数列中的整除性和奇偶性分析(学生版)


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高考数学第二轮复习专题讲义

数列中的整除性和奇偶性分析
例 1 . 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 且 S n ?

3 (a n ? 1)( n ? N ? ) , 数 列 {bn } 的 通 项 公 式 为 2

bn ? 4n ? 3(n ? N ? ) ,如果把 {an } ,{bn } 中相同的项按从小到大的顺序排成数列 {cn } ,求 {cn } 的通项公
式。

例 2. 直线 l : y ? a ? b , 其中 a ? ( x ? c ? 1,?1) , 数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 对n? N , b ? (1, c ? 2 ? x) ,

?

an S n , ) 均在 l 上。在数列 {an } 中是否存在 ak , al , a p , aq (k ? l ? p ? q) ,它们组成一等差数列, n n 若存在,求出 k , l , p, q 一组值,若不存在,请说明理由。
点(

例 3.设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ,数列 ?bn ? 满足 bn ? (Ⅰ)若 b1 , b2 , b8 成等比数列,试求 m 的值;

an (m ? N * ) . an ? m

(Ⅱ)是否存在 m ,使得数列 ?bn ? 中存在某项 bt 满足 b1 , b4 , bt (t ? N * , t ? 5) 成等差数列?若存在,请指出 符合题意的 m 的个数;若不存在,请说明理由.

1

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例 4.已知数列 a, b, c 为各项都是正数的等差数列,公差为 d (d ? 0) ,在 a , b 之间和 b, c 之间共插入 m 个 实数后,所得到的 m ? 3 个数所组成的数列 ?an ?是等比数列,其公比为 q . (1)若 a ? 1, m ? 1 ,求公差 d ; (2)若在 a , b 之间和 b, c 之间所插入数的个数均为奇数,求所插入的 m m 数的乘积(用 a, c, m 表示) (3)求证: q 是无理数。

例 5.已知等差数列 {an } 的首项为 a,公差为 b,等比数列 {bn } 的首项为 b,公比为 a,其中 a,b 都是大于 1 的正整数,且 a1 ? b1 , b2 ? a3 . (1)求 a 的值; (2)若对于任意的 n ? N? ,总存在 m ? N? ,使得 am ? 3 ? bn 成立,求 b 的值; (3)令 Cn ? an ?1 ? bn ,问数列 {Cn } 中是否存在连续三项成等比数列?若存在,求出所有成等比数列的连续 三项;若不存在,请说明理由.

例 6.设 {an } 是各项均为正数的无穷项等差数列. (Ⅰ)记 Sn ? a1 ? a2 ?
2 2 ? an ,Tn ? a1 ? a2 ? 2 ? an ,已知 S n ≤ n 2 ? n ? 1,Tn ≥

4n3 ? n (n ? N* ) ,试求此 3

等差数列的首项 a1 及公差 d; (Ⅱ)若 {an } 的首项 a1 及公差 d 都是正整数,问在数列 {an } 中是否包含一个非常数列的无穷项等比数列

? } ?若存在,请写出 {am ? } 的构造过程;若不存在,说明理由. {am

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例 7.下述数阵称为“森德拉姆筛”,记为 S.其特点是每行每列都是等差数列,第 i 行第 j 列的数记为

Aij.
1 4 7 10 13 4 8 12 16 20 ? 7 12 17 22 27 ? 10 16 22 28 34 ? 13 20 27 34 41 ? ? ? ? ? ?

(1)证明:存在常数 C ? N* ,对任意正整数 i、j, Aij ? C 总是合数; (2)设 S 中主对角线上的数 1,8,17,28,41,?组成数列 ?bn ? . 试证不存在正整数 k 和 m (1 ? k ? m) , 使得 b1, bk, bm 成等比数列; (3)对于(2)中的数列 ?bn ? ,是否存在正整数 p 和 r (1 ? r ? p ? 150) ,使得 b1, br, bp 成等差数列.若 存在,写出 p, ;若不存在,请说明理由. r 的一组解(不必写出推理过程)

例 8.已知 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是公比为 q 的等比数列。 (1) 若 an ? 3n ? 1 ,是否存在 m、k ? N ,有 am ? am?1 ? ak ? 说明理由;
*

(2) 找出所有数列 ?an ? 和 ?bn ? ,使对一切 n ? N ,
*

an ?1 ? bn ,并说明理由; an

(3) 若 a1 ? 5, d ? 4, b1 ? q ? 3, 试确定所有的 p ,使数列 ?an ? 中存在某个连续 p 项的和是数列 ?bn ? 中 的一项,请证明。

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