wwwv72227com:18版高中数学第二章平面向量6平面向量数量积的坐标表示课件北师大版必修4_图文

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第二章 平面向量

§6

平面向量数量积的坐标表示

学习目标
1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程,能运用数量积的坐标 表示进行向量数量积的运算. 2.能根据向量的坐标计算向量的模. 3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.

内容索引

问题导学

题型探究 当堂训练

问题导学

知识点一

平面向量数量积的坐标表示

设i,j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量.

思考1
i· i,j· j,i· j分别是多少? 答案 i· i=1×1×cos 0=1,j· j=1×1×cos 0=1,i· j=0.

答案

思考2
取i,j为坐标平面内的一组基底,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),试

将a,b用i,j表示,并计算a· b.
答案 ∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j, ∴a· b=(x1i+y1j)· (x2i+y2j)=x1x2i2+(x1y2+x2y1)i· j+y1y2j2=x1x2+ y1y2.

答案

梳理
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a· b= x1x2+y1y2 .这就是说,两个向量的数 量积等于相应坐标乘积的和.

知识点二

向量模的坐标表示

思考
若a=(x,y),试将向量的模|a|用坐标表示. 答案 ∵a=xi+yj,x,y∈R,

∴a2=(xi+yj)2=(xi)2+2xy i· j+(yj)2
=x2i2+2xy i· j+y2j2.

又∵i2=1,j2=1,i· j=0,
∴a2=x2+y2,∴|a|2=x2+y2,

∴|a|= x2+y2 .

答案

梳理
设a=(x,y),则|a|2= x2+y2
2 2 x + y ,或|a|= .

知识点三

向量夹角的坐标表示

思考
设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角, 那么cos θ如何用坐标表示?
答案 x1x2+y1y2 a· b cos θ= = 2 2 2 2. |a||b| x1+y1 x2+y2

答案

梳理
设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则

x1x2+y1y2 (1)cos θ= 2 2 2 2. x1+y1· x2+y2

(2)a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0.

知识点四

直线的方向向量

思考1
什么是直线的方向向量? 答案 与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量.

答案

思考2
直线的方向向量唯一吗? 答案 不唯一.因为与直线l共线的非零向量有无数个,所以直线l

的方向向量也有无数个.

答案

梳理
(1) 给定斜率为 k 的直线 l ,则向量 m = (1 , k) 与直线 l 共线,我们把与

直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量.
A (2)对于直线l:Ax+By+C=0,可取直线l的方向向量为m=(1,- ) B
(B≠0),或取直线l的方向向量为m=(B,-A).

题型探究

类型一

平面向量数量积的坐标表示

例1 已知a与b同向,b=(1,2),a· b=10. (1)求a的坐标; 解 设a=λb=(λ,2λ)(λ>0),

则有a· b=λ+4λ=10,∴λ=2,∴a=(2,4).

(2)若c=(2,-1),求a(b· c)及(a· b)c.
解 ∵b· c=1×2-2×1=0,a· b=10,

∴a(b· c)=0a=0,
(a· b)c=10(2,-1)=(20,-10).
解答

反思与感悟
此类题目是有关向量数量积的坐标运算,灵活应用基本公式是前提,设 向量一般有两种方法:一是直接设坐标,二是利用共线或垂直的关系设 向量,还可以验证一般情况下(a· b)· c≠a· (b · c),即向量运算结合律一般不

成立.

跟踪训练 1 A.-1 解析

向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)· a等于 B.0 C.1 D.2

因为a=(1,-1),b=(-1,2),

所以2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0), 则(2a+b)· a=(1,0)· (1,-1)=1,故选C.

解析

答案

类型二

向量的模、夹角问题

例2 在平面直角坐标系xOy中,O是原点(如图). 已知点A(16,12),B(-5,15). → → (1)求|OA|,|AB|; → 解 由OA=(16,12), → AB=(-5-16,15-12)=(-21,3), → 得|OA|= 162+122=20,
→ |AB|= ?-21?2+32=15 2.
解答

(2)求∠OAB.



cos ∠OAB=

→ → → → 其中AO· AB=-OA· AB

→ → AB → → = AO· . AO,AB → → |AO||AB|

=- (16 , 12)· ( - 21 , 3) =- [16×( - 21) + 12×3] = 300 , 300 2 故 cos ∠OAB= =2. 20×15 2 ∴∠OAB=45°.

解答

反思与感悟
利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积. (2)利用|a|= x2+y2 求两向量的模.

(3)代入夹角公式求cos θ,并根据θ的范围确定θ的值.

跟踪训练2 取值范围. 解

已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角α为钝角,求λ的

∵a=(1,-1),b=(λ,1),

∴|a|= 2,|b|= 1+λ2,a· b=λ-1.

又∵a,b的夹角α为钝角,
? ? ?λ-1<0, ?λ<1, ∴? 即? 2 2 ? ? ?λ +2λ+1≠0. ? 2· 1+λ ≠1-λ,

∴λ<1且λ≠-1.
∴λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).
解答

类型三

向量垂直的坐标形式

例3

(1)已知a=(-3,2),b=(-1,0),若向量λa+b与a-2b垂直,则
1 C.6 1 D.-6

实数λ的值为 1 1 A.7 B.-7

解析 由向量λa+b与a-2b垂直,得 (λa+b)· (a-2b)=0. 因为a=(-3,2),b=(-1,0), 所以(-3λ-1,2λ)· (-1,2)=0, 1 即3λ+1+4λ=0,解得λ=- . 7

解析

答案

→ →=(2,3), (2)在△ABC中, AC=(1,k),若△ABC是直角三角形,求k的值. AB
解 → → ∵AB=(2,3),AC=(1,k),

→ → → ∴BC=AC-AB=(-1,k-3).

2 → → 若∠A=90° ,则AB· AC=2×1+3×k=0,∴k=-3;

→ → 若∠B=90° ,则AB· BC=2×(-1)+3(k-3)=0, 11 ∴k= 3 ; → → 若∠C=90° ,则AC· BC=1×(-1)+k(k-3)=0,
3± 13 ∴k= 2 . 2 11 3± 13 故所求 k 的值为-3或 3 或 2 .

解答

反思与感悟
利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化, 若在关于三角形的问题中,未明确哪个角是直角时,要分类讨论.

跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,4),B(-2,3), →-t → )⊥ → ,则实数t=____. -1 C(2,-1),若( AB OC OC → 解析 ∵AB=(-3,-1), → → ∴AB-tOC=(-3-2t,-1+t). → → → → 又∵OC=(2,-1),(AB-tOC)⊥OC, ∴(-3-2t)×2+(-1+t)· (-1)=0, ∴t=-1.

解析

答案

当堂训练

1.已知a=(3,-1),b=(1,-2),则a与b的夹角为 π π A.6 B.4



π C.3

π D.2

解析

∵|a|= 10,|b|= 5,a· b=5,

a· b 5 2 ∴cos〈a,b〉= = =2. |a||b| 10× 5

又∵a,b的夹角范围为[0,π], π ∴a 与 b 的夹角为4.
1 2 3 4 5

解析

答案

3? 1? → ? → ? ?1 ? ? 3 ? 2.已知向量BA=? , ?,BC=? , ?,则∠ABC 等于 2? 2? ?2 ? 2

A.30° √

B.45°

C.60°

D.120°

解析

→ → ∵|BA|=1,|BC|=1,

→ → BA· BC 3 ∴cos ∠ABC= =2, → → |BA||BC|

∴∠ABC=30°.

1

2

3

4

5

解析

答案

3.已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ等于 A.-4 B.-3 √ C.-2 D.-1

解析 因为m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1), 又(m+n)⊥(m-n), 所以(m+n)· (m-n)=(2λ+3,3)· (-1,-1) =-2λ-6=0, 解得λ=-3.

1

2

3

4

5

解析

答案

4.已知平面向量a,b,若a=(4,-3),|b|=1,且a· b=5,则向量 ?4 3? ? ? ? ,- ? 5? b = _______. ?5

a· b 解析 ∵|a|=5,cos〈a,b〉= =1, |a||b| 1 4 3 ∴a,b 方向相同,∴b=5a=(5,-5).

1

2

3

4

5

解析

答案

5.已知a=(4,3),b=(-1,2). (1)求a与b的夹角的余弦值; 解 ∵a · b=4×(-1)+3×2=2,

|a|= 42+32=5,|b|= ?-1?2+22= 5,
a· b 2 2 5 ∴cos〈a,b〉= = = 25 . |a||b| 5 5

1

2

3

4

5

解答

(2)若(a-λb)⊥(2a+b),求实数λ的值. 解 ∵a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8),

(a-λb)⊥(2a+b), ∴(a-λb)· (2a+b)=7(4+λ)+8(3-2λ)=0, 52 ∴λ= . 9

1

2

3

4

5

解答

规律与方法
1.平面向量数量积的定义及其坐标表示,提供了数量积运算的两种不同 的途径.准确地把握这两种途径,根据不同的条件选择不同的途径,可以 优化解题过程.同时,平面向量数量积的两种形式沟通了 “数”与“形”

转化的桥梁,成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具.
2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何

问题,在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.

3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式,二者不能混淆,可以对比学 习 、 记 忆 . 若 a = (x1 , y1) , b = (x2 , y2) , 则 a∥b?x1y2 - x2y1 = 0 , a⊥b?x1x2+y1y2=0. 4.事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时,向量夹 角问题却隐藏了许多陷阱与误区,常常会出现因模糊 “两向量的夹角的 概念”和忽视“两向量夹角”的范围,稍不注意就会带来失误与错误.

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本课结束

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