www97jscom:2019-2020年高中数学必修四 2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教案2

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2019-2020 年高中数学必修四 2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其 含义》教案 2

备课人

授课时间

课题

§2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义

课标要求 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律



知识目标

掌握平面向量的数量积及其几何意义及向量垂直的条件.

学 目

技能目标

用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题



情感态度价值观 培养细心严谨的学习态度

重点 平面向量的数量积定义

难点 平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

问题与情境及教师活动

学生活动

一、复习引入:

1. 向量共线定理

向量

? b

与非零向量

? a

共线的充要条件是:有

且只有一个非零实数λ

? ,使 b =λ

? a

.



2向.量平,面那向么量对基于本这定一理平:面如内果的e任1 一,向e2量是a?同,一有平且面只内有的一两对个实不数共λ 线1,



λ

2

使

? a



1 e1 +λ

2 e2



3.平面向量的坐标运算

程 若 a ? (x1, y1 ) , b ? (x2 , y2 ) ,则 a ? b ? (x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,



a ? b ? (x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , ?a ? (?x, ?y) .

若 A(x1, y1 ) , B(x2 , y2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1, y2 ? y1 ?



4. 力做的功:W = |F|?|s|cos , 是 F



与 s 的夹角.

二、讲解新课:

1.两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a与b,作 OA =a,OB =b,则∠AOB= θ (0≤θ ≤π )叫a与b的夹角.
说明:(1)当 θ =0时,a与b同向; (2)当 θ =π 时,a与b反向;

问题与情境及教师活动
(3)当 θ = ? 时,a与b垂直,记a⊥b; 2
(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围 0?≤?≤180?

学生活动

C
2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们 的夹角是θ ,则数量|a||b|cos 叫a与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cos ,(0≤θ ≤π ).并规定 0 与任何向量的数量积为 教 0.

学 ?探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos 的符号

过 所决定.

(2)两个向量的数量积称为内积,写成 a?b;今后要学到两个向量的外 程 积 a×b,而 a?b 是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“· ”

在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替.

及 (3)在实数中,若 a 0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a



0,且 a?b=0,不能推出 b=0.因为其中 cos 有可能为 0.

(4)已知实数 a、b、c(b 0),则 ab=bc ? a=c.



但是 a?b = b?c a = c

如右图:a?b = |a||b|cos = |b||OA|,b?c = |b||c|cos = |b||OA|

? a?b = b?c 但 a c

(5)在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c a(b?c)

显然,这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是与 a 共线的向量, 而一般 a 与 c 不共线.

3.向量数量积的运算律

4.“投影”的概念:作图



.

问题与情境及教师活动

学生活动

定义:|b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影

学 投影也是一个数量,不是向量;当 为锐角时投影为正值;当 为钝角

时投影为负值;当 为直角时投影为 0;当 = 0 时投影为 |b|;当



= 180 时投影为 |b|.

程 4.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos 的乘积.
及 5.两个向量的数量积的性质:

方 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量.
1 e?a = a?e =|a|cos 法 2 a b a?b = 0

3 当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b = |a||b|. 特别的 a?a = |a|2 或| a |? a ? a

4 cos = a ? b | a || b |

5 |a?b| ≤ |a||b| 三、讲解范例:课本 104 页例 1 105 页例 2 例 3 例 4

例 5 判断正误,并简要说明理由.
①a·0=0;②0·a=0;③0- AB = BA ;④|a·b|=| a||b|;⑤若a≠0,则对任一非零b有a·b≠0;⑥a·b= 0,则a与b中至少有一个为 0;⑦对任意向量a,b,с 都有(a·b) с =a(b·с );⑧a与b是两个单位向量,则a2=b2.
解:上述 8 个命题中只有③⑧正确;
评述:这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运 算律.
五、小结(略)
六、课后作业(略)
教 学 小 结

课 后 反 思


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