ( x1 ) ?y ? ?x x2 ? x1
割线的斜率 ②函数的瞬时变化率
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
? f ?( x0 ) 切线的斜率

y f(x2) f(x2)-f(x1)=△y f(x1) O A x2-x1=△x x x1 x2 B

导数

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度为h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s ) 存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10

求t=2时的瞬时速度?

h

o

2

t

定义:

函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是

或 y? | x ? x , 即
0

f ( x0 ? Δx) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ? x ?x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ?( x0 )

f (x0 ? Δx) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim . ?x ? 0 ?x

1. f ?( x0 )与x0的值有关,不同的x0其导数值一般也不相同。 2. f ?( x0 )与?x的具体取值无关。

3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。

由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是:
(1)求函数的增量 y ? f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ); ?

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y ( 2)求平均变化率 ? ; ?x ?x ?y ( 3)取极限,得导数 ?( x0 ) ? lim f . ?x ? 0 ?x 注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.

一差、二比、三极限

1 练习:(1)求函数 f(x)= 在 x=1 处的导数 x (2)已知函数 f(x)=ax2+c,且 f′(1)=2,求 a.

-Δx 1 1 解:(1)∵Δy= - = x+Δx x x?x+Δx?

Δy 1 ∴ =- Δx x?x+Δx?

Δy 1 1 ∴limΔx→0 =limΔx→0[- ]=- 2 Δx x x?x+Δx? 1 ∴f′(1)=- 2=-1 1
(2)∵Δy=a(x+Δx)2+c-(ax2+c) =2axΔx+a(Δx)2

Δy ∴ =2ax+aΔx Δx
∴f′(x)=limΔx→0(2ax+aΔx)=2ax

∴f′(1)=2a=2,∴a=1

例2 : 已 知 函 数 ? y 1 ? , 求x0的 值. 2

x 在x ? x0 处 附 近 有 定 义 y'| x ? x0 ,且

解 :? ?y ? x0 ? ?x ? x0 ,
?y ? ? ?x ? x0 ? ?x ? x0 ( x0 ? ?x ? x0 )( x0 ? ?x ? x0 ) ? ?x ?x ( x 0 ? ? x ? x 0 ) 1 . x 0 ? ?x ? x 0

?y 1 1 ? lim ? lim ? , ?x ?0 ?x ?x ?0 x0 ? ?x ? x0 2 x0 1 1 1 由y'| x ? x0 ? , 得 ? ,? x0 ? 1. 2 2 x0 2

二.对基本初等函数的导数公式的应用
' 1.若f(x)=c,则f(x)=0 ' 2.若f(x)=x n,则f(x)=nx n-1 (n ? R) ' 3.若f(x)=sinx,则f(x)=cosx ' 4.若f(x)=cosx,则f(x)=-sinx

5.若f(x)=a ,则f(x)=a ln a 6.若f(x)=e ,则f(x)=e
' x ' x

x

'

x

1 7.若f(x)=logax,则f(x)= xlna 1 ' 8.若f(x)=lnx,则f(x)= x

三.导数的基本运算

? ? f ?( x) ? g ?( x) ? f ( x) ? g ( x) ?
? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? f ( x)?g ( x)?
? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? f ( x) ? ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?

过p(x0,y0)作一曲线的切线方程 1) p(x0,y0)为切点 切线方程

y - y0 = f (x0 )(x - x0 )



2)p(x0,y0)不为切点 ? 切点P(x , y ) 1 1

y1 = f(x1 ) y1 - y0 ' = f (x1 ) x1 - x0

3-x+2和点 例1.已经曲线C:y=x

A(1,2)。求在点A处的切线方程?
解:f/(x)=3x2-1, ∴k= f/(1)=2 ∴所求的切线方程为: y-2=2(x-1), 即 y=2x

例1.已经曲线C:y=x3-x+2和点A(1,2) 求过点A处的切线方程?
变式1:求过点A的切线方程?
解:变1:设切点为P(x0,x03-x0+2), k= f/(x0)= 3 x02-1, ∴切线方程为 y- ( x03-x0+2)=(3 x02-1)(x-x0) 又∵切线过点A(1,2) ∴2-( x03-x0+2)=( 3 x02-1)(1-x0) 化简得(x0-1)2(2 x0+1)=0, 1 解得x0=1或x0=- 2 ①当x0=1时,所求的切线方程为:y-2=2(x-1),即y=2x
1 y-2= - (x-1),即x+4y-9=0 4

1 ②当x0=- 时,所求的切线方程为: 2

例1:已经曲线C:y=x3-x+2和点(1,2)求 在点A处的切线方程?
变式2:若曲线上一点Q处的切线恰好平行于直 线y=11x-1,则P点坐标为 (2,8)或(- 2, -4) ____________, y=11x-14或y=11x+18 切线方程为_____________________.

例 2 求曲线 f ? x ? ? x3 ? 3x2 ? 2x 过原点的切线方程. 解: f ? ? x ? ? 3x2 ? 6x ? 2 .设切线斜率为 k ,
(1) 当切点 是原点 时 , k ? f ? ? 0? ? 2 ,所 以所 求曲线 的切线 方程为

函数导数方程不等式中等问题复习选讲

y ? 2x .
(2)当切点不是原点时,设切点是 ? x0 , y0 ? ,则有 y0 ? x03 ? 3x02 ? 2x0 ,

y0 即k ? ? x0 2 ? 3x0 ? 2 ,又 k ? f ? ? x0 ? ? 3x02 ? 6x0 ? 2 ,故得 x0
1 y0 3 1 x0 ? , k ? ? ? ,所求曲线的切线方程为 y ? ? x . 4 2 x0 4

函数导数方程不等式中等问题复习选讲

小评:“过某点”与“在某点处”的不同.故审题应细.
又如:曲线 y?
3

? x ? 1?

2

在 点 ?1,0 ? 处 的 切 线 问

题. x ? 1 处的导数不存在,说明该曲线在点 ?1,0 ? 处的 切线的斜率趋于无穷大,倾斜角为

?
2

,所以曲线

y?

3

? x ? 1?

2

在点 ?1,0 ? 处的切线方程为 x ? 1 .

四.导数的应用
(1)单调性区间

一般地,函数y=f(x)在某个区间(a,b)内
1) 如果恒有 f′(x)≥0,那么 y=f(x) 在这个区间(a,b)内单调递增; 2) 如果恒有 f′(x)≤0,那么 y=f(x) 在这个区间(a,b)内单调递减。

已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(x∈R)

的导数为 f‘(x)=3ax2+2bx+c
(1)有三个单调区间 (2)有极大值和极小值 (3)有极值 (4)仅有一个单调区间 (5)没有极值

?a ? 0 ? ?? ? 0 ?a ? 0 ? ?? ? 0

(2)极值与最值
1)如果b是f’(x)=0的一个根,并且在b左侧附近 f’(x)>0,在b右侧附近f’(x)<0,那么f(b)是函数f(x) 的一个极大值 2)如果a是f’(x)=0的一个根,并且在a 的左侧附 近f’(x)<0,在a 右侧附近f’(x)>0,那么是f(a) 函数f(x)的一个极小值. 注:导数等于零的点不一定是极值点. 函数的最大(小)值与导数 在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不 断的曲线,则它必有最大值和最小值.

五.题型讲解 题型一.利用导数的定义和几何意义解题 例1.已知f(x)是可导函数,且

f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) lim ? 2, ?x ?0 ?x
则f(x0)等于( B ) A

1 2

B -1

C 0

D -2

例2.下列四个函数中,满足“对于区间(1,2) 上的任意的x1,x2(x1≠x2), |f(x2)-f(x1)|<|x1-x2|恒成立”的只有(A )
1 A. f ( x) ? x

B.f(x)=2x D.f(x)=x2

C.f(x)=2x

题型二:原函数与导函数的图像

例3. ( 07

浙 江 ) 设 f ?( x) 是 函 数 f ( x) 的 导 函 数 , 将

y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标系中,

不可能正确的是( D



例4.已知 f/(x)是 f(x)的导函数,f/(x)的图象如右
图所示,则 f(x)的图象只可能是( D )

A

B

C

D

题型三 .单调区间 极值最值与根的情况 例 5(05 山东 19)已知 x ? 1 是函数

f ( x) ? mx3 ? 3(m ? 1) x2 ? nx ? 1的一个极值点,其中
m, n ? R, m ? 0 ,
(I)求 m 与 n 的关系表达式; (II)求 f ( x ) 的单调区间; (III)当 x ? [?1,1]) 时,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一 点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范围.

强调应用分离参数法

函数导数方程不等式中等问题复习选讲

解:(I) f ?( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? n 因为 x ? 1 是函数 f ( x ) 的 一 个极值 点 ,所以 f ?(1) ? 0 ,即 3m ? 6(m ? 1) ? n ? 0 , 所以

n ? 3m ? 6 .

函数导数方程不等式中等问题复习选讲

(II)由(I)知, f ?( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6 = 3m( x ? 1) ? x ? ?1 ?

? ?

? ?

2 ?? ? m ?? ?

2 当 m ? 0 时,有 1 ? 1 ? ,当 x 变化时, f ( x ) 与 f ?( x ) 的变化如下表: m

x
f ?( x )
f ( x)

2? ? ? ??,1 ? ? m? ?
?

2 1? m
0 极小值

2 ? ? ?1 ? ,1? ? m ?

1

?1, ???
?

?
?

0 极大值

?

?

2? 2 ? ? ? 故由上表知,当 m ? 0 时, f ( x ) 在 ? ??,1 ? ? 单调递减,在 ?1 ? ,1? 单调递增, m? ? ? m ?
在 (1, ??) 上单调递减.

函数导数方程不等式中等问题复习选讲

(III)由已知得 f ?( x) ? 3m ,即 mx2 ? 2(m ? 1) x ? 2 ? 0 .又 m ? 0 所

2 2 2 2 2 以 x ? (m ? 1) x ? ? 0 ,即 x ? ( m ? 1) x ? ? 0, x ? ? ?1,1? ① m m m m 1 2 2 设 g ( x) ? x ? 2(1 ? ) x ? ,其函数开口向上,由题意知①式恒成立, m m
2

2 2 ? ? g (?1) ? 0, ?1 ? 2 ? ? ? 0, 4 所以 ? 解之得 ? ? m 又 m ? 0 所以 ?? m m 3 ? g (1) ? 0. ??1 ? 0. ?
4 ? 4 ? ? ? m ? 0 .即 m 的取值范围为 ? ? , 0 ? . 3 ? 3 ?

【函数的极值和最值问题】
3

函数导数方程不等式中等问题复习选讲

例 6(05 北京 15)已知函数 f ? x ? ? ?x ? 3x ? 9x ? a .
2

(Ⅰ)求 f ? x ? 的单调递减区间; (Ⅱ) f ? x ? 在区间 ? ?2, 2? 上的最大值为 20,求它在该 若 区间上的最小值.
解: (Ⅰ)f ? ? x ? ? ?3x2 ? 6x ? 9 .令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x ? ?1 或

x ? 3 ,所以函数 f ? x ? 的单调递减区间为 ? ??, ?1? , ?3, ??? .

函数导数方程不等式中等问题复习选讲

例 6(05 北京 15)已知函数 f ? x ? ? ?x3 ? 3x2 ? 9x ? a . (Ⅰ)求 f ? x ? 的单调递减区间; (Ⅱ)若 f ? x ? 在区间

??2, 2? 上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.
(Ⅱ)当 x ?? ?2, 2? 时

x
f ? ? x?

?2

? ?2, ?1?
?

?1

? ?1, 2?
?
?

2

0
极小

f ? x?

2?a

?

22 ? a

因为 f ? ?2? ? 2 ? a , f ? 2? ? 22 ? a ,所以 f ? 2? ? f ? ?2? .

函数导数方程不等式中等问题复习选讲

因为在 ? ?1,3? 上 f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? ?1, 2? 上单调递增, 又由于 f ? x ? 在 ? ?2, ?1? 上单调递减,因此 f ? 2 ? 和 f ? ?1? 分别 是 f ? x ? 在 区 间 ? ?2, 2? 上 的 最 大 值 和 最 小 值 , 于 是 有

22 ? a ? 20 ,解得 a ? ?2 .
故 f ? x ? ? ?x3 ? 3x2 ? 9x ? 2 ,因此 f ? ?1? ? 1 ? 3 ? 9 ? 2 ? ?7 , 即函数 f ? x ? 在区间 ? ?2, 2? 上的最小值为 ?7 .

函数导数方程不等式中等问题复习选讲

例 7 ( 06 北 京 16 ) 已 知 函 数

f ( x) ? ax ? bx ? cx 在 点 x0 处 取 得极大值 5 ,其导函数 y ? f ?( x) 的图 象经过点 (1,0) , (2, 0) ,如图所示.求: (Ⅰ) x0 的值; (Ⅱ) a, b, c 的值.
3 2

y

O

1

2

x

解法一:(Ⅰ)由图象可知,在 ? ??,1? 上 f ? ? x ? ? 0 ,在 ?1, 2 ? 上

f ? ? x ? ? 0 ,在 ? 2,??? 上 f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极
大值,所以 x0 ? 1 .

函数导数方程不等式中等问题复习选讲

(Ⅱ)f ? ? x ? ? 3ax2 ? 2bx ? c ,由 f ? ?1? ? 0, f ? ? 2? ? 0, f ?1? ? 5 ,

?3a ? 2b ? c ? 0, ? 得 ?12 a ? 4b ? c ? 0, 解得 a ? 2, b ? ?9, c ? 12 . ? a ? b ? c ? 5. ?
解法二: (Ⅰ)同解法一. ( Ⅱ ) 设 f ? ? x ? ? m ? x ?1?? x ? 2? ? mx2 ? 3mx ? 2m , 又

f ? ? x ? ? 3ax2 ? 2bx ? c ,所以
m 3 m 3 3 2 a ? , b ? ? m, c ? 2m . f ? x ? ? x ? x ? 2mx , 由 3 2 3 2 m 3 f ?1? ? 5 ,即 ? ? 2m ? 5 ,得 m ? 6 . 3 2
所以 a ? 2, b ? ?9, c ? 12 .

f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f '( x) , 例6. 已知二次函数
f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有
f (1) f '(0) 的最小值为( C

f ( x) ? 0 ,则



A. 3

5 B. 2

C. 2

3 D. 2


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