7769766.com:《优化探究》2016届高三数学人教A版文科一轮复习课件 第六章 不等式、推理与证明 6-6_图文

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第六节 最新考纲展示 直接证明与间接证明 1 .了解直接证明的两种基本方法 ——分析法和综合法;了解分析 法和综合法的思考过程、特点. 2.了解间接证明的一种基本方法 —— 反证法;了解反证法的思考过程、特点. 一、直接证明 二、间接证明 假设原命题 不成立 (即在原命题的条件下,结论不成立),经 ,因此说明假设错误,从而证明了原 过正确的推理,最后得出 矛盾 命题成立,这样的证明方法叫反证法. 1.综合法与分析法是直接证明的两种基本方法,综合法的特点是 从已知看可知,逐步推出未知.在使用综合法证明时,易出现的错误 是因果关系不明确,逻辑表达混乱.分析法是从未知看须知,逐步靠 拢已知.当命题的条件与结论之间的联系不够明显、直接,证明中需 要用哪些知识不太明确具体时,往往采用从结论出发,结合已知条件, 逐步反推,寻求使当前命题成立的充分条件,把证明转化为判定这些 条件是否具备的问题. 2.应用反证法证题时必须先否定结论,把结论的反面作为条件, 且必须根据这一条件进行推理,否则,仅否定结论,不从结论的反面 出发进行推理,就不是反证法.所谓矛盾主要是指: (1)与已知条件矛盾. (2)与假设矛盾. (3)与定义、公理、定理矛盾. (4)与公认的简单事实矛盾. (5)自相矛盾. 一、直接证明 1 .命题“对于任意角 θ , cos4θ - sin4θ = cos 2θ” 的证明过程: “cos4 θ-sin4 θ=(cos2 θ-sin2 θ)(cos2 θ+sin2 θ)=cos2 θ-sin2 θ=cos 2θ”,此过程应用了( A.分析法 C.综合法、分析法综合使用 答案:B ) B.综合法 D.间接证明法 解析:结合推理及分析法和综合法的定义可知,B正确. 2.要证 a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明( A.2ab-1-a2b2≤0 ?a+b?2 C. 2 -1-a2b2≤0 ) 4 4 a + b B.a2+b2-1- 2 ≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0 解析:a2+b2-1-a2b2≤0?(a2-1)(b2-1)≥0. 答案:D 二、间接证明 3.(2014年东营模拟)用反证法证明命题“若a,b∈N,ab可被5整 除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应该是( A.a,b都能被5整除 B.a,b都不能被5整除 ) C.a,b不都能被5整除 答案:B D.a能被5整除 解析:至少有一个的反面应是一个都没有. 1 1 1 4.设 a,b,c∈(-∞,0),则 a+b,b+c,c+a( A.都不大于-2 C.至少有一个不大于-2 B.都不小于-2 ) D.至少有一个不小于-2 1 1 1 解析:因为 a+b+b+c+c+a≤-6,所以三者不能都大于-2. 答案:C 综合法的应用(师生共研) 例 1 对于定义域为[0,1]的函数 f(x),如果同时满足: ①对任意的 x∈[0,1],总有 f(x)≥0; ②f(1)=1; ③若 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有 f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,则 称函数 f(x)为理想函数. (1)若函数 f(x)为理想函数,证明:f(0)=0; (2)试判断函数 f(x)=2x(x∈[0,1]), f(x)=x2(x∈[0,1]), f(x)= x(x∈[0,1]) 是否是理想函数. 解析 (1)证明:取x1=x2=0,则x1+x2=0≤1, ∴f(0+0)≥f(0)+f(0),∴f(0)≤0. 又对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0, ∴f(0)≥0.于是f(0)=0. (2)对于f(x)=2x,x∈[0,1],f(1)=2不满足新定义中的条件②, ∴f(x)=2x,(x∈[0,1])不是理想函数. 对于f(x)=x2,x∈[0,1],显然f(x)≥0,且f(1)=1. 任意的x1,x2∈[0,1],x1+x2≤1, f(x1+x2)-f(x1)-f(x2) =(x1+x2)2-x-x=2x1x2≥0, 即f(x1)+f(x2)≤f(x1+x2). ∴f(x)=x2(x∈[0,1])是理想函数. 对于 f(x)= x,x∈[0,1],显然满足条件①②. 对任意的 x1,x2∈[0,1],x1+x2≤1, 有 f2(x1+ x2)-[f(x1)+f(x2)]2=(x1+x2)-(x1+2 x1x2+x2)=-2 x1x2 ≤0, 即 f2(x1+x2)≤[f(x1)+f(x2)]2. ∴f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2),不满足条件③. ∴f(x)= x(x∈[0,1])不是理想函数 综上,f(x)=x2(x∈[0,1])是理想函数, f(x)=2x(x∈[0,1])与 f(x)= x(x∈[0,1])不是理想函数. 规律方法 用综合法证题是从已知条件出发,逐步推向结论,综 合法的适用范围: (1)定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性,求证无条件 的等式或不等式. (2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的 题型.在使用综合法证明时,易出现的错误是因果关系不明确,逻辑 表达混乱. 1.定义:若数列 {An}满足An +1=A,则称数列 {An}为“平方递推 数列”.已知数列{an}中,a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=2x2+2x的 图象上,其中n为正整数,证明:数列{2an+1}是“平方递推数列”. 证明:∵点(an,an+1)在函数f(x)=2x2+2x的图象上, ∴an+1=2a+2an, ∴2an+1+1=4a+4an+1=(2an+1)2, ∴{2an+1}是“平方递推数列”. 分析法的应用(师生共研) 例2 ?a+mb?2 a2+mb2 ?≤ 已知 m>0,a,b∈R,求证:? . 1 + m 1 + m ? ? 证明 ∵m>0,∴1+m>0. 所以要证原不等式成立,

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