2010数学高中巧学巧解大全

书利华教育网 www.shulihua.net 精心打造一流新课 标资料 第一部分 高中数学活题巧解方法总论

一、代入法
若动点 P( x, y) 依赖于另一动点 Q( x0 , y 0 ) 而运动,而 Q 点的轨迹方 程已知(也可能易于求得)且可建立关系式 x0 ? f ( x) , y 0 ? g ( x) ,于是 将这个 Q 点的坐标表达式代入已知 (或求得) 曲线的方程, 化简后即得 P 点 的轨迹方程,这种方法称为代入法,又称转移法或相关点法。 【例 1】 2009 年高 考广 东卷 )已 知曲线 C : y ? x 2 与直 线 l : (

x ? y ? 2 ? 0 交于两点 A( x A , y A ) 和 B( x B , y B ) ,且 x A ? xB ,记曲线 C
在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)为 D. 设点 P( s, t ) 是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合.若点 Q 是线 段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程; 【巧解】 联立 y ? x 2 与 y ? x ? 2 得 x A ? ?1, x B ? 2 , AB 中点 Q ( , ) , 则

1 5 2 2

1 5 ?s ?t 2 2 设线段 PQ 的中点 M 坐标为 ( x, y ) ,则 x ? , ,y ? 2 2 1 5 即 s ? 2 x ? , t ? 2 y ? ,又点 P 在曲线 C 上, 2 2 5 1 2 11 2 ∴ 2 y ? ? (2 x ? ) 化简可得 y ? x ? x ? ,又点 P 是 L 上的任 2 2 8
一点,

1 1 5 ? 2 ,即 ? ? x ? , 2 4 4 11 1 5 2 ∴中点 M 的轨迹方程为 y ? x ? x ? ( ? ? x ? ). 8 4 4
且不与点 A 和点 B 重合,则 ? 1 ? 2 x ? 【例 2】 (2008 年, 江西卷) P( x0 , y0 ) 在直线 x ? m ( y ? ?m,0 ? m ? 1) 设

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上,过点 P 作双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的两条切线 PA 、 PB ,切点为 A 、 B ,
1 定点 M ( m ,0) 。 过点 A 作直线 x ? y ? 0 的垂线, 垂足为 N, 试求 ?AMN 的

重心 G 所在的曲线方程。
2 2 【巧解】设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由已知得到 y1 y2 ? 0 ,且 x1 ? y1 ? 1 , 2 2 (1)垂线 AN 的方程为: y ? y1 ? ? x ? x1 , x2 ? y2 ? 1,

由?

? y ? y1 ? ? x ? x1 x ? y1 x1 ? y1 , ) ,设重心 G( x, y) 得垂足 N ( 1 2 2 ? x? y ?0

3 ? 9x ? 3y ? ? 1 1 x1 ? y1 ? m ? x1 ? ? x ? 3 ( x1 ? m ? 2 ) ? ? 4 所以 ? 解得 ? 1 ? ? y ? 1 ( y ? 0 ? x1 ? y1 ) 9 y ? 3x ? 1 ? ?y ? m 3 2 ? ? 1 ? 4 1 1 2 2 由 x1 ? y1 ? 1 可得 (3 x ? 3 y ? )(3x ? 3 y ? ) ? 2 m m 1 2 2 ) ? y 2 ? 为重心 G 所在曲线方程 即 (x ? 3m 9
巧练一: (2005 年,江西卷)如图,设抛物线 C : y ? x 的焦点为 F,动点
2

P 在直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上运动,过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB,且 与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.,求△APB 的重心 G 的轨迹方程.

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巧练二: (2006 年,全国 I 卷)在平面直角坐标系 xOy 中,有一个以

2 的部分为曲线 C,动点 P 在 C 上,C 在点 P 处的切线与 x、y 轴的交点分别
为 A、B,且向量 OM ? OA ? OB ,求点 M 的轨迹方程

F1 (0,? 3) 和 F2 (0, 3) 为焦点、离心率为 3 的椭圆,设椭圆在第一象限

二、直接法
直接从题设的条件出发,利用已知条件、相关公式、公理、 定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确 的结论,从而确定选择支的方法叫直接法。从近几年全国各地的 高考数学试题来看,绝大大部分选择题的解答用的是此法。但解 题时也要“盯住选项特点”灵活做题,一边计算,一边对选项进 行分析、验证,或在选项中取值带入题设计算,验证、筛选而迅 速确定答案。
【例 1】 (2009 年高考全国 II 卷)已知双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

的右焦点为 F, F 且斜率为 3 的直线交 C 于 A、 两点。 AF ? 4FB , 过 B 若 则 C 的离心率为( (A) ) (B)

6 5

7 5

(C)

8 5

(D)

9 5

【 巧 解 】 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , F (c,0) , 由 AF ? 4FB , 得

(c ? x1 ,? y1 ) ? 4( x2 ? c, y2 )
∴ y1 ? ?4y 2 ,设过 F 点斜率为 3 的直线方程为 x ?

y 3

?c,

y ? x? ?c b2 2b 2 c ? 由? 消去 x 得: ( ? a2 ) y2 ? y ? b4 ? 0 , 3 3 3 ?b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2 ? 0 ?

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? 6b 2 c ? y1 ? y 2 ? ? ? 3 (b 2 ? 3a 2 ) ∴ ? 3b 4 ? y1 y 2 ? 2 ? b ? 3a 2 ?
, 将

y1 ? ?4y 2 代 入 得

? 6b 2 c ?? 3 y 2 ? ? ? 3 (b 2 ? 3a 2 ) 化简得 ? 4 ? ? 4 y 2 ? 3b 2 ? b 2 ? 3a 2 ? ? 2b 2 c ? y2 ? 4b 4 c 2 3b 4 ? 3 (b 2 ? 3a 2 ) ,∴ , ?? ? 3b 4 3(b 2 ? 3a 2 ) 2 4(b 2 ? 3a 2 ) ?y2 ? ? ? 2 4(b 2 ? 3a 2 ) ?
化 简 得 : 16c 2 ? 9(3a 2 ? b 2 ) ? 9(3a 2 ? c 2 ? a 2 ) , ∴ 25c ? 36a ,
2 2

e2 ?

36 6 ,即 e ? 。 25 5

故本题选(A) 【 例 2 】 2008 年 , 四 川 卷 ) 设 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 满 足 (

f ( x) ? f ( x ? 2) ? 13,若 f (1) ? 2 ,则 f (99) ? (
(A)13 (B)2

) (C)

13 2

(D )

2 13
【巧解】∵ f ( x ? 2) ?

13 13 13 ? ? f ( x) ,∴ f ( x ? 4) ? 13 f ( x ? 2) f ( x) f ( x)
为 周 期 函 数 , 且







f (x)

T ?4





f (99) ? f (4 ? 24 ? 3) ? f (3) ?
故选(C)

13 13 ? f (1) 2

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巧练一: (2008 年,湖北卷)若 f ( x) ? ? 是减函数,则 b 的取值范围是( A. [?1,??) D. (??,?1) 巧练二: (2008 年,湖南卷)长方体 ABCD—A1B1C1D1 的 8 个顶点在同一 个球面上,且 AB=2,AD= 3, 1=1,则顶点 A、B 间的球面距离是( AA ) ) C .

1 2 x ? b ln( x ? 2)在(?1,?? ) 上 2

B. (?1,??)

(??,?1]

A. 2 2?

B. 2?

C



2? 2

D.

2? 4

三、定义法
所谓定义法,就是直接用数学定义解题。选择题的命题侧重于对圆锥 曲线定义的考查,凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取 值范围等问题, 用圆锥曲线的第一和第二定义解题, 是一种重要的解题策略。 【例 1】 (2009 年高考福建卷,理 13)过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F
2

作倾斜角为 450 的直线交抛物线于 A、B 两点,线段 AB 的长为 8,则 p? .

p ? p ?y ? x ? 【巧解】依题意直线 AB 的方程为 y ? x ? ,由 ? 2 消去 y 得: 2 ? y 2 ? 2 px ?

x 2 ? 3 px ?

p2 ? 0 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,∴ x1 ? x2 ? 3 p ,根据抛 4

物线的定义。

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| BF |? x 2 ? p p , | AF |? x1 ? , ∴ | AB |? x1 ? x2 ? p ? 4 p ? 8 , ∴ 2 2

p ? 2,
故本题应填 2。 【例 2】 (2008 年,山东卷,理 10)设椭圆 C1 的离心率为

5 ,焦点在 x 轴 13

上且长轴长为 26. 若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对 值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( ) (A)

x2 y2 ? ?1 4 2 32 x2 y2 ? ?1 32 4 2

(B)

x2 y2 ? 2 ?1 132 5 x2 y2 ? 2 ?1 132 12

(C)

(D)

【巧解】由题意椭圆的半焦距为 c ? 5 ,双曲线 C 2 上的点 P 满足

|| PF1 | ? | PF2 ||? 8 ?| F1 F2 |,

∴点 P 的轨迹是双曲线,其中 c ? 5 ,

a ? 4 ,∴ b ? 3 ,故双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1 ,∴选(A) 4 2 32

巧练一: (2008 年,陕西卷)双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦 a2 b2

点分别是 F1,F2,过 F1 作倾斜角为 30°的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为( ) A. 6 B. 3 C. 2
2

D.

3 3

巧练二: (2008 年,辽宁卷)已知点 P 是抛物线 y ? 2 x 上的一个动点,则 点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( )

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(A)

17 2

(B)3

(C) 5

(D)

9 2

四、向量坐标法
向量坐标法是一种重要的数学思想方法,通过坐标化,把长度之间的 关系转化成坐标之间的关系,使问题易于解决,并从一定程度上揭示了问题 的数学本质。在解题实践中若能做到多用、巧用和活用,则可源源不断地开 发出自己的解题智慧,必能收到事半功倍的效果。 【例 1】 (2008 年,广东卷)在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O, E 是线段 OD 的中点, 的延长线与 CD 交于点 F. 若 AC =a,BD =b, AE 则 AF =( A. + ) B.

1 1 a+ b 4 2

2 1 a+ b 3 3

C.

1 1 a+ b 2 4

D. y D

1 a 3
C E O

2 b 3 1 3 2 2

【巧解】如图所示,选取边长为 2 的正方形 ABCD 则 B(2,0) , C (2,2) , D(0,2) , O(1,1) , E ( , ) ,

? y ? 3x 2 ∴直线 AE 的方程为 y ? 3x ,联立 ? 得 F ( ,2) 3 ? y?2


A

B

x

2 AF ? ( ,2) 3





AF ? x AC ? y BD





AF ? x(2,2) ? y(?2,2) ? (2x ? 2 y,2x ? 2 y)
2 ? ?2 x ? 2 y ? ? 3 ?2x ? 2 y ? 2 ?
x? 2 3 y? 1 3















2 1 2 1 AC ? BD ? a ? b ,故本题选 B 3 3 3 3 【例 2】已知点 O 为 ?ABC 内一点,且 OA ? 2OB ? 3OC ? 0,则 ?AOB 、 AF ?

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?AOC 、 ?BOC 的面积之比等于 A.9:4:1 B.1:4:9
3 【巧解】不妨设 ?ABC 为等腰三角形, ?B ? 90
0

( C.3:2:1 D. 2: 1: y A O



AB ? BC ? 3 ,建立如图所示的直角坐标系,则点 B(0,0)

A(0,3) , C (3,0) ,设 O( x, y) ,
B ∵ OA ? 2OB ? 3OC ? 0,即 (? x,3 ? y) ? 2(? x,? y) ? 3(3 ? x,? y) ? (0,0) ∴? C

x

?6 x ? 9 3 1 3 1 解之得 x ? , y ? ,即 O ( , ) , 又直线 AC 的方程 为 2 2 2 2 ?6 y ? 3
|

3 1 ? ? 3| 2 ? x ? y ? 3 ? 0 , 则 点 O 到 直 线 AC 的 距 离 h ? 2 2 ,∵ 2 12 ? 12

| AC |? 3 2 ,因此 S ?AOB ?
S ?AOC ?

1 9 1 3 | AB | ? | x |? , S ?BOC ? | BC | ? | y |? , 2 4 2 4

1 3 | AC | ?h ? ,故选 C 2 2

巧练一: (2008 年,湖南卷)设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、 AB 上 的 点 , 且

DC ? 2BD, CE ? 2EA, AF ? 2FB, 则AD ? BE ? CF与BC (
A.反向平行 平行也不垂直 B.同向平行 C.互相垂直

) D.既不

巧练二:设 O 是 ?ABC 内部一点,且 OA ? OC ? ?2OB ,则 ?AOB 与

?AOC 面积之比是

.

五、查字典法
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查字典是大家比较熟悉的,我们用类似“查字典”的方法来解决数字排 列问题中数字比较大小的问题, 避免了用分类讨论法时容易犯的重复和遗漏 的错误,给人以“神来之法”的味道。利用“查字典法”解决数字比较大小 的排列问题的思路是“按位逐步讨论法” (从最高位到个位) ,查首位时只考 虑首位应满足题目条件的情况;查前“2”位时只考虑前“2”位中第“2” 个数应满足条件的情况;依次逐步讨论,但解题中既要注意数字不能重复, 又要有充分的理论准备,如奇、偶问题,3 的倍数和 5 的倍数的特征,0 的 特性等等。以免考虑不全而出错。 【例 1】 (2007 年,四川卷)用数字 0,1,2,3,4,5 可以组成没有重复数 字,并且比 20000 大的五位偶数共有( ) (A)288 个 (B)240 个 (C)144 个 ( D ) 126 个 【巧解】本题只需查首位,可分 3 种情况,① 个位为 0,即 ? ? ? ?0 型,
1 3 首位是 2,3,4,5 中的任一个,此时个数为 A4 A4 ;

②个位为 2,

即 ? ? ? ?2 , 此种情况考虑到万位上不为 0,则万位上只能排 3,4,
1 3 5,所以个数为 A3 A4 ;③个位为 4, ? ? ? ?4 型,此种特点考虑到万 1 3 位上不为 0,则万位上只能排 2,3,5,所以个数为 A3 A4 ;故共有 1 3 1 3 A4 A4 ? 2 A3 A4 ? 240个。故选(B)

【例 2】 (2004 年全国 II 卷)在由数字 1,2,3,4,5 组成的所有没有重复 数字的 5 位数中,大于 23145 且小于 43521 的数共有( ) A.56 个 B.57 个 C.58 个 D . 60 个 【巧解】 (1)查首位:只考虑首位大于 2 小于 4 的数,仅有 1 种情况:即
4 3 ? ? ? ? 型,此特点只需其它数进行全排列即可。有 A4 种,

(2)查前2位:只考虑前“2”位中比3既大又小的数,有 4 种情况:
3 24 ? ? ? , 25 ? ? ? , 41 ? ? ? , 42 ? ? ? 型,而每种情况均有 A3 种满足 3 条件,故共有 4A3 种。

(3)查前3位:只考虑前“3”位中既比1大又小于 5 的数,有 4 种情况:

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2 234 ? ? , 235 ? ? , 431 ? ? , 432 ? ? 型,而每种情况均有 A2 种满足条 2 件,故共有 4A2 种。

(3)查前 4 位:只考虑前“4”位中既比 4 大又小于 2 的数,此种情况只有
4 3 2 23154 和 43512 两种情况满足条件。故共有 A4 ? 4 A3 ? 4 A2 ? 2 ? 58 个,

故选 C 巧练一:用数字 0,1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字,并且不大于 4310 的四 位偶数共有( ) A.110 种 B.109 种 C.108 种 D . 107 种 巧练二: (2007 年,四川卷)用数字 1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字,并且比 20000 大的五位偶数共有( ) (A)48 个 (B)36 个 (C)24 个 (D)18 个

六、挡板模型法
挡板模型法是在解决排列组合应用问题中, 对一些不易理解且复杂的排 列组合问题,当元素相同时,可以通过设计一个挡板模型巧妙解决,否则, 如果分类讨论,往往费时费力,同时也难以解决问题。 【例 1】体育老师把 9 个相同的足球放入编号为 1,2,3 的三个箱中,要求 每个箱子放球的个数不少于其编号,则不同的放球方法有 ( A.8 种 B.10 种 C.12 种 D . 16 种 【巧解】先在 2 号盒子里放 1 个小球,在 3 号盒子里放 2 个小球,余下的 6 个小球排成一排为: OOOOOO ,只需在 6 个小球的 5 个空位之间插入 2 块挡板,如: OO | OO | OO ,每一种插法对应着一种放法,故共有不同的
2 放法为 C5 ? 10 种. 故选 B



【例 2】两个实数集 A ? ?a1 , a2 ,?, a50 ? , B ? ?b1, b2 ,?b25? ,若从 A 到 B

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的 映 射

f

使 得

B

中 每 个 元 素 都 有 原 象 , 且

f ? 1a ? ?
24 A. A50

? ? f ?2 a?

? ?

?f5,则这样的映射共有( 0a
25 C. C50

)个
25 D. A49

24 B. C49

【巧解】不妨设 A和B 两个集合中的数都是从小到大排列,将集合 A 的 50 个数视为 50 个相同的小球排成一排为:OOOOOOO ??OO ,然后在 50 个小球的 49 个空位中插入 24 块木板,每一种插法对应着一种满足条件
24 f ? a1 ? ? f ? a2 ? ? ? ? f ? a50 ? 对应方法,故共有不同映射共有 C 49 种. 故

选 B 巧练一:两个实数集合 A={a1, a2, a3,?, a15}与 B={b1, b2, b3,?, b10},若从 A 到 B 的是映射 f 使 B 中的每一个元素都有原象,且 f(a1)≤f(a2) ≤?≤ f(a10)<f(a11)<?<f(a15), 则这样的映射共有
5 A. C10 个 10 D. 510 ? A15 4 B. C9 个





C



1015



巧练二:10 个完全相同的小球放在标有 1、2、3、4 号的四个不同盒子里, 使每个盒子都不空的放法有( )种 A.24 B.84 C.120 D.96

七、等差中项法
等差中项法是根据题目的题设条件(或隐含)的特征,联想到等差数列 中的等差中项,构造等差中项,从而可使问题得到快速解决,从而使解题过 程变得简捷流畅,令人赏心悦目。 【例 1】 (2008 年,浙江卷)已知 a ? 0, b ? 0, 且a ? b ? 2 ,则( (A) ab ? )

1 2

(B) ab ?

1 2

(C) a ? b ? 2 ( D )
2 2

a2 ? b2 ? 3

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【巧解】根据 a ? b ? 2 特征,可得 a,1, b 成等差数列, 1 为 a 与 b 的等 差中项。可设

a ? 1 ? x , b ? 1 ? x , 其 中 ? 1 ? x ? 1 ; 则 ab ? 1 ? x 2 ,

a 2 ? b 2 ? 2 ? 2x 2 ,
又 0 ? x ? 1 ,故 0 ? ab ? 1 , 2 ? a ? b ? 4 ,由选项知应选(C)
2 2 2

【例 2】 (2008 年,重庆卷)已知函数 y ? 1 ? x ? 最小值为 m,则

x ? 3 的最大值为 M,

m 的值为( M



(A)

1 4

(B)

1 2

(C)

2 2

(D )

3 2
【巧解】由 y ? 1 ? x ? 中项, 令 1? x ?

x ? 3 可得,

y 为 1 ? x 与 x ? 3 的等差 2

y y y ? t , x ? 3 ? ? t ,其中 | t |? , 2 2 2

则 (

y y y2 ? t) 2 ? ( ? t) 2 ? 1 ? x ? x ? 3 ? 4 , 即 t 2 ? 2 ? , 又 2 2 4

| t |?

y ,则 2

0 ? t2 ?

y2 y2 y2 ? , 故 0?2? , 解 之 得 2? y?2 2 , 即 4 4 4

M ? 2 2 ,m ? 2

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m 2 2 ,故选(C) ? ? M 2 2 2
y2 的最小 xz

巧 练 : 2008 年 , 江 苏 卷 ) x, y, z ? R*, x ? 2 y ? 3z ? 0, ( 值 .

八、逆向化法
逆向化法是在解选择题时, 四个选项以及四个选项中只有一个是符 合题目要求的都是解题重要的信息。 逆向化策略是把四个选项作为首先考 虑的信息,解题时,要“盯住选项” ,着重通过对选项的分析,考查,验证, 推断进行否定或肯定,或者根据选项之间的关系进行逻辑分析和筛选,找到 所要选择的,符合题目要求的选项。 【 例 1 】 ( 2008 年 , 湖 北 卷 ) 函 数

f ( x) ?

1 l x

nx 2 ? 3x ? 2 ? ? x 2 ? 3x ? 4 ) 的 (
) B. (?4,0) ? (0,1) D. [?4,0) ? (0,1)

定义域为(

A. (??,?4] ? [2,??) C. [?4,0) ? (0,1]

【巧解】观察四个选项取端点值代入计算即可,取 x ? 1 ,出现函数的真数 为 0,不满足,排含有 1 的答案 C,取 x ? ?4 代入计算解析式有意义,排不 含有 ? 4 的答案 B,取 x ? 2 出现二次根式被开方数为负,不满足,排含有 2 的答案 A,故选 D 评析: 求函数的定义域只需使函数解析式有意义, 凡是考查具体函数的定义 域问题都可用特值法代入验证快速确定选项。 【 例 2 】 (
2

2008







西













若对于任一实数 x, f ( x) 与 f ( x) ? 2mx ? 2(4 ? m) x ? 1, g ( x) ? mx , g (x) 的值至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是( ) A. (0,2) B. (0,8) C. (2,8) D. ? ? ,0) ( 【巧解】观察四个选项中有三个答案不含 2,那么就取 m ? 2 代入验证是否 符合题意即可, 取 m ? 2 ,则有 f ( x) ? 4x ? 4x ? 1 ? (2x ? 1) ,这个二次函数的函数值
2 2

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f ( x) ? 0 对
x?R且 x ?

1 1 恒成立,现只需考虑 g ( x) ? 2 x 当 x ? 时函数值是否为正 2 2

数即可。这显然 为正数。故 m ? 2 符合题意,排除不含 m ? 2 的选项 A、C、D。所以选 B

2x ?1 巧练一: (2007 年,湖北卷)函数 y ? x (x<0)的反函数是( 2 ?1
A. y ? log 2 C. y ? log 2



x ?1 (x<-1) x ?1

B. y ? log 2 D. y ? log 2

x ?1 (x>1) x ?1
x ?1 (x>1) x ?1

x ?1 (x<-1) x ?1

巧练二: (2004 年,重庆卷)不等式 x ? A. (?1,0) ? (1, ??) C. (?1,0) ? (0,1)

2 ? 2 的解集是( ) x ?1 B. (??, ?1) ? (0,1)
D. (??, ?1) ? (1, ??)

九、极限化法
极限化法是在解选择题时,有一些任意选取或者变化的元素,我们对这些 元素的变化趋势进行研究,分析它们的极限情况或者极端位置,并进行估算, 以此来判断选择的结果.这种通过动态变化,或对极端取值来解选择题的方法 是一种极限化法. 【 例 1 】 正 三 棱 锥 A ? BCD 中 , E 在 棱 AB 上 , F 在 棱 CD 上 , 使

AE CF ? ? ? (? ? 0) , EB FD

? 设 ? 为异面直线 EF 与 AC 所成的角, 为异面直线 EF 与 BD 所成的
角,则 ? ? ? 的值是 ( A. )

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

【巧解】当 ? ? 0 时, E ? A ,且 F ? C ,从而 EF ? AC 。因为

AC ? BD ,排除选择支 A, B, C 故选 D(或 ? ? ?? 时的情况,同样可

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排除 A, B, C ) ,所以选 D 【例 2】若 a ? ( ) x , b ? x 2 , c ? log 2 x ,当 x >1 时, a, b, c 的大小关系是
3

2 3

3





A. a ? b ? c D. a ? c ? b

B. c ? a ? b

C



c?b?a

【巧解】当 x ? 0 时, a ? 巧练一:若 0 ? x ?

2 , b ? 1 , c ? 0 ,故 c ? a ? b ,所以选 B 3
( )

?

2 A. 2 x ? 3 sin x
的取值有关

, 则2 x与3 sin x 的大小关系
B. 2 x ? 3 sin x C. 2 x ? 3 sin x

D.与 x

巧练二:对于任意的锐角 ? , ? , 下列不等关系式中正确的是 (



(A) sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? (C)cos(? ? ? ) ? sin ? ? sin ?

(B) sin(? ? ? ) ? cos? ? cos ? (D) cos(? ? ? ) ? cos? ? cos ?

十、整体化法
整体化法是在解选择题时,有时并不需要把题目精解出来,而是从题目的 整体去观察,分析和把握,通过整体反映的性质或者对整体情况的估算,确定 具体问题的结果,例如,对函数问题,有时只需要研究它的定义域,值域,而不一 定关心它的解析示式,对函数图象,有时可以从它的整体变化趋势去观察,而 不一定思考具体的对应关系,或者对 4 个选项进行比较以得出结论,或者从整 体,从全局进行估算,而忽略具体的细节等等,都可以缩短解题过程,这是一种 从整体出发进行解题的方法. 【例 1】已知 ? 是锐角,那么下列各值中, sin ? ? cos ? 可能取到的值是 ( ) A.

3 4

B.

4 3

C.

【巧解】∵ sin ? ? cos ? ?

2 sin(? ?

?
4

5 3

D.

) ,又 ? 是锐角,∴ 0 ? ? ?

?
2

1 2

?
4

?? ?

?
4

?

3? ? 2 ? ? sin(? ? ) ? 1 ,即 1 ? 2 sin(? ? ) ? 2 , ,∴ 4 4 2 4

故选 B

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【例 2】(2002 年,全国卷)据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作 报告》 指出“2001 年国内生产总值达到 95933 亿元,比上一年增长 7.3%.”如果 “十· 五”期间(2001-2005 年)每年的国内生产总值按此年增长率增长,那么,到 “十· 五”末,我国国内生产总值约为( ) (A)115000 亿元 (B)120000 亿元 (C) 127000 亿元 (D)135000 亿元 2 【巧解】 注意到已知条件给出的数据非常精确, 2001 年国内生产总值达到 0 95933 亿元,精确到亿元,而四个选项提供的数据都是近似值, 精确到千亿元, 0 即后三位都是 0,因此,可以从整体上看问题,忽略一些局部的细节. 8 2 把 95933 亿元近似地视为 96000 亿元,又把 0.073 近似地视为 0.005 ,这 0 样一来,就有 5 4 95933 ? ?1 ? 7.3% ? ? 96000 1 ? 4 ? 0.073 ? 6 ? 0.0732 2 ? 96000 ? (1 ? 0.292 ? 6 ? 0.005) ? 126720 ? 127000. 3

2 0 ? 巧练一: 如图所示为三角函数 y ? A sin(?x ? ? ) , | ? |? , A ? 0) 的 0 ( 2 8 图象的一部分,则此函数的周期 T 可能是( ) y 0 A. 4? B. 2? 5 11? 2 2 C. ? D. 3? 8 3

?

?

4

O

x

?2
巧练二: (全国卷)如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是

边长为 3 的正方形,EF∥AB,EF ? 则该多面体的体积为( 9 (A) (B)5 2 15 (C)6 (D) 2 )

3 ,EF 与面 AC 的距离为 2, 2 E F
D C

A

B

十一、参数法

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在解题过程中, 适当引入一个或几个新变量代替原式中的某些量, 使得 原式中仅含有这些新变量,以此作为媒介,在进行分析和综合,然后对新变 量求出结果,从而解决问题的方法叫参数法。 【例 1】2008 年, ( 安徽卷) 设椭圆 C : 且左焦点为 F (? 2,0) 1 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当过点 P(4,1) 的动直线 l 与椭圆 C 相交于两不同点 A, B 时,在线段

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 M ( 2,1) , a 2 b2

??? ??? ? ? ???? ??? ? AB 上取点 Q ,满足 AP ? QB ? AQ ? PB ,证明:点 Q 总在某定直线上。

?c 2 ? 2 ? ?2 1 【巧解】(1)由题意: ? 2 ? 2 ? 1 ?a b ?c 2 ? a 2 ? b 2 ?


,解得 a2 ? 4, b2 ? 2 ,所求椭圆方程

x2 y 2 ? ?1 4 2
(2) 由 AP ? QB ? AQ ? PB 得:

??? ??? ? ?

???? ??? ?

| AP |

?

| AQ |

设点 Q、A、B 的

| PB | | QB | ??? ??? ???? ??? ? ? ? 坐标分别为 ( x, y),( x1, y1 ),( x 2 , y2 ) 。 由题设知 AP , PB , AQ , QB 均不为 ??? ? ???? AP AQ 零,记 ? ? ??? ? ??? ,则 ? ? 0 且 ? ? 1 ,又 A,P,B,Q 四点共线,从 ? ? PB QB
而 AP ? ?? PB, AQ ? ?QB , 于是

??? ?

??? ??? ? ?
4?

??? ?

y?

y1 ? ? y2 1? ?

x1 ? ? x2 , 1? ?

1?

y1 ? ? y2 , 1? ?

x?

x1 ? ? x2 , 1? ?

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从而

x12 ? ? 2x2 2 ? 4 x , ??① 1? ?2

y12 ? ? 2y2 2 ? y , ??② 1? ?2

又点 A、B 在椭圆 C 上,即

x12 ? 2 y12 ? 4,?? ③

2 2 x2 ? 2 y2 ? 4,??④

① ? ② ? 2 并结合③,④得 4 x ? 2 y ? 4 ,即点 Q( x, y ) 总在定直线

2 x ? y ? 2 ? 0 上。
【例 2】 (2004 年,辽宁卷)设椭圆方程为 x ?
2

y2 ? 1 ,过点 M(0,1) 4
1 (OA ? OB ) , 2

的直线 l 交椭圆于点 A、B,O 是坐标原点,点 P 满足 OP ?

点 N 的坐标为 ( , ) ,当 l 绕点 M 旋转时,求动点 P 的轨迹方程; 【巧解】直线 l 过点 M(0,1)设其斜率为 k,则 l 的方程为 y ? kx ? 1. 记 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ), 由题设可得点 A、B 的坐标 ( x1 , y1 ) 、

1 1 2 2

( x2 , y2 ) 是方程组

? y ? kx ? 1 ? ? 2 y2 ?1 ?x ? 4 ?

① 的解. ②
2 2

将①代入②并化简得, (4 ? k ) x ? 2kx ? 3 ? 0 ,所以

2k ? ? x1 ? x 2 ? ? 4 ? k 2 , ? 于是 ? ?y ? y ? 8 . 2 ? 1 4? k2 ?

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OP ? x ? x2 y1 ? y 2 1 ?k 4 (OA ? OB) ? ( 1 , )?( , ). 2 2 2 2 4? k 4? k2

设点 P 的坐标为 ( x, y), 则

?k ? x? , ? ? 4? k2 消去参数 k 得 4 x 2 ? y 2 ? y ? 0 ? ?y ? 4 . ? 4? k2 ?



当 k 不存在时,A、B 中点为坐标原点(0,0) ,也满足方程③, 所以点 P 的轨迹方程为 4 x 2 ? y 2 ? y ? 0. 巧练一: (2008 年,全国 I 卷)直线 则有 A. a ? b ? 1
2 2

x y ? ? 1 通过点 M (cos? , sin ? ) , a b
C .




2 2

B. a ? b ? 1

1 1 ? 2 ?1 2 a b

D.

1 1 ? 2 ?1 2 a b
2

巧练二: 如图,已知直线 l 与抛物线 x ? 4 y 相切于点 P(2,1),且与 x 轴 交于点 A,O 为坐标原点,定点 B 的坐标为(2,0). (I)若动点 M 满足 AB ? BM ? 2 | AM |? 0 ,求点 M 的轨迹 C; (II)若过点 B 的直线 l′(斜率不等于零)与(I)中的轨迹 C 交于不 同的两点 E、F(E 在 B、F 之间) ,试求△OBE 与△OBF 面积之比 的取值范围.

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十二、交轨法
如果所求轨迹是两条动曲线(包括直线)的交点所得,其一般 方法是恰当地引进一个参数,写出两条动曲线的方程,消去参数, 即得所求的轨迹方程,所以交轨法是参数法的一种特殊情况。
2 2 【例 1】已知椭圆 C: x ? y ? 1 (a ? b ? 0)的离心率为 6 ,短轴一个端点 3 a2 b2

到右焦点 F 的距离为 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 经过椭圆的焦点 F 交椭圆 C 交于 A、B 两点,分别过 A、 B 作椭圆的两条切线,A、B 为切点,求两条切线的交点 P 的轨 迹方程。

?c 6 , ? ? 【巧解】 (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 解之得 c ? 2 ? a ? 3, ?
? b ? 1 ,? 所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

(Ⅱ)由(I)知 F ( 2 ,0) ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , P( x0 , y 0 ) ,对椭 圆

x2 ? y2 ? 1 3
求导:

2x x ? 2 yy ? ? 0 ,即 y ? ? ? ,则过 A 点的切线方程 PA 为 3 3y

y ? y1 ? ?

x1 ( x ? x1 ) 整理得 x1 x ? 3 y1 y ? 3 3 y1

① 同理过 B 点的切线

方程 PB 为 x 2 x ? 3 y 2 y ? 3 ②,又 P( x0 , y 0 ) 在两切线 PA 、 PB 上,∴

x1 x0 ? 3 y1 y0 ? 3

x2 x0 ? 3 y 2 y 0 ? 3 ,因此, A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) 两点在均在直线

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x0 x ? 3 y0 y ? 3 上,
又 ∵ F ( 2 ,0) 在 直 线 x0 x ? 3 y 0 y ? 3 上 , ∴ x0 2 ? 3 y0 ? 0 ? 3 , 即

x0 ?

3 2 为交点 P 的轨迹方程 2
2

【例 2】过抛物线 C: y ? x 上两点 M,N 的直线 l 交 y 轴于点 P(0,b). (Ⅰ)若∠MON 是钝角(O 为坐标原点) ,求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)若 b=2,曲线 C 在点 M,N 处的切线的交点为 Q.证明:点 Q 必 在一条定直线上 运动. 【 巧 解 】 ( Ⅰ ) 设 点 M , N 坐 标 分 别 为
2 2 ( x1 , x12 ), ( x2 , x2 )(x1 ? x2 ),则OM ? ( x1 , x12 ),ON ? ( x2 , x2 ). 由题意可设直线 l 方程

为 y=kx+b, ? y ? x 2

?? ? k 2 ? 4b ? 0 ? 由? 消去y得x 2 ? kx ? b ? 0,? ? x1 ? x 2 ? k ? y ? kx ? b ? x ? x ? ?b ? 1 2
OM ? ON | OM | ? | ON | ? 0, 且 cos?MON ? ?1.

? ?MON是钝角,? cos?MON ?

2 由OM ? ON ? x1 x2 ? x12 x2 ? ?b ? b 2 ? 0, 得0 ? b ? 1.

此时O, M , N三点不共势, cos?MON ? ?1不成立. ? b的取值范围是(0,1).? 6分 ?

? x ? x2 ? k , (Ⅱ)当 b=2 时,由(Ⅰ)知 ? 1 ? x1 ? x 2 ? ?b ? ?2,
∵函数 y=x2 的导数 y′=2x, 抛 物 线 在 M ( x1 , x1 ), N ( x2 , x2 ) 两 点 处 切 线 的 斜 率 分 别 为
2 2

k M ? 2x1 , k N ? 2x2 , ∴在点 M,N 处的切线方程分别为

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lM : y ? x12 ? 2 x1 ( x ? x1 ),
2 lN : y ? x2 ? 2 x2 ( x ? x2 ).

? y ? x12 ? 2 x1 ( x ? x1 ), ? 由? ( x1 ? x2 ),解得交点Q的坐标( x, y )满足 2 ? y ? x2 ? 2 x2 ( x ? x2 ) ? x1 ? x2 ? k ? , ?x ? , ?x ? 2 即? 2 ? ? y ? x1 ? x2 , ? y ? ?2, ? ? ? Q点在定直线y ? ?2上运动.

巧练一:已知定点 A(1,0)和定直线 x ? ?1 上的两个动点 E、F,满足

AE ? AF ,动点 P 满足 EP // OA, FO // OP (其中 O 为坐标原点).
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 经过点 M (1,0) 与轨迹 C 交于 A、B 两点,分别过 A、B 作 轨迹 C 的两条切线,A、B 为切点,求两条切线的交点 P 的轨迹 方程。 巧练二:如图,在以点 O 为圆心,|AB|=4 为直径的半圆 ADB 中,OD⊥AB, P 是半圆弧上一点,∠POB=30°. 曲线 C 是满足||MA|-|MB||为定值的动点 M 的轨迹,且曲线 C 过点 P. (Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E、F. 分别过 E、F.作轨迹 C 的两条切线,E、F.为切点, 求两条切线的交点 Q 的轨迹方程。

十三、几何法
利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质,发现动点运动规律,然 后得出题目结论的方法叫做几何法。 【例 1】(2008 年,浙江卷)已知 a 、 b 是平面内两个互相垂直的单位向量, 若向量 c 满足 (a ? c) ? (b ? c) ? 0, 则| c | 的最大值是( )

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(A)1 (B)2 (C) 2 (D)

2 2
【巧解】不妨设以 a 、 b 所在直线为 x 轴, y 轴,且 a ? (1,0) , b ? (0,1) , y

c ? ( x, y) 由已知 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 得 a ? b ? (a ? b) ? c? | c | 2 ? 0 ,
整理得 x 2 ? y 2 ? x ? y ? 0 即 (x ? O

C

|c|
x

1 2 1 1 1 1 ) ? ( y ? ) 2 ? ,所以向量 c 的坐标是以 ( , ) 为圆心, 2 2 2 2 2

2 为半径的一个圆且过原点,故 | c | 的最大值即为圆的直径为 2 ,故本 2
题选(C) 【 例 2 】 2008 年 , 江 苏 卷 ) 若 AB=2 , AC= ( 值 .

2BC, 则S ?ABC 的 最 大

【巧解】建立如图平面直角坐标系,设 C ( x, y) , A(0,0) , B(2,0) ,由

AC ? 2BC
2 2 即 | AC |? 2 | BC | ,∴ x ? y ?

2 ( x ? 2) 2 ? y 2 ,

y

C ( x, y) D(4,0)

化简得 x ? 8x ? y ? 8 ? 0
2 2

A 配方得 ( x ? 4) ? y ? 8 ,所以 C 点轨迹是以 D(4,0) 为圆心,
2 2

B(2,0)

x

, 2 2 为半径的一个圆(除去与 x 轴的两个交点) 所以当 C 点纵坐标绝对值 为 2 2 ,即 | y |? 2 2 时, S ?ABC 有最大值为

2? 2 2 ? 2 2 ,所以答案 2

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为2 2 巧练一:已知 A(m ? 值为 .

1 1 , m ? ) , B(1,0) ,其中 m ? 0 ,则 | AB | 的最小 m m
( x ? 2) 2 ? y 2 ? 6 ,则

2 2 巧练二:已知实数 x 、 y 满足 ( x ? 2) ? y ?

2 x ? y 的最大值等于

.

十四、弦中点轨迹法
有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行 弦的中点轨迹;过定点的弦重点轨迹。 “点差法”解决有关弦中点问题较方 便,要点是巧代斜率。 【例 1】 (2009 年高考海南、宁夏卷)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦 点为 F (1,0) ,直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的中点 为(2,2) ,则直线 l 的方程为 .

2 【 巧 解 】 由 F (1,0) 知 抛 物 线 C 的 方 程 为 y ? 4 x , 设 A( x1 , y1 ) , 2 B( x2 , y 2 ) ,代入抛物线方程则有: y12 ? 4x1 , y 2 ? 4x2 ,两式相减有 2 y12 ? y2 ? 4( x1 ? x2 ) ,



y1 ? y 2 ( y1 ? y 2 ) ? 4 ? k ( y1 ? y 2 ) ? 4 , 又 x1 ? x2

y1 ? y2 ? 4 , ∴

4k ? 4 ,即 k ? 1 。
故 l AB : y ? 2 ? x ? 2 ,即 y ? x ,∴本题应填 y ? x
2 2 【例 2】椭圆 ax ? by ? 1 与直线 y ? 1 ? x 交于 A 、 B 两点,若过原点

与线段 AB 中点的直线的倾斜角为 30 ,则

0

a 的值为 b





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(A)

3 4

(B)

3 3

(C)

3 2

(D)

3
【 巧 解 】 设 AB 的 中 点 为 M ( x0 , y 0 ) , A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) , 则

x1 ? x2 ? 2x0
?ax 2 ? by 12 ? 1 ,两式相减,得 y1 ? y 2 ? 2y 0 ,又 ? 12 2 ?ax 2 ? by 2 ? 1

a( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? b( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0 ,
即 2ax0 ( x1 ? x2 ) ? 2by0 ( y1 ? y 2 ) ? 0 ,∴

ax y1 ? y 2 ? ? 0 ? ?1 x1 ? x 2 by0



ax0 y a 3 3 ,∴ ? ,故选(B) ? 1 ,又 0 ? tan300 ? b 3 by0 x0 3

2 2 巧练一:若椭圆 mx ? ny ? 1 与直线 x ? y ? 1 ? 0 交于 A 、 B 两点,过

原点与线段 AB 中点的直线的斜率为

n 2 ,则 的值为 m 2

.

x2 y2 ? ? 1 的弦被点 P(4,2) 平分,则此弦所在直线的 巧练二:若椭圆 36 9
斜率是为 .

十五、比较法
现实世界的同类量之间,有相等关系,也有不等关系。两个可以比较 大小的量 a 和 b ,若 a ? b ? 0 , a ? b ? 0 , a ? b ? 0 ,则它们分别表示 a ? b , a ? b , a ? b ,我们把根据两个量的差的正、负或零判断两个量不 等或相等的方法叫做差式比较法; 当两个量均为正值时, 有时我们又可以根

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a a a ? 1 , ? 1 或 ? 1 来判断 a ? b , a ? b , a ? b ,这个方法叫做商式 b b b

比较法。这两种方法在数列与函数、不等式交汇问题中应用广泛。 比较法之一(作差法 0 步骤:作差——变形——定号——结论 (1)作差:对要比较大小的两个数(或式)作差。 (2)变形:常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化成“积” 。 (3)定号:就是确定是大于 0 ,还是等于 0 ,还是小于 0 ,最后下结论。 概括为“三步,一结论” ,这里的“定号”是目的, “变形”是关键。 注意:若两个正数作差比较有困难,可以把式子灵活变形,通过作商或将 它们的平方差来比较大小。 【 例 1 】 已 知 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 1 , 且 点 P(an , an?1 )(n ? N * ) 在 直 线

x ? y ?1 ? 0 上
(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)若函数 f (n) ?

1 1 1 ? ? ... ? (n ? N , n ? 2) ,求函 n ? a1 n ? a 2 n ? an

数 f (n) 的最小值. 【巧解】 (1) ? 点 P(an , an?1 ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,即 an?1 ? an ? 1 且

a1 ? 1

? 数列 {an } 是以 1 为首项, 1 为公差的等差数列
? an ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n

? an ? n
(2)? f (n) ?

1 1 1 ? ? ?? , n ?1 n ? 2 2n 1 1 1 1 1 f (n ? 1) ? ? ? ?? ? ? n?2 n?3 2n 2n ? 1 2n ? 2

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? f (n ? 1) ? f (n) ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?0 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2n ? 2 2n ? 2 n ? 1 7 ? f (n) 是单调递增的,故 f (n) 的最小值是 f (2) ? 12
【例 2】 (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? ?3x 2 ? 6x ? 2.S n 是数列 {an } 的前 n 项 和,点(n,Sn) (n∈N*) ,在曲线 y ? f ( x) ? 2 上,求 an. (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 bn ? ( )

1 2

n ?1

, cn ?

a n ? bn ,且 Tn 是数列{cn} 6

的前 n 项和.试问 Tn 是否存在最大值?若存在, 请求出 Tn 的最大值, 若不存 在,请说明理由. 【巧解】 (Ⅰ)点(n,Sn)在曲线 y ? f ( x) ? 2 上,所以 sn ? ?3n2 ? 6n. 当 n=1 时,a1= S1=3,当 n≥2 时,an= Sn- Sn-1=9-6n,

? an ? 9 ? 6n.
1 9 ? 6n 1 n ?1 1 anbn ? ( ) ? (3 ? 2n)( ) n , 6 6 2 2 1 1 2 1 n ?Tn ? c1 ? c1 ? ? ? cn ? ? ( ) ? ? ? (3 ? 2n)( ) . 2 2 2 1 n 利用错位相减法,? Tn ? (2n ? 1)( ) ? 1. 2 1 1 ? Tn ? 1 ? (2n ? 1)( ) n ? 0, Tn ?1 ? 1 ? (2n ? 3)( ) n ?1 ? 0, 2 2 1 (2n ? 1)( ) n Tn ? 1 2 ? 1, ? ? 1 n ?1 Tn ?1 ? 1 (2n ? 3)( ) 2
(Ⅱ)? bn ? ( )

1 2

n ?1

, cn ?

? Tn ?1 ? 1 ? Tn ? 1, 1 ? Tn ?1 ? Tn ? ? ? T1 ? . 2
存在最大值 T1 ?

1 . 2

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巧练一: (2005 年,全国卷)若 a ? ln 2 , b ? ln 3 , c ? ln 5 ,则 2 3 5 A.a<b<c D.b<a<c B.c<b<a C . c<a<b ( )

巧练二:已知函数 f ( x) ? a ? 2 x ? b 的图象过点 A(1, ), B ( 2, ). (Ⅰ)求函数 y ? f (x) 的反函数 y ? f (Ⅱ)记 an ? 2 f 使得 (1 ?
?1

3 2

5 2

?1

( x) 的解析式;

(n)

(n ? N *) ,是否存在正数 k,

1 1 1 )(1 ? ) ?(1 ? ) ? k 2n ? 1对n ? N * 均成立.若存 a1 a2 an

在,求出 k 的最 大值;若不存在,请说明理由.

十六、基本不等式法
借助基本不等式证明不等式或求某些函数最值的方法叫基本不 等式。常用的基本不等式有下面几种形式:①若 a 、 b ? R ,则

a 2 ? b 2 ? 2ab , (当且仅当 a ? b 时取等号) ,反之 ab ?

a2 ? b2 也 2

成立,②若 a ? 0 、 b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab , (当且仅当 a ? b 时取 等号) ,反之 ab ? (

a?b 2 ) 也成立。③若 a 、 b 、 c 都是正数,则 2

a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc , 当 且 仅 当 a ? b ? c 时 取 等 号 ) 反 之 ( ,

abc ?

a3 ? b3 ? c3 也成立。④若 a 、 b 、 c 都是正数,则 2

( , a ? b ? c ? 33 a b c, 当 且 仅 当 a ? b ? c 时 取 等 号 ) 反 之

abc ? (

a?b?c 3 ) 也 成 立 。 对 于 公 式 a 2 ? b 2 ? 2ab 及 公 式 2

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a ? b ? 2 ab 的理解,应注意以下几点:
①两个公式成立的条件是不同的,前者只要求 a 、 b 是实数,而 后者强调 a 、 b 必须是正数。②要对两个公式的等号及“当且仅当 a ? b 时取等号”的含义要有透彻的理解并会在函数、三角函数、解 析几何等知识中灵活应用。 解题功能及技巧是:①二、三元不等式具有将“和式”转化为“积 式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能。②在创设应用不等式 的使用条件时,合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧。③“和定 积最大,积定和最小” ,即 n 个 (n ? 2,3) 正数的和为定值,则可求积 的最大值,积为定值,则可求和的最小值。应用此结论求某些函数最 值要注意三个条件:就是“一正——各项都是正数;二定——积或和 是定值;三等——等号能否取到” ,求最值时,若忽略了上述三个条 件,就会出现错误,导致解题失败。必要时要做适当的变形或换元, 以满足上述条件。 【例 1】 (2008 年,重庆卷)函数 f(x)= 域是( )

sin x (0≤x≤2 ? )的值 5 ? 4 cos x
1 1 ] 3 3 2 2 (D)[- , ] 3 3
(B)[- ,

1 1 , ] 4 4 1 1 (C)[- , ] 2 2
(A)[-

sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? 【巧解】∵ f ( x) ? ,∴ f ( x) ? 5 ? 4 cos x 5 ? 4 cos x 5 ? 4 cos x sin x
2

令 t ? 5 ? 4 cos x ,∵ 0 ? x ? 2? , ? 1 ? cos x ? 1 ,∴ t ? 0 ∴

cos x ?
2

t ?5 4





? cos x ? 1 ? 5 ? 4 cos x
??

?(

5?t 2 ) ?1 1 9 4 ? ? (t ? ? 10) t 16 t

9 1 9 1 (2 t ? ? 10) ? ,当且仅当 t ? ,即 t ? 3 时取等号, t 16 t 4

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x 此 时 cos ? ? 1 2? 4? 1 2 ,即 x? 或 , ∴ f ( x) ? , 因 而 2 3 3 4 1 1 1 1 ? ? f ( x) ? ,故 f (x) 的值域为[- , ] 2 2 2 2

【例 2】 (2008 年,辽宁卷)设 x ? (0,

?
2

), 则函数 y ?

2 sin 2 x ? 1 的最小值 sin 2 x

为 . 【巧解】由二倍角公式及同角三角函数的基本关系得:

y?
=

2 sin 2 x ? 1 2 sin 2 x ? 1 3 sin 2 x ? cos2 x 3 tan2 x ? 1 ? ? ? sin 2 x 2 sin x cos x 2 sin x cos x 2 tan x

3 1 tan x ? , 2 2 tan x

∵ x ? (0, 当且仅当

?
2

), ∴ tan x ? 0 ,利用均值定理, y ? 2

3 1 tan x ? ? 3, 2 2 tan x

tan 2 x ?

1 时取“=” ,∴ ymin ? 3 ,所以应填 3 . 3

巧练一:函数 y ?

x2 ? x ?1 ( x ? 0) 的最小值是 x 2 ? 2x ? 1
2



巧练二:求函数 y ? x (1 ? 5 x)(0 ? x ? ) 的最大值。

1 5

十七、综合法
利用某些已知证明过的不等式和不等式的性质,推导出所要证明的不 等式,这个证明方法叫综合法。 【 例 1 】 已 知 a, b 是 正 数 , 且

a b ? ? 1 , x, y ? (0, ??) , 求 证 : x y

x ? y ? ( a ? b )2
【 巧 证 】 左

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a b bx ay ? x ? y ? ( x ? y) ? ( ? ) ? a ? b ? ? ? a ? b ? 2 ab ? ( a ? b )2 x y y x

ay bx x2 a 当且仅当 , 即 2 ? 时, “=” 故 x ? y ? ( a ? b )2 。 取 号, ? ? 右, x y y b
【例 2】已知 a, b, c 是正数,且 a ? b ? c ? 1 ,求证: 【 巧 证

1 1 1 ? ? ?9 a b c


1 1 1 a?b?c a?b?c a?b?c b a c a c b ? ? ? ? ? ? 3? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) a b c a b c a b a c b c
? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 9 ,当且仅当 a ? b ? c ?
巧练一:已知函数 f ( x) ?
n n

1 时取“=”号。 3

1 2 x ? ln x .设 g ( x) ? f ?( x) , 2
n *

求证: [ g ( x)] ? g ( x ) ? 2 ? 2 (n ? N ) . 巧练二:已知 a, b, c, d 都是实数,且 a ? b ? 1 , c ? d ? 1 ,求证:
2 2 2 2

| ac ? bd |? 1

十八、分析法
证明不等式时, 有时可以从求证的不等式出发, 分析使这个不等式成立 的充分条件, 把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题, 如果 能够肯定这些充分条件都具备, 那么就可以判定原不等式成立, 这种方法通 常叫分析法。 注意:①分析法是“执果索因” ,步步寻求不等式成立的充分条件,可 以简单写成

B ? B1 ? B2 ? ? Bn ? A ,②分析法与综合法是对立统一的两种
方法。综合法是“由因导果” ;③分析法论证“若 A 则 B ”这个命题的证明 模式(步骤)是:

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欲证明命题 B 成立,只须证明命题 B1 成立, ? ,从而有 ? ,只须证明命 题 B2 成立,从而又有 ? ,只须证明命题 A 成立,而已知 A 成立,故 B 必 成立。 ④用分析法证明问题时, 一定要恰当用好 “要证” , “只须证” , “即证” , “也即证”等词语。 【例 1】求证 3 ? 7 ? 2 ? 6 【巧证】∵ 3 ?

7 ? 0 , 2 ? 6 ? 0 ,要证 3 ? 7 ? 2 ? 6 ,

只须证 ( 3 ? 7 ) 2 ? (2 ? 6 ) 2 ,即证 10 ? 2 21 ? 10 ? 2 24 也即证

21 ? 24 , ∵ 21 ? 24 , 21 ? 24 显 然 成 立 , ∴ 原 不 等 式

3 ? 7 ? 2 ? 6 成立。
【 例 2 】 设

a ? 0 , b ? 0 , 且 2c ? a ? b , 证 明

c ? c 2 ? ab ? a ? c ? c 2 ? ab
【巧证】要证 c ? c 2 ? ab ? a ? c ? c 2 ? ab 只须证 ? c 2 ? ab ? a ? c ? c 2 ? ab ,即证 | a ? c |? c 2 ? ab
2 2 2 2 两边平方得: a ? 2ac ? c ? c ? ab ,也即证 a ? ab ? 2ac ,∵ a ? 0

且 2c ? a ? b ∴ a ? ab ? 2ac 显然成立,∴原不等式成立。
2

巧练一:求证 3 ?

7 ?2 5
1 1 25 )( b ? ) ? a b 4

巧练二:已知 a ? 0 , b ? 0 , a ? b ? 1 ,试证明: (a ?

十九、放缩法
欲证 A ? B ,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使得

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。 。 。 。 B ? B1 , B1 ? B2 ,。 Bi ? A 或 A ? A1 , A1 ? A2 ,。 Ai ? B ,在利用传递

性,达到欲证的目的,这种方法叫放缩法。放缩法的实质是非等价转化,放 缩没有一定的准则和程序, 需按题意适当放缩否则是达不到目的, 此方法在 数列与函数、不等式综合问题中证明大小关系是常用方法。 放缩法的方法有: (1)添加或舍去一些项,如:

a 2 ? 1 ?| a | ;

n(n ? 1) ? n
(2)将分子或分母放大(或缩小) (3)利用基本不等式,如: n( n ? 1) ? (4)利用常用结论:① k ? 1 ?

n ? (n ? 1) 2

k?

1 k ?1 ? k

?

1 2 k





1 1 1 1 1 1 1 1 (程度大) ? ? ? ; 2 ? ? ? 2 k (k ? 1) k ? 1 k k k (k ? 1) k k ? 1 k 1 4 4 4 1 1 ? 2 ? 2 ? ? 2( ? )(程 2 2k ? 1 2k ? 1 k 4k 4k ? 1 (2k ? 1)(2k ? 1)

③ 度小) ④

2k 2k 2 k ?1 1 1 ? k ? k ? k ?1 ? k k 2 k k ?1 (2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 2) (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1
【例 1】已知数列 {an } , a1 ? 2, an an?1 ? an?1 ? 2an (n ? N*). 中 (1)求 {an } 的通项公式; ( 2 ) 设

bn ? a n (a n ? 1)( n ? N * S n 是数列{bn }的前 n项和, 证明 : )
【巧解】由 a n a n ?1 ? a n ?1 ? 2a n , 得1 ?

3 ? S n, ? 3. 4

1 2 ? a n a n ?1

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1 a n?1

?1 ?

1 1 ( ? 1). 2 an

2n 1 1 1 n ?1 1 . ? ? 1 ? ? ? ( ) ? ? n , ? an ? n an 2 2 2 ?1 2
(2)当 n=1 时, S1 ? a1 (a1 ? 1) ? 2,

?

3 ? S1 ? 3, 4

? n ? 2时, bn ? an (an ? 1) ?

2n 2n 2n ( n ? 1) ? n 2n ? 1 2 ? 1 (2 ? 1) 2

2n 2 n?1 1 1 ? n ? n ? n?1 ? n , n n ?1 (2 ? 1)(2 ? 2) (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1
? Sn ? 2 ? ( 1 1 1 1 1 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ? ? ? ( n ?1 ? n ) 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

? 3?

1 ? 3. 2 ?1
n

又? n ? N *时, bn ?

2n (2 n ? 1) ? 1 1 1 ? ? n ? n n 2 n 2 (2 ? 1) (2 ? 1) 2 ? 1 (2 ? 1) 2

1 1 1 1 [(1 ? ( ) n ] [1 ? ( ) n ] 1 1 2 ?4 4 ? n ? ( n )2 ? Sn ? 2 1 1 2 2 1? 1? 2 4 1 n 1 1 n ? 1 ? ( ) ? [1 ? ( ) ] 2 3 4 4 1 n 1 1 n 4 1 1 1 3 ? ? ( ) ? ?( ) ? ? ? ? ? . 3 2 3 4 3 2 3 4 4 3 ?当n ? N * 时, 都有 ? S n ? 3. 4
【 例 2 】 已 知 数 列

?an ?

的 各 项 均 为 正 数 ,

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Sn为其前n项和, 对于任意n ? N * , 满足关系

S n ? 2an ? 2
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn,且 bn ? 意正整数 n,总有 Tn ? 2; 【巧解】 (Ⅰ)解:? S n ? 2an ? 2(n ? N * ), ①

1 ,求证:对任 (log2 a n ) 2

? S n?1 ? 2an?1 ? 2(n ? 2, n ? N * )
①—②,得 an ? 2an ? 2an?1 .



(n ? 2, n ? N * )

? an ? 0, ?

an ? 2. an?1

(n ? 2, n ? N * )

即数列 ?an ? 是等比数列. ? a1 ? S1 ,

? a1 ? 2a1 ? 2,即a1 ? 2. ? an ? 2 n.(n ? N * )
(Ⅱ)证明:∵对任意正整数 n,总有 bn ?

1 1 ? 2. 2 (log2 a n ) n

? Tn ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? 1? ? ??? 2 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n 1 2 n

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 2 ? ? 2. 2 2 3 n ?1 n n 巧练一:已知数列{ an }的通项为 an ,前 n 项和为 S n ,且 an 是 S n 与 2 的等 ? 1?1?
差中项;数 列{ bn }中, b1 ? 1, 点 P( bn , bn ?1 )在直线 x ? y ? 2 ? 0 上,

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(Ⅰ)求数列{ an }、{ bn }的通项公式 an , bn ; (Ⅱ)设{ bn }的前 n 项和为 Bn ,试比较

1 1 1 与 2 的大小; ? ??? B1 B2 Bn

巧练二:已知数列 {an }和 bn },{an } { 的前n项和为S n , a2 ? 0 ,且对任意

n ? N ? ,都有 2S n ? n(an ? 1),点列Pn (an , bn )都在直线y ? 2x ? 2 上.
(1)求数列{ an }的通项公式; (2)求证:

1 | P P2 | 1
2

?

1 | P P3 | 1
2

???

1 | P Pn | 1
2

?

2 (n ? 2, n ? N ? ) 5

二十、反证法
从否定命题的结论入手, 并把对命题结论的否定作为推理的已知条件, 进行正确的逻辑推理,使之得到与已知条件、公理、定理、法则或已经证明 为正确的命题等相矛盾, 矛盾的原因是假设不成立, 所以肯定了命题的结论, 从而使命题获得了证明的证明方法叫反证法。基本证明模式是:要证明 M ? N ,先假设 M ? N ,由已知及性质推出矛盾,从而肯定 M ? N ,适 用范围:①否定性命题;②唯一性命题;③含有“至多”“至少”问题。④ 、 根据问题条件和结论,情况复杂难于入手,可考虑试用反证法。 反证法是属于“间接证明法”一类,是从反面的角度思考问题的证明方 法,即:否定结论 ? 推导出矛盾 ? 肯定结论成立,应用反证法证明的主要 三步是:第一步,反设——作出与求证结论相反的假设;第二步——归谬: 将反设作为条件, 并由此通过一系列的正确推理导出矛盾; 第三步——肯定 结论:说明反设不成立,从而肯定原命题成立。 【例 1】若 0 ? a ? 2, 0 ? b ? 2, 0 ? c ? 2, 证明 (2 ? a)b , (2 ? b)c ,

(2 ? c)a 不能同时大于 1

?(2 ? a)b ? 1 (2 ? a) ? b ? ? (2 ? a)b ? 1 ;同理 【巧证】假设 ? ( 2 ? b)c ? 1 ,那么 2 ?( 2 ? c ) a ? 1 ?

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( 2 ? b) ? c ?1 2 (2 ? c) ? a ? 1 ,上述三式相加得 3 ? 3 ,矛盾,故假设不成立,原命题 2
成立 【例 2】求证: y ? sin | x | 不是周期函数 【巧证】假设函数 y ? sin | x | 是周期函数, T 是它的一个周期 (T ? 0) ,

n 即 对 任 意 x ? R 都 有 s i |nx ? T |? s i | x | 成 立 , 令 x ? 0 , 得
sin | T |? sin | 0 |, 即 sin | T |? 0 ,∴ T ? n? (n ? N ? ) ,分两种情况讨论:

i n i (1) n ? 2k (k ? N ? ) , s | x ? 2k? |? s | x | 对任意 x ? R 都成立, 若 则n
取x?? 有

3? , 2 sin | ?

s

3? )n ?1,( ? 2 3? 3? 3? ) ? sin( ? ) ? ? sin ? 1 , T ? 2k? (n ? N ? ) 不是 而 sin( 2k? ? ∴ 2 2 2 2k?i ?

3? 3? 3? ? 2k? |? sin | ? |? sin ? ?1 2 2 2





该函数的周期。 ( 2 ) 若 n ? 2k ? 1(k ? N ? ) , 则 有 si n| x ? (2k ? 1)? |? si n| x | 对 任 意

x ? R 都成立,
取 x?

?
2

, 有 有 sin |

?
2

? (2k ? 1)? |? sin |

?
2

|? sin

?
2

?1 , 即

3? ) ?1, 2 3? 3? ) ? sin( ) ? ?1 ,∴ T ? (2k ? 1)? (n ? N ? ) 不是该函数 而 sin( 2k? ? 2 2 s i 2n? (? k
的周期。 由(1)和(2)说明 T ? n? (n ? N ) 不是该函数的周期。故假设不成立,
?

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从而命题得证。 巧练一:设 f ( x) ? x 2 ? ax ? b ,求证 | f (1) | 、 | f (2) | 、 | f (3) | 之中至少 有一个不小于

1 2
2

巧练二:若下列方程: x ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0 , x 2 ? (a ? 1) x ? a 2 ? 0 ,

x 2 ? 2ax ? 2a ? 0 至少有一个方程有实根。试求实数 a 的取值范围。

二十一、换元法
解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它, 从而使问题得到简化,这叫换元法。换元法又称辅助元素法、变量代换 法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露 出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计 算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理 式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问 题中有广泛的应用。 换元的实质是转化, 关键是构造元和设元, 理论依据是等量代换, 目的是变换研究对象, 将问题移至新对象的知识背景中去研究, 从而使 非标准型问题标准化、 复杂问题简单化, 变得容易处理。 换元的方法有: (1)局部换元,局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个 代数式几次出现, 而用一个字母来代替它从而简化问题, 当然有时候要 通过变形才能发现。例如解不等式 4 ? 2 ? 2 ? 0 ,先变形为设
x 2

t ? 2 x (t ? 0) ,而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
(2)三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利 用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。 如求函数 y ?

x ? 1 ? x 的值域时,易发现 x ?[0,1] 设 x ? sin 2 ? ,

? ? ? [0, ] , 问题变成了熟悉的求三角函数值域。 为什么会想到如此设,
2
其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如:已知

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x 2 ? y 2 ? a 2 ,可设 x ? a cos ? , y ? a sin ? (0 ? ? ? 2? )
已 知

x2 ? y2 ?1







x?rc

?o

s ,

y ? r sin ? (0 ? ? ? 2? ,0 ? r ? 1)

x2 y2 已知 2 ? 2 ? 1 ,可设 x ? a cos ? , y ? b sin ? (0 ? ? ? 2? ) a b x2 y2 已知 2 ? 2 ? 1 ,可设 x ? a sec ? , y ? b tan? a b
(3)均值换元,如遇到 x ? y ? S 形式时,设 x ? 等。 我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注 重新变量范围的选取, 一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围, 不能 缩小也不能扩大。 【例 1】 (2008 年,江西卷)若函数 y ? f (x) 的值域是 [ ,3] ,则函数

S S ?t y ? ?t 等 2 2

1 2

F ( x) ? f ( x) ?
A. [ ,3] D. [3,

1 的值域是( ) f ( x)
B. [ 2,

1 2

10 ] 3

C



5 10 [ , ] 2 3

10 ] 3 1 2 1 t 1 2

【巧解】令 f ( x) ? t , t ? [ ,3] ,问题转化为求函数 y ? t ? 在 t ? [ ,3] 的值域, 于是由函数 y ? t ? 在 [ ,1] 上为减函数, [1,3] 上为增函数, 在 得 y ? [ 2,

1 t

1 2

10 ] ,故本题选 B 3

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【例 2】 2008 年, ( 重庆卷) 函数 f ( x) ? 的值域是() (A)[-

sin x ? 1 3 ? 2 cos x ? 2 sin x

(0 ? ? ? 2? )

2 ,0 ] 2

(C)[- 2,0 ] 【 巧

f ( x) ?

sin x ? 1 3 ? 2 cos x ? 2 sin x

?

2 0 0 (D)[- 3,0 ] 8 0 解 】 8 sin x ? 1 0 2 2 sin x ? cos x ? 2 cos x ? 2 sin x ? 2 7 (B)[-1,0]

?

sin x ? 1 (sin x ? 1) 2 ? (cos x ? 1) 2
1
,令 t ?

,当 sin x ? 1 时,

原式 ? ?

1? (

cos x ? 1 2 ) sin x ? 1

cos x ? 1 ,即 t sin x ? cos x ? t ? 1 , sin x ? 1

∴ t 2 ? 1 sin(x ? ? ) ? t ? 1 ,即 sin(x ? ? ) ?

t ?1 t ?1
2

,其中 tan ? ?| | ,

1 t

0 ?? ?

?
2

又 0 ? ? ? 2? ,∴ | sin(? ? ? ) |? 1 ,即 |

t ?1 t2 ?1

|? 1 ,解之得 t ? 0 ,∴

?1? ?

1 1? t2

? 0 ,当 sin x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,综上知 f (x) 的值域

为 [?1,0] ,故本题选 B 巧练一:函数 f ( x) ? 4 ? 2
x x ?1

? 2 的值域是

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( A. [1,??) D. [4,??) 巧练二:(2005 年,福建卷)设 a, b ? R, a 2 ? 2b 2 ? 6, 则a ? b 的最小值是 ( ) A. ? 2 2 B. ? ) C . B. (2,??)

(3,??)

5 3 3

C.-3

D.?

7 2

第十一章 不等式

难点巧学 一、活用倒数法则 巧作不等变换——不等式的性质和应用
不等式的性质和运算法则有许多,如对称性,传递性,可加性等.但灵活 运用倒数法则对解题,尤其是不等变换有很大的优越性. 1 1 倒数法则:若 ab>0,则 a>b 与 < 等价。 a b 此法则在证明或解不等式中有着十分重要的作用。如: (1998 年高考题 1 改编)解不等式 loga(1- )>1. x 1 1 1 分析: a>1 时, 当 原不等式等价于: >a,即 <1-a ,∵a>1,∴1-a<0, <0, 1x x x 从而 1-a, 1 1 同号,由倒数法则,得 x> ; x 1-a 当 0<a<1 时,原不等式等价于

1 1 1 1 0<1- <a,∴1-a< <1, ∵0<a<1, 1-a>0, >0, 从而 1-a, 同号, ∴ 由倒数法 x x x x 则,得 1<x< 1 ; 1-a

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1 1 综上所述,当 a>1 时,x∈( ,+∞);当 0<a<1 时,x∈(1, ). 1-a 1-a 注:有关不等式性质的试题,常以选择题居多,通常采用特例法,排除法比 较有效。

二、小小等号也有大作为——绝对值不等式的应用
绝对值不等式:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。这里 a,b 既可以表示向 量,也可以表示实数。 当 a,b 表示向量时,不等式等号成立的条件是:向量 a 与 b 共线; 当 a,b 表示实数时,有两种情形: 1)当 ab≥0 时,|a+b|=|a|+|b|, ( |a-b|=||a|-|b||;(2)当 ab≤0 时, |a+b|=||a|-|b||, |a-b|=|a|+|b|.简单地说就是当 a,b 同号 或异号时,不等式就可转化为等式(部分地转化) ,这为解决有关问题提供 了十分有效的解题工具。如: 1 1 若 1< < ,则下列结论中不正确的是( a b )

A 、 logab>logba B 、 | logab+logba|>2 C 、 (logba)2<1 D、 |logab|+|logba|>|logab+logba| 分析:由已知,得 0<b<a<1,∴a,b 同号,故|logab|+|logba|=|logab+logba|, ∴D 错。 [答案] D 注: 绝对值不等式是一个十分重要的不等式, 其本身的应用价值很广泛, 但在高考或其他试题中常设计成在等号成立时的特殊情况下的讨论, 因此利 用等号成立的条件(a,b 同号或异号)是解决这一类问题的一个巧解。

三、 “抓两头 看中间” ,巧解“双或不等式”——不等式的解 法
(1)解不等式(组)的本质就是对不等式(组)作同解变形、等价变 换。 (2)多个不等式组成的不等式组解集的合成——先同向再异向 不等式组的解法最关键的是最后对几个不等式交集的确定。 常用画数轴 的方法来确定,但毕竟要画数轴.能否不画数轴直接就可得出解集呢?下面的 方法就十分有效。可以“先同向再异向”的原则来确定,即先将同向不等式 “合并” (求交集) ,此时“小于小的,大于大的” ;最后余下的两个异向不 等式,要么为空集,要么为两者之间。

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?x<1 ① ?x<3 ② 如解不等式组:?x>-3 ③ , ?x>0 ④ ⑤ ?-1<x<2
先由③④(同>)得 x>0(大于大的);再由①②(同<)得 x<1(小于小的);再将 x>0 与 x<1 分别与⑤作交集,由 x>0 与⑤得 0<x<2;由 x<1 与⑤得-1<x<1.这样 所得的不等式的解集为(0,1). (3)双或不等式组的解集合成
?f1(x)<a或g1(x)>b 形如? 的不等式组称为“双或”型不等式组(实际上包 ?f2(x)<c或g2(x)>d

括多个“或”型不等式组成的不等式组也在此列) ,这是解不等式组中的一 个难点。 解决这类不等式组时常借用数轴来确定, 但学生在求解时总会出现 一些错误。这里介绍一种不通过数轴的直接方法: “抓两头 看中间” !如:
?x<a或x>b ? ,先比较 a,b,c,d 四个数的大小,如 a<b<c<d,则其解集中必含有 x<a ?x<c或x>d

或 x>d(即抓两头) ;再看 x>b 与 x<c 的交集,若有公共部分,则 b<x<c;若 无公共部分,则此时为空集(看中间) ,最后将“抓两头”和“看中间”的 结果作并集即为所求的解集。

四、巧用均值不等式的变形式解证不等式
均值不等式是指:a2+b2≥2ab(a,b∈R) ①;a+b≥2 ab( a,b∈R+) ②. 均值不等式是高考的重点考查内容, 但其基本公式只有两个, 在实际解 题时不是很方便。 若能对均值不等式进行适当变形, 那么在解题时就能达到 事半功倍的效果。下面的一些变形式在解题时就很有用,不妨一试。当然你 也可以根据需要推导一些公式。如: (1) a2≥2ab-b2 ③; 是将含一个变量的式子, 通过缩小变为含两个变量的式子, 体现增元之 功效,当然反过来即是减元; (2) a2 ≥2a-b ④; (a,b>0) b a2 b2 c2 + + ≥a+b+c. (a,b,c>0) b c a

是将分式化为整式,体现分式的整式化作用;试试下面两个问题如何解: 求证: (1)a2+b2+c2≥ab+bc+ac;(2)

(析: (1)由 a2≥2ab-b2 得 b2≥2bc-c2 ,c2≥2ac-a2,三式相加整理即得; a2 (2)∵ ≥2a-b∴同样可得另两式,再将三式相加整理即得) 。 b

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a+b (3)ab≤( )2 ⑤; 2 利用不等关系实现两数和与两数积的互化; (4) a2+b2 a+b ab ⑥;(a,b>0) 2 ? 2 ?

利用不等关系实现两数和、两数的平方和及两数积之间的转化; 注: 涉及两数和、 两数的平方和及两数积的问题是一个十分常见的问题, 利用⑤、⑥两式可以使其中的关系一目了然。从解题分析上看,对解题 有很好的导向作用。 x2 y2 (x+y)2 x y (5)若 a,b∈R+,则 + ≥ ⑦(当且仅当 = 时取等号); a b a+b a b 此式在解题中的主要作用表现在:从左向右看是“通分” (不是真正的 通分)或“合并” ,化多项为一项,项数多了总不是好事;从右向左看,是 “分解”或“拆项” ,实现“一分为二”的变形策略。这在解不等式相关问 题中就很有作为!请看下例: 1 1 2 例:已知-1<a<1,-1<b<1,求证: 2+ 2≥ . 1-a 1-b 1-ab 分析:由上不等式,立即得到 1 1 (1+1)2 4 2 ≥ = 。 2+ 2≥ 1-a 1-b 2-a2-b2 2-2ab 1-ab

x2 y2 z2 (x+y+z)2 ⑦式还可推广到三个或更多字母的情形, + + ≥ 即 (a,b,c>0); a b c a+b+c b12 b22 bn2 (b1+b2+…+bn)2 + +…+ ≥ (a ,a ,…,an>0) a1 a2 an a1+a2+…+an 1 2 (6) ax+by≤ a2+b2 x2+y2.(柯西不等式) 此不等式将和(差)式与平方和式之间实现了沟通,灵活应用此式可以很 方便地解决许多问题.如下例: 例: 使关于 x 的不等式 x-3+ 6-x≥k 有解的实数 k 的取值范围是【 】 A 6- 3 B 3 C 6+ 3 D 6 分析:所求 k 的范围可以转化为求不等式左边的最大值即可,由柯西不等 式得 x-3+ 6-x≤ 2 ( x-3)2+( 6-x)2= 2 3= 6.∴k≤ 6,∴k 的最大值是

6.填 D.

五、不等式中解题方法的类比应用
1、三种基本方法:比较法、分析法、综合法。其中比较法可分为作差 比较法和作商比较法, 不仅在不等式的证明和大小比较中有广泛的应用, 同

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时在其他方面也有很大的作用。 如分析法就是一种重要的思维方法, 在数学 的其他章节中也有广泛的应用。 2、放缩法:是不等式证明中一种十分常用的方法,它所涉及的理论简 单,思维简单,应用灵活,因而在解题时有着十分重要的应用。如果能灵活 应用放缩法,就可以达到以简驭繁的效果。

活题巧解
1 1 例 1 若 1< < ,则下列结论中不正确的是【 】 ... a b A logab>logba B | logab+logba |>2 |logab|+|logba|>|logab+logba| 【巧解】特例法、排除法 C (logba)2<1 D

1 1 由已知,可令 a= ,b= ,则 logab=log23>1,0<logba=log32<1,于是 A、B、 2 3 C 均正确,而 D 两边相等,故选 D。 [答案] D。
?|x-2|<2 2 例 2 不等式组? 的解集为【 】 ?log2(x -1)>1

(A) (0, 3); (B) ( 3,2); (C) ( 3,4); (D) (2,4)。 【巧解】 排除法 令 x=3,符合,舍 A、B;令 x=2,合题,舍 D,选 C。 [答案] C。 例 3 已知 y=f(x)是定义在 R 上的单调函数,实数 x1≠x2,λ ≠-1α x1+λ x2 x2+λ x1 = ,β = ,若|f(x1)-f(x2)|<|f(α )-f(β )|,则【 1+λ 1+λ A.λ <0 B.λ =0 【巧解】 等价转化法 x1+ C. 0<λ <1 D.λ ≥1 】

1 x λ 2 x2+λ x1 显然λ ≠0,β = = , ∴ α 、β 分别是以 x1,x2 为横坐标的 1 1+λ 1+ λ 1 点所确定的线段以λ 和 为定比的两个分点的横坐标.由题意知,分点应在 λ 线段两端的延长线上,所以λ <0,故选 A。

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【答案】A。 例 4 0<a<1,下列不等式一定成立的是【 】. (A)|log(1+a)(1-a) |+| log(1-a)(1+a)|>2 (B)| log(1+a)(1-a)|<| log(1-a)(1+a) | (C)| log(1+a)(1-a)+log(1-a)(1+a)|<| log(1+a)(1-a)|+|log(1-a)(1+a)| (D)| log(1+a)(1-a)-log(1-a)(1+a)|>| log(1+a)(1-a)|-|log(1-a)(1+a)| 【巧解】换元法、综合法 由于四个选项中只涉及两个式子 log(1+a)(1-a) 和 log(1-a)(1+a),为了简化 运算看清问题的本质,不妨设 x= log(1+a)(1-a),y= log(1-a)(1+a),由 0<a<1 知, x<0,y<0 且 x≠y,于是四个选项便为:A |x|+|y|>2 B |x|<|y| C |x+y|< |x|+|y| D |x-y|< |x|-|y| 这样选 A 就是极自然的事了。 [答案] A。 1 ( )x 1a 1b 2 y 例 5 已知实数 a,b 满足等式( ) =( ) ,下列五个关系式: 1 x 2 3 ( ) 3 ①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中不可能成 1 立的关系式有【 】. (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 a b O 【巧解】数形结合法 在同一坐标系内同时画出两个函数图象: 1 1 y1=( )x,y2=( )x,(如图)作直线 y=m(m>0 图中平行于 x 轴的三条虚线),由图象可 2 3 以看到:当 0<m<1 时,0<b<a;当 m=1 时,a=b;当 m>1 时,a<b<0.所以不可能成 立的有两个,选 B。 [答案] B。 例 6 如果数列 n} {a 是各项都大于 0 的等差数列, 且公差 d≠0, 【 】 则 . (A)1+a8<a4+a5 (B)1+a8=a4+a5 (C)1+a8>a4+a5 (D)1a8=a4a5 a a a a 【巧解】特例法、排除法 取 an=n,则 a1=1, a4=4, a5=5, a8=8,∴a1 +a8=a4+a5,故选 B。 [答案] B。 y 2 2 2 2 例 7 条件甲: +y ≤4,条件乙: +y ≤2x,那么甲是乙的 x x 【 】 A、 充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既非充分也非必要条件 o 【巧解】数形结合法 2 2 2 2 画示意图如图。 圆面 x +y ≤2x (包括圆周) 被另一个圆面 x +y ≤4 包含,结论不是一目了然了吗? [答案] B

x

1

2x

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1 1 1 例 8 已知 a,b,c 均为正实数, 则三个数 a+ , b+ , c+ 与 2 的关系是 【 】 b c a A、都不小于 2 B、至少有一个不小于 2 C、都不大于 2 D、至少有一个不大于 2 【巧解】整体化思想 1 1 1 1 1 1 1 1 1 将 a+ , b+ , c+ “化整为零” ,得 a+ +b+ +c+ = a+ +b+ +c+ ≥6,故 b c a b c a a b c 已知的三个数中至少有一个不小于 2。故选 B。 [答案] B 例 9 解不等式 –1< 3x <1. 2 x -4

【巧解】数轴标根法、等价转化法 2 2 原不等式等价于 (3x+x -4)(3x-x +4)<0, 即(x+4)(x-1)(x+1)(x-4)>0, 由数轴标根法,知解集为{x|x<-4 或-1<x<1 或 x>4}。 [答案] {x|x<-4 或-1<x<1 或 x>4} f(x) 注: 可以证明不等式 m< <n 与不等式[f(x)-mg(x)][f(x)-ng(x)]<0 等价。 g(x) 例 10 不等式|x+2|≥|x|的解集是______. 【巧解】 数形结合法 由数轴上点的意义知, 上述不等式的意义是数轴上的点 x 到-2 的距离不 小于到原点的距离。由图形,易知,x≥-1。 [答案] {x|x≥-1} 例 11 已知 c>0,不等式 x+|x-2c|>1 的解集是 R,求 c 的取值范围。 【巧解】等价转化法 要使原不等式的解集为 R,只需不等式中不含 x 即可,故有 x-x+2c>1 1 ∴ c> 。 2 1 [答案] c> 2 注: 这里将|x-2c|中去绝对值的讨论简化为符合题意的一种, 显然简捷、 精彩! 例 12 已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2 (a<b),方程 f(x)=0 的两实根为 m,n (m<n),试确定 a,b,m,n 的大小关系。 【巧解】数形结合法 2 令 g(x)= (x-a)(x-b),则 f(x)=g(x)-2,由 f(x)=0 得 g(x)=2,因此 f(x)=0 的两根 m,n 可看成直线 y=2 与 y=g(x)交点的横坐标,画出 f(x),g(x)的 O ma

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b n x

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图象,由图象容易得到 m<a<b<n. [答案] m<a<b<n. 例 13 若 0<a<b<c<d,且 a2+d2=b2+c2,求证:a+d<b+c. 【巧解】综合法 由 0<a<b<c<d,得 d-a>c-b,∴(d-a)2>(b-c)2,又(a+d)2+(a-d)2=(b+c)2+(b-c)2, 两式相减,得(a+d)2<(b+c)2, ∴ a+d<b+c. [答案] 见证明过程 注:本题的几何意义是:在 RtΔABC 与 RtΔABD 中,其中 AB 为公共的 斜边。若 BC>BD,则 AC<AD. 1 1 1 1 例 14 求征:1+ 2+ 2+?+ 2<2- (n≥2,n∈N*). 2 3 n n 【巧解】逆用公式法、放缩法 1 逆用数列的前 n 项和的方法来求。设想右端 2- 是某数列{an}的前 n 项 n 1 1 1 1 1 1 和, 即令 Sn=2- ,则 n≥2 时, n=Sn-Sn-1=(2- )-(2- )= - = a , 这样问题 n n n-1 n-1 n n(n-1) 1 1 就转化为 2< ,而这显然。 n n(n-1) ∴命题成立。 [答案] 见证明过程 1 1 1 例 15 已知 a>b>c,求证: + + >0. a-b b-c c-a 【巧解】放缩法 ∵ 0<a-b<a-c, ∴ 由 倒数 法则 ( 难 点巧 学 )得 1 1 + > , ∴原式得证。 b-c a-c [答案] 见证明过程 a+b+c a+b 3 例 16 已知 a,b,c 均为正数, 求证: 3( - ab)≥2( 3 2 【巧解】比较法、基本不等式法 ab)。 1 1 1 1 > , 而 >0, ∴ a-b a-c b-c a-b

3 3 3 3 ∵ 左边-右边=2 ab+c-3 ab= ab+ ab+c-3 ab≥3 ab-3 ab=0,∴ 原式成立。 [答案] 见证明过程

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1 1 2 例 17 已知-1<a<1, -1<b<1,求证: 2+ 2≥ . 1-a 1-b 1-ab 【巧解】构造法、综合法 a1 由无穷等比数列(|q|<1)所有项和公式 S= ,得 1-q 1 =1+a2+a4+a6+…; 1-a2 ∴ 2 = . 1-ab [答案] 见证明过程 9 例 18 已知 a+b=1(a,b∈R),求证:(a+1)2+(b+1)2≥ 。 2 【巧解】数形结合法。 显然 Q(a,b)是直线 L:x+y=1 上的点,(a+1)2+(b+1)2 表示点 2 Q 与 P(-1,1)的距离的平方。 如图, PT⊥直线 L 于 T, 设 所以|PQ| |-1-1-1| 2 9 9 2 2 2 ≥|PT| ,又|PT| =( ) = ,∴|PQ| ≥ 2 2 1+1 ∴原式成立。 [答案] 见证明过程 π 例 19 若 0≤θ ≤ ,求证:cos(sinθ )>sin(cosθ ). 2 【巧解】单调性法 、放缩法 π π π ∵cosθ +sinθ = 3sin(θ + )≤ 2< ,∴cosθ < -sinθ , 4 2 2 π π π π 又∵0≤θ ≤ ,∴cosθ ∈[0,1], -sinθ ∈[ -1, ], 2 2 2 2 π ∴ sin(cosθ )<sin( - sinθ )= cos(sinθ ).(单调性) 2 [答案] 见证明过程 x 例 20 已知 f(x)= ,若 a>b>0,c=2 x+1 【巧解】基本不等式法、放缩法 可以证明 f(x)在(0,+∞)上是增函数。 1 ,求证:f(a)+f(c)>1. b(a-b) o P(-1,-1) y T Q x 1 =1+b2+b4+b6+…, 1-b2

1 1 2 2 3 3 + =2+( a2+b2)+( a4+b4)+( a6+b6)+…≥2+2ab+2a b +2a b +? 1-a2 1-b2

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∵ c=2 1 ≥2 b(a-b) 1 =2 a-b+b 2 ( ) 2 4 4 4 2= >0,∴ c≥ , a a a

4 a 4 4 a a 4 a 4 ∴f(c)≥f( ),而 f(a)+f(c)≥f(a)+f( )= + = + > + =1. a a a+1 4 a+1 a+4 a+4 a+4 +1 a [答案] 见证明过程 例 21 若关于 x 的不等式 x2+2ax-2b+1≤0 与不等式-x2+(a-3)x+b2-1≥0 有相同的非空解集,求 a,b 的值。 【巧解】等价转化法,数形结合法 将 y= x2+2ax-2b+1 与 y=-x2+(a-3)x+b2-1 两式相加, 2y=(3a-3)x+b2-2b, 得 此即为直线 MN 的方程 (其中 M、 分别为两函数图象与 x 轴的两个交点) N ; 另一方面,由题意知,MN 即 x 轴,其方程为 y=0,比较两式的系数得, 3a-3=0,b2-2b=0,从而易得 a=1,b=0 或 2, 特别地当 a=1,b=0 时,两不等式的解 集为{-1},也符合题意。 [答案] a=1,b=0 或 2。 例 22 设定义在[-2,2]上的偶函数在区间[0,2]上单调递减, f(1-m)<f(m), 若 求实数 m 的取值范围。 【巧解】等价转化法 解 : ∵ f(x) 是 偶 函 数 , ∴ f(-x)=f(x)=f(|x|), ∴ f(1-m)<f(m) 等 价 于 f(|1-m|)<f(|m|) 又当 x∈[0,2]时,f(x)单调递减,∴ |1-m|>|m|且-2≤1-m≤2 且-2≤m≤ 2 1 解得 -1≤m< 。 2 1 [答案] -1≤m< . 2 注:本题应用了偶函数的一个简单的性质,从而避免了一场“大规模” 的讨论,值得关注。 1 x3+2x+3 例 23 解不等式: < 3 <3. 2 2x +x+1 【巧解】构造法,定比分点法 1 x3+2x+3 把 、 3 、3 看成是数轴上的三点 A、P、B,由定比分点公式知 P 2 2x +x+1

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x3+2x+3 1 2x3+x+1 2 5 分所成的比 t>0,即 3 >0,化简得 x(3x+5)>0,∴ x∈(-∞, )∪(0,+ x +2x+3 3 3- 3 2x +x+1 ∞)。 5 [答案] x∈(-∞, )∪(0,+∞)。 3 例 24 已知 x,y,z 均是正数,且 x+y+z=1,求证: 1-3x + 1-3y + 1-3z ≤ 6。 【巧解】配凑法、升幂法 不等式两边配上 2 吗?) 3 2 2 1-3x + 3 2 2 1-3y + 3 2 2 2 2 2 2 +1-3x +1-3y +1-3z 3 3 3 2 2 1-3z ≤ + + 3 2 2 2
2 2 2

2 ,再运用均值不等式升幂。 (你知道为什么要配 3

1 5-3× 2 2 2 3 5-3(x +y +z ) = ≤ =2, ∴原式成立。 2 2 [答案] 见证明过程 例 25 设 a,b,c 为Δ ABC 的三条边,求证:a2+b2+c2<2(ab+bc+ca). 【巧解】综合法 ∵ a+b>c,b+c>a,c+a>b, ∴ 三 式 两 边 分 别 乘 以 c,a,b 得 2 2 2 ac+bc>c ,ab+ac>a ,bc+ab>b ,三式相加并整理得, a2+b2+c2<2(ab+bc+ca). [答案] 见证明过程 例 26 解不等式 8 10 3 - x -5x>0. 3+ (x+1) x+1

【巧解】构造法,综合法 2 3 2 3 3 原不等式等价于( ) +5( )>x +5x,构造函数 f(x)= x +5x,则原不等 x+1 x+1 2 2 式即为 f( )>f(x), f(x)在 R 上是增函数, 又 ∴ >x,解此不等式得 x<-2 x+1 x+1 或-1<x<1。 [答案] {x| x<-2 或-1<x<1}. 例 27 已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),x∈[-1,1],求证:|f(x)|的最大值 M

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1 ≥ . 2 【巧解】反证法 1 1 1 1 1 1 假设 M< ,则|f(x)|< 恒成立,∴- <f(x)< ,即- <x2+ax+b< , 2 2 2 2 2 2 令 x=0,1,-1,分别代入上式,得 1 1 1 1 - <b< ①,- <1-a+b< ②, 2 2 2 2 1 1 - <1+a+b< ③, 2 2

3 1 由②+③得- <b<- ,这与①式矛盾,故假设不成立,∴原命题成立。 2 2 [答案] 见证明过程 例 28 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c,且方程 f(x)=0 的两根 x1、2 都在(0,1) x a2 内,求证:f(0)f(1)≤ . 16 【巧解】待定系数法、基本不等式法 因方程有两个实根为 x1,x2,故可设 f(x)=a(x-x1)(x-x2),于是 1 1 a2 f(0)f(1)=ax1x2·a(1-x1)(1-x2)=a2x1(1-x1)x2(1-x2)≤a2· · ≤ 。 4 4 16 [答案] 见证明过程 例 29 若 a1、 2、 a11 成等差数列, a12+a112≤100, S=a1+a2+…+a11 a ?、 且 求 的最大值和最小值。 【巧解】基本不等式法、综合法 (a1+a11)2=a12+2a1a11+a112≤2(a12+a112)≤200,∴|a1+a11|≤10 2, 11 又 a1、a2、?、a11 成等差数列,∴S=a1+a2+?+a11= (a1+a11), 2 ∴ Smax=55 2,Smin=-55 2. [答案] Smax=55 2,Smin=-55 2. x +y + (1-x) +y + 1 2 2 + (1-x) +(1-y) ≥2 2 等号当且仅当 x=y= 时成立。 2 例 30 若 0 ≤ x,y ≤ 1 , 求 证 :
2 2 2 2

x +(1-y)

2

2

G A y yy 【巧解】构造法 =( y E P 如 图 , 设 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 1 , BH=x,AE=y, 则 =( 1 2 2 2 2 =( HC=1-x,BE=1-y,于是 AP= x +y ,BP= x +(1-y) , 1y y 2 ) 1-y) 2 2 2 2 =( DP= (1-x) +y , PC= (1-x) +(1-y) ,由 AP+PC≥AC, BP+DP≥BD, 21 =( x ) x 21 y=( ) 1 而 AC=BD= 2。看,此时结论是不是显然的了? 12 B) x )H 1-x x 2 2 [答案] 见证明过程 x y y 1 2 x 例 31 设 m 是方程 ax +bx+c=0 的实根,且 a>b>c>0,求证:|m|<1. x y=( 2 =( =( x 书利华教育网 www.shulihua.net 精心打造一流新课 ) 1 1 ) ) 2 2 标资料
x x

D y =( F y 1 ) 2 =( 1 C ) 2 yx =( 1 ) 2
x x

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【巧解】综合法 b c 设方程的另一根为 n,则由韦达定理得 m+n=- <0,mn= >0,∴ m,n 同为 a a 负数, b ∴ 1> >|m+n|=|m|+|n|,∴ |m|<1,|n|<1.∴结论成立。 a [答案] 见证明过程 2 例 32 已知二次函数 f(x)=ax +bx+1(a,b∈R,a>0),设方程 f(x)=x 的两 实根为 x1 和 x2, 如果 x1<2<x2<4,且函数 f(x)的对称轴为 x=x0,求证: b x0>-1. 【巧解】 数形结合法 设
?g(2)<0 g(x)=f(x)-x=ax +(b-1)x+1, 由 题 意 得 ? , 即 ?g(4)>0
2

11 ( , ) 84 a

?4a+2b-1<0 b b ? ,目标是证明- >-1,即 <2.如图作出约束条件下的平 16a+4b-3>0 2a a ?

b 面区域(不含边界) ,而 表示区域内的点(a,b)与坐标原点连线的 a b 斜率,易见 <2,故命题成立。 a [答案] 见证明过程 1 1 例 33 已知 ≤ak≤1(k∈N+),求证:1a2?an+(1-a1)(1-a2)?(1-an)≥ n-1. a 2 2 【巧解】增量法、换元法 1 1 1 1 1 1 1 设令 ak= +bk(0≤bk≤ ),则原式左边=( +b1)( +b2)?( +bn)+( -b1)( 2 2 2 2 2 2 2 1 1 n 1 n 1 n-1 1 n-1 -b2)?( -bn)=[( ) +M]+[( ) +N]=( ) +M+N≥( ) =右边,∴原式成立。 2 2 2 2 2 [答案] 见证明过程 (注:多项式 M 和 N 正负抵消部分项后,所余部分和必为非负数。 ) x2 y2 例 34 记椭圆 2 + 2 = 1(a>b>0) ,A、B 是椭圆上的两点,线段 AB a b 的垂直平分线与 x 轴相交于 P(x0,0),证明:【巧解】数形结合法、等价转化法 x2 记 Q(x,y)是椭圆上的任一点,则 |PQ|2=(x-x0)2+y2=(x-x0)2+b2(1- 2 ),x∈ a a2-b2 a2-b2 <x0< . a a

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[-a,a], 得 二 次 函 数 , f(x)= a2-b2 a2 a2 (x- 2 2 x0)2+b2- 2 2 x02 且 由 |PA|=|PB|, 知 a a -b a -b

a2 f(xA)=f(xB),即 f(x)在[-a,a]上不单调,由二次函数最小值的唯一性知 –a< 2 2 a -b x0<a,变形即得所求。 [答案] 见证明过程 2 例 35 已知 a,b,c∈R,f(x)=ax +bx+c.若 a+c=0,f(x)在[-1,1]上的最大 5 b 值是 2,最小值是- 。证明:a≠0 且| |<2. 2 a 【巧解】反证法 b 假设 a=0 或| |≥2。 a (1)若 a=0,则由 a+c=0,得 c=0,∴f(x)=bx.由题设知 b≠0,∴f(x)在 5 [-1,1]是单调函数,从而 f(x)max=|b|;f(x)min=-|b|,于是|b|=2,-|b|=- , 2 由此得矛盾; b -b ( 2 ) 若 | | ≥ 2, 则 | | ≥ 1 且 a ≠ 0 , 因 此 区 间 [-1,1] 在 抛 物 线 a 2a -b 2 f(x)=ax +bx-a 的对称轴 x= 的左侧或右侧, ∴函数 f(x)在[-1,1]上是单调 2a 函数,从而 f(x)max=|b|;f(x)=-|b|,由(1)知这是不可能的。 综合(1) (2)知,命题成立。 [答案] 见证明过程 x y x y 例 36 是否存在常数 C, 使得不等式 + ≤C≤ + , 对任意 2x+y x+2y x+2y 2x+y 正数 x,y 恒成立?试证明你的结论。 【巧解】分析法 2 2 2 令 x=y=1,得 ≤C≤ ,所以 C= 。下面给出证明: 3 3 3 x y 2 x y 2 (1) 先证明: + ≤ ,因为 x>0,y>0,要证: + ≤ , 2x+y x+2y 3 2x+y x+2y 3 只要证 2 y 3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2x+y)(x+2y),即证:x +y ≥2xy,这显然成立, ∴ x y 2 + ≤ ; 2x+y x+2y 3

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(2)再证: 2(x+2y)(2x+y), x y 2 2 2 即证:x +y ≥2xy,这显然成立,∴ + ≥ 。 x+2y 2x+y 3 2 x y 综合(1)(2)得,存在常数 C= ,使对于任何正数 x,y 都有 、 + 3 2x+y x+2y 2 x y ≤ ≤ + 成立。 3 x+2y 2x+y 2 [答案] 存在常数 C= ,证明略. 3 x y 2 + ≥ , 只 需 证 : 3x(2x+y)+3y(x+2y) ≥ x+2y 2x+y 3

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