高中数学北师大版必修五课件:1.2数列的函数特性(共25张PPT)_图文

第一章 数 列 1.2 数列的函数特性 数列可以看作是一个定义域为N*(正整数集)或它的有限子集 {1,2,3,…,k}的函数(“离散型”函数),当自变量由小到大 的顺序依次取值时所对应的一列函数值。数列的通项公式an=f(n)是 数列的第n项an与自变量n之间的函数解析式,数列的图象是横坐标 为正整数的一系列的离散的点。 数列作为一种特殊的函数,具有函数的本质属性,我们称之为数 列的函数特性,即用函数的观点来理解数列,解决数列中的某些问 题。事实上,任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义,具有函数 的一些固有特征。作为特殊的函数,数列是函数概念的继续和延伸。 另外,数列与函数的整合也是当今高考命题的重点与热点,因此我 们在解决数列问题时,应充分利用函数有关知识,以它的概念、图 象、性质为纽带,架起函数与数列间的桥梁,揭示它们间的内在联 系,从而有效地学好数列问题。因此,学完《数列》后,一方面要 用函数的观点加深了解数列,拓展我们的知识,提升我们的能力; 另一方面也为今后学习高等数学中有关级数的知识和解决现实生活 中的一些实际问题打下了基础。 一、以函数观点为切入点 深刻认识数列问题 1、关于等差数列{an} (1)通项公式an=a1+(n-1)d,可以写成an=dn+(a1-d)。它 是n的一次函数,以(n,an)为坐标的一群离散点均匀 地分布在直线上。当d>0时, {an}数列递增;当d<0时, {an}数列递减;当d=0时,{an}为常数数列。 an 22 19 16 13 10 7 4 1 o -2 ● ● ● ● ● ● ● 1 ● 2 3 4 5 6 7 8 9 n (2)求和公式Sn=na1+d,可以写成Sn= n2+(a1-)n,它是 n的二次函数(缺常数项),它的图象是过原点 的抛物线上的一群孤立点。 n(n ? 1) d 2 d 从函数的角度理解,Sn=na1+ d 变形为 Sn= n +(a1- )n。当 d≠0 时,Sn 是关于 n 的二次 2 2 2 式,且常数项为零。此时,可以应用相应二次函数的图象了解 Sn 的增减变化及最值等问题。 2、关于等比数列{an} 通项公式an=a1 qn-1,可以写成a n= a1 q · qn(n∈N*)。 · qx(x∈ 当q>0且q≠1时,y= qx(x∈R)是指数函数,而y= R)是一个不为0的常数与指数函数的积,因此an= 的图象是函数y= · qn(n∈N*) · qx(x ∈R)的图象上的一群孤立点。 很明显,若a1>0,当q>1时, {an}数列递增;当0<q<1时, {an}数列递减 二、以函数概念为载体,合理消化数列问题 1 1 1 ? ? ?? ? 设 f (n)= (n∈N),则 f (n+1)- f (n)等于( ) n ?1 n ? 2 2n 1 1 1 1 1 1 ? ? A、 B、 C、 D、 2n ? 1 2n ? 2 2n ? 1 2n ? 2 2n ? 1 2n ? 2 例1 点拨:此题从形式上看是考查对数列的通项的意义的理解,但事实上更侧重 于对函数符号及对应关系的考查,解决它的关键在于如何引导我们对函数 1 1 1 1 ? ? ??? f ( x) = 的概念的本质的理解,即如何正确表示 x ?1 x ? 2 x ? 3 2x f ( x ? 1) , 从而得出答案D。 设计意图:通过对数列中的通项公式,前 n 项和公式等这些特殊函数关系的 概念的理解与分析,充分认识 a n 与 n ,S n 与 n 之间的对应关系,从而合理地找到 解决问题的办法。 2n 2 ? 3n ? 1 练习:等差数列{an}中, an ? ,则 p, q 应满足的关 ( p, q 是非零常数) pn ? q 系式是 . 2n 2 ? 3n ? 1 (n ? 1)(2n ? 1) 解: an ? ,考虑到 an 是关于 n 的一次函数,故 ? pn ? q pn ? q pn+q 与(n-1)或(2n-1)是同类因式. 由待定系数法知: p+2q=0 或 p+q=0(舍去) 想一想 三、以函数图象为工具,直观简化数列问题 例 2、在等差数列 ?an ?中,s n 是其前 n 项和,公差为 d ? 0 . (1)若 an =m, am =n(m≠n),求 am?n (2)若 s m =s n (m≠n),求 s m? n n(n ? 1)d d 2 d = n ? ( a1 ? )n 可知: sn 是关于 n 的二次 2 2 2 d 2 d x ? ( a1 ? ) x ,由 s m =s n 式,且无常数项,令 f( x )= 2 2 m?n 得 f(m)=f(n),则 x = 为此二次函数图象的对称轴, 2 点拨: (2)由 s n =n a1 + 因此 f(m+n)= f(0)=0,即 s m ? n =0 。 另解:由 s n = s d 2 d d d n ? ( a1 ? ) n 得 n ? n ? a1 ? 可知: an 是关于 n 的一次式, 2 2 n 2 2 sm sn s m? n ) 共线,易求 s m ? n =0 。当然此题可以有其它 则三点(m, ), (n, ), (m ? n, m n m?n 很多方法来解决,但是我们从中不难发现利用函数图象直观简便。 设计意图:函数图象是函数特征的直观体现,利用图象解决数 学问题(以形助数)是我们在解决问题中经常采用的手段。在 数列中,我们可以利用等差数列通项公式、前n项和公式及等比 数列的通项公式中展示的图象关系来解决问题,常常会起到意 想不到的效果。 例 3、已知数列 an ? n ? 96 n ? 98 , n ? N *,求所有 an 中的最大值和最小值。 98 ? 96 n ? 98 y ● 解:将数列 an 的通项公式变形为 an ? 1 ? f (

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